北京工业大学薛毅教授在《数学建模及其应用》杂志2024年第1期上发表了论文“‘多波束测线问题’的问题解析”， 给出了2023年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛B题“多波束测线问题”的求解方法，并针对学生在参赛论文中出现的问题作了简要的说明与点评。本文内容全部摘自于薛教授的论文，文中公式、表格及图的编号与原文一致。具体论文请参阅：
薛毅. “多波束测线问题”的问题解析[J]. 数学建模及其应用，2024，13（1）,76-86.
1问题背景
单波束测深是利用声波在水中的传播特性来测量水体深度的技术。声波在均匀介质中作匀速直线传播，在不同界面上产生反射，利用这一原理，从测量船换能器垂直向海底发射声波信号，并记录从声波发射到信号接收的传播时间，通过声波在海水中的传播速度和传播时间计算出海水的深度，其工作原理如图1所示。由于单波束测深过程中采取单点连续的测量方法，因此，其测深数据分布的特点是，沿航迹的数据十分密集，而在测线间没有数据。
多波束测深系统是在单波束测深的基础上发展起来的，该系统在与航迹垂直的平面内一次能发射出数十个乃至上百个波束，再由接收换能器接收由海底返回的声波，其工作原理如图2所示。多波束测深系统克服了单波束测深的缺点，在海底平坦的海域内，能够测量出以测量船测线为轴线且具有一定宽度的全覆盖水深条带（图3）。
(只有一个波束打到海底) （多个独立的波束打到海底）
图1单波束测深的工作原理图2多波束测深的工作原理
多波束测深条带的覆盖宽度W随换能器开角和水深的变化而变化，若测线相互平行且海底地形平坦，则相邻条带之间的重叠率定义为
其中：d为相邻两条侧线的间距；W为条带的覆盖的宽度（见图4）
图3条带、测线及重叠区域
图4覆盖宽度、测线间距和重叠率之间的关系
若，则表示漏测。为保证测量的便利性和数据的完整性，相邻条带之间应有10%~ 20%的重叠率。
但真实海底地形起伏变化大（图5），若采用海区平均水深设计测线间隔，虽然条带之间的平均重叠率可以满足要求，但在水深较浅处会出现漏测的情况（图5中虚线部分），影响测量质量；若采用海区最浅处水深设计测线间隔（图6），虽然最浅处的重叠率可以满足要求，但在水深较深处会出现重叠过多的情况（图6中虚线部分），数据冗余量大，影响测量效率。
图5 平均测线间隔
图6最浅处测线间隔
问题1：与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为的斜线（图7），称为坡度。请建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。
图7 问题1示意图
若多波束换能器的开角为120°，坡度为1.5°，海域中心点处的海水深度为70 m，利用上述模型计算指定位置处的海水深度、覆盖宽度，以及相邻条带之间的覆盖重叠率。
问题2：考虑一个矩形待测海域（图8），测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角为，请建立多波束测深覆盖宽度的数学模型。
图8 问题2示意图
若多波束换能器的开角为120°，坡度为1.5°，海域中心点处的海水深度为120 m，利用上述模型计算指定位置处测线的覆盖宽度。
问题3：考虑一个南北长2海里、东西宽4海里的矩形海域，海域中心点处的海水深度为110 m，西深东浅，坡度为1.5°，多波束换能器的开角为120°。请设计一组测量长度最短、可完全覆盖整个待测海域的测线，且相邻条带之间的重叠率满足10% ~20%的要求。
问题4：海水深度数据（附件.xlsx[1]）是若干年前某海域（南北长5海里、东西宽4海里）单波束测量的测深数据，现希望利用这组数据为多波束测量船的测量布线提供帮助。在设计测线时，有如下要求：1)沿测线扫描形成的条带尽可能地覆盖整个待测海域；2)相邻条带之间的重叠率尽量控制在20%以下；3)测线的总长度尽可能短。在得到具体的测线后，请计算如下指标：1)测线的总长度；2)漏测海区占总待测海域面积的百分比；3)在重叠区域中，重叠率超过20%部分的总长度。
注：在附件中，横、纵坐标的单位是海里，海水深度的单位是米。1海里=1852米。
2 问题1求解
问题1（图7）中各条线段之间的夹角如图9所示。由正弦定理得到
简化为
其中：Wl为测线左侧的覆盖宽度；Wr为测线右侧的覆盖宽度（图9），测线的整个覆盖宽度为两者之和，即W=Wl+Wr。
图9问题1的求解示意图
下面分析相邻测线覆盖的重叠率。将平面情况（图4）重叠率的定义（公式(1)）推广到坡面情况（图10），式(1)中的W可以看成第1条测线右侧的覆盖宽度与第2条测线左侧的覆盖宽度之和，因此，重叠率定义可作如下修正
其中：W1r为第1条测线右侧的覆盖宽度；W2l为第2条测线左侧的覆盖宽度。
图10坡面重叠率定义的示意图
表1列出指定位置处海水深度、测线的覆盖宽度，以及相邻条带之间重叠率的计算结果。
3 问题2求解
图11给出矩形待测海域的示意图，测线方向在海底坡面上的投影与水平面之间的夹角记为a，测线垂直面在海底坡面上的投影与水平面之间的夹角记为b。
构造坐标系。坡面法线方向在水平面上的投影记为x轴，与x轴的垂直方向（逆时针）记为y轴，指向天顶的方向记为z轴（图11）。
图11问题2求解示意图
1）推导角度a的计算公式
2）计算出待测海域指定位置的海水深度
（5）
3）推导角度b的计算公式
图12 测线方向及测线的垂直方向在水平面上的投影
4）可由式(6)计算出待测海域指定位置的覆盖宽度
其中, Da是待测海域所在位置的海水深度，由式(5)得到。
最后列出待测海域指定位置处测线的覆盖宽度（表2）。
表2 待测海域指定位置处测线的覆盖宽度表
4 问题3求解
当测线方向与坡面法线方向在水平面上的投影垂直（）时，由式(4)和式(6)得到，a=0，或者a=0，。它表明：在测线方向上，海水深度保持不变，在与测线方向垂直的截面上，坡度角为，退回到问题1的情况，利用公式(2)，计算多波束测深的覆盖宽度。
确定测线的坐标。因为测线方向与y轴平行，所以只需要考虑x轴的坐标。将坐标原点设置在待测海域的西南角，横坐标（x轴，由西向东），纵坐标（y轴，由南向北）。
设Dmax为待测海域的最大深度，则
其中，D0为待测海域中心处的海水深度，Les为待测海域东西的宽度。
第1条测线的坐标为（图13）。由问题1可知，在计算第1条测的覆盖宽度时，需要知道第1条测的海水深度
图13 测线坐标递推公式推导示意图
设d1为第2条测线与第1条测线之间的间距，测线深度与测线间距的关系式为
（8）
由式(3)得到
（9）
其中：
（10）
由式(8)---式(10)得到
其中，W1为第1条测线的覆盖宽度。
假设已经得到第k条测线的坐标xk和海水深度Dk，第k+1条测线的坐标和海水深度的递推公式如下:
其中：
当（海里）时，停止计算，测线坐标如表3所示，测线布设如图14所示。
图14 问题3的计算结果
图14中的阴影部分分别为第1条测线和第2条测线的覆盖宽度，以及两条测线覆盖的重叠部分，在计算中，重叠率取。共需要布设34条测线，总长度是68海里。
5 问题4求解
问题4是本次竞赛的最终目标，要求对一般待测海域的测线进行布设，这里以测线布设的技术要求（文献[2]第91页）作为求解问题的准则：
1) 在满足精度要求的前提下，根据多波束系统在不同水深段的覆盖率的大小，把调查区按水深划分成若干区域，每个区域的水深变化均在多波束系统相同覆盖率的范围。
2) 测线布设要尽可能地平行等深线，这样就可以最大限度地增加海底覆盖率，保持不变的扫描宽度。
画出待测海域的等深线，根据上述要求，将待测海域作分割，用平面近似分割后的子海域，然后用问题3的方法设计每一个子海域的测线。
在使用问题3的方法解决问题之前，需要解决两个问题：一是拟合平面的坡度角度，二是拟合平面法线方向在水平面上的投影与坐标轴之间的夹角。
在分割待测海域（图15）时，有两处海域需要考虑，一个是1号区域，它是一个凸包，如果与其他区域混合考虑，很难反应出它的特点，所以需要单独计算；另一个是9号区域，它近似于马鞍面，含有鞍点，也需要单独考虑。
在1号区域和9号区域划分后，其他海域被划分为7个子区域。
有关问题4的详细解答，请参阅薛教授的论文。
问题4的最终结论：测线的总长度共243.80海里，没有漏测，在测线条带的重叠部分中，重叠率超过20%的测线长度为12.19海里。
从计算过程可以看出，测线方向越接近于等深线的走向，测线的效果就越好。另外，在设计测线时，还可以调整公式(14)
中的值，在保障不出现漏测的情况下，使得相邻测线条带的重叠率尽量在20%以下。
将待测海域划分成16个子海区（如图29），计算过程略，其最终的结果：测线长度223.42海里，没有漏测，在测线条带的重叠部分中，重叠率超过20\%的测线长度为0.82海里。
图29 待测海域的分割情况
6 参赛论文点评
6.1关于重叠率的定义（问题1）
题目要求将平面的重叠率扩充到斜面情况，在扩充时应当注意两个原则：
1)当坡度角时，斜面重叠率的定义退回到平面重叠率的定义；
2)扩充后的定义仍然保持对称性，即无论从哪个方向开始航行，计算出的重叠率是相同的。
满足上述两个原则的定义有很多，一种比较直观的想法是
其中：W1是第1条测线的覆盖宽度；W2是第2条测线的覆盖宽度。它可以看成原始定义（公式(1)）的直接推广。
很多队的论文只使用一条测线的覆盖宽度作为斜面重叠率的定义，它只满足上述的第1条原则，但不满足第2条原则，不同的两个方向（从上至下和从下到上）得到的重叠率是不同的。这种情况在省级阅卷时出现的比较多。
6.2两个重要的角度计算公式（问题2）
在问题2的求解中，公式(4)和公式(6)非常重要，分别用于计算所在位置的海水深度和测线条带的覆盖宽度。关于公式的推导，论文中的方法大体可分为两种---立体几何和解析几何。
实际上，无论使用什么方法，只要是成功推导出这两个角度公式，就能成功求解问题2。由于推导过程和方法的不同，得到公式的形式也不同。三角函数的恒等式有多种，任意一种恒等式，都是正确的。但需要注意的是，给出的公式不要过于复杂，过于复杂的公式会给计算带来不便，又不好理解公式的意义，出现错误也不易检查。
有些队给角度计算公式（相当于公式(6)）中取绝对值，相当于得到的坡度角只有正值，按理说是有问题的。
但在计算覆盖宽度时，又将两个条相差180°的测线拼在一起，如0°和180°,135°和315°。两条测线拼在一起后，形成一条测线，一侧是由深到浅，另一侧从浅到深，相当于问题1的情况，一边取正值，另一边取负值，由问题1的公式计算。因此，对于取绝对值的公式，阅卷时也认为是正确的。
6.3关于坡面测线的设计（问题3）
关于坡面测线的布设，有几种方案可以讨论：
1) 布设非平行方向的测线，但要求测线间的重叠率大致相同，而测线的方向不同（图30）。
图30布设非平行测线
这里首先遇到的问题是，如何定义非平行测线的重叠率。其次，相邻两条测线之间的夹角是多少才能满足重叠率大致相同的要求，即整体重叠率与相邻测线之间的夹角有关。还有其他方面的问题需要讨论。
2)布设平行测线，但测线方向任意。
这个问题已经比方案1简化了，不必重新定义重叠率，似乎可以建立数学规划模型求解，但还是有诸多问题需要解决。更重要的是，建模后好像很难求解。
3)布设平行测线，测线方向为南北方向，即和。
这里需要证明或说明，南北方向是最佳的测线方向。完成这项工作，第一是证明。有些队证明了和是最佳方向，但证明的队并不多，而且证明也够不完善。第二是说明，找个理由，很多队都列出了《海道测量规范》[3]。论文中的不足之处是，没有给出测线的具体坐标，计算方法也不完善。只是说明：34 条（68 海里）为最优结果。
6.4任意水深的测线设计（问题4）
实际上，在完成问题3后，大概就知道问题4应如何求解，即用平面近似曲面，在平面上设计测线。
当然，只用一张平面作为整个待测海域的近似，效果肯定很差，这就提示，需要作分块拟合。将待测海域分成若干个子海域，在每个子海域上用平面来近似，再应用问题3的求解方法，设计出每个子海域测线布设方案。
有些队虽然对待测海域作了划分，但每个子海域上的测线方向不是南北方向就是东西方向，并不是沿等深线方向。注意：问题3实质性的结论是，测线方向与坡面法线方向在水平面上的投影垂直。应按照这个结论，设计拟合平面上的测线方向。
在待测海域作划分时，需要注意以下几点：
1) 每个子海域中的等深线要尽量平行，这样在拟合平面上设计测线才能与 等深线尽量平行；
2) 如果做不到，子海域的面积要小一些，这样才能减少计算误差；
3) 利用实际的海水深度计算测线覆盖的实际重叠率（实际的海水深度可用二元插值函数得到）；
4) 最好不要漏测，因为重点海域不允许漏测，更实际的问题是，漏测的计算并不方便。
建立一个曲线测线的数学模型是否可以？回答是，当然可以。但有许多问题需要解决：一是两条曲线测线之间如何定义覆盖的重叠率；二是基于什么原理设计曲线测线；三是设计出模型后如何求解。
可能还有更多的问题，也希望学生能提出曲线测线的设计方法，对此类问题的解决有所突破。
参考文献
[1]2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题 (http://www.mcm.edu.cn/) .
[2]李家彪．多波束勘测原理技术与方法[M]．北京：海洋出版社，1999.
[3]国家质量技术监督局. 海道测量规范: GB 12327-1998[M].北京：中国标准出版社，1998.
[4]薛毅．数学建模基于Ｒ[M]．北京：机械工业出版社，2017.
作者介绍
薛毅，北京工业大学教授。一直从事数学建模、计算数学和运筹学等方面的教学与科研工作，主讲课程——“数学建模”荣获北京市精品课程，出版著作及教材20部，《数学建模基础》和《数值分析与科学计算》荣获北京市高等教育精品教材奖。
文章来源：数学建模及其应用官微
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