大家好！本文和大家分享一道2019年江苏高考数学真题。这是该卷的第13题，也就是倒数第二道填空题，考查的是条件三角求值问题。这道题的难度不算大，但是题目非常经典，现在也依然属于常考题目，高中生必须要熟练掌握。本文和大家分享本题的两种解法。
解法一：齐次化处理
齐次式一般是指每项的次数都相同的多项式，而在条件三角求值问题中的齐次化处理通常是将分子分母中的每一项都变成次数相同的项。
齐次化处理是条件三角求值的重要方法，通常需要先求出角的正切值，然后再将所求的三角函数进行转化，用已经求出的角的正切表示出来，从而求值。
回到题目，由于tanα/tan(α+π/4)=-2/3，那么根据两角和的正切公式将tan(α+π/4)进行变换，整理后就可以得到3(tanα)^2-5tanα-2=0。解得tanα=2或tanα=-1/3。
接下来对所求的三角函数进行变换。sin(2α+π/4)=sin2αcosπ/4+cos2αsinπ/4。sinπ/4和cosπ/4都等于√2/2，提出√2/2，也只需要求出sin2α+cos2α的值即可。看到这儿，很明显可以用二倍角公式来处理，即sin2α+cos2α=2sinαcosα+(cosα)^2-(sinα)^2①。
接下来的这步处理非常关键，那就是将①的分母看成1，并且用1=(sinα)^2+(cosα)^2来代换。这样一来，齐次化就完成了，然后分子分母同时除以(cosα)^2的平方即可转化成tanα的式子。最后将tanα的值代入即可得到答案。
另外，很多同学没有想到进行齐次化处理，那么也可以利用同角三角函数的平方关系来计算，即由tanα的具体值得到sinα和cosα的关系，再代入(sinα)^2+(cosα)^2=1中就可以求出sinα和cosα的值。
不过，这个方法的计算量非常大，很多同学在计算过程中容易出错，所以不建议大家用这个方法，还是尽量掌握齐次化。
解法二：
已知条件给出的是角的正切，这个时候可以想到用切化弦的的方法来处理。经过切化弦处理后，可以得到sinαcos(α+π/4)=-2[cosαsin(α+π/4)]/3②。
而如果我们将2α+π/4看成α与α+π/4的和，那么sin(2α+π/4)=sin[α+(α+π/4)]=sinαcos(α+π/4)+cosαsin(α+π/4)=cosαsin(α+π/4)/3。所以我们只需要求出cosαsin(α+π/4)的值即可。
由于α+π/4与α的差为π/4，所以有sin[(α+π/4)-α]=sin(α+π/4)cosα-cos(α+π/4)sinα=√2/2③。联立②、③就可以得到cosαsin(α+π/4)的值，从而得到最终的答案。
解法二过程更加简单，但是不太容易想到，所以高中生必须要掌握解法一。