一题一课话作图
宜昌市张钦博士“生动课堂”示范课
2024年4月26日上午，在宜昌市第十六中学录播教室，由宜昌市教科院初中数学教研员张钦博士给全市数学老师带来了一节“生动课堂”示范课《中考数学二轮复习之一题一课：几何综合问题——如何画图》，这个话题在张钦博士工作室压轴题研题活动中屡次被提及，围绕如何教会学生作图，并进一步作好图，从而更高效地研究数学问题，是初中数学教学中的重要课题。
在前2分钟时间，张博士开宗明义，站在整个初中几何学习的高度，阐述了三大变换，并确定了研究几何变换和几何性质间的关系，尽管我们在纸上作图是静态图形，但头脑中却需要让这些图形动起来，这意味着本节课所要研究的问题，正是中考压轴题最常见的几何动态问题，顺便点明课题，如何画图。
其实这近3分钟的内容，可以认为是给学生讲初中几何变换和几何性质的关系，更大程度上是讲给听课老师们，也可称之为“听课指南”。
本节课所要研究的数学题如下：
试题来源是2022年浙江省绍兴市中考数学第24题，也是最后一道压轴题，通常情况下选择几何综合作为压轴题的地市，几何命题质量非常高，可供挖掘的东西也非常多，正如课堂上张博士所讲，虽然看上去是轴对称变换，但实际上也包含旋转变换、相似等。
给学生审题时间，然后第1小题很快便解决了，简单讲了正确结论及方法，转到第2小题。
有一名男生的思路非常快，我留意到他在上台作图时，使用了规范的尺规作图，而不是估计作图，并且描述解题过程时，思路非常清晰，如下图：
这个学生优秀之处在于，他已经通过思考，发现了此时的点E在边CD上，并且作图顺序是先找到点N，再去画点E，这和普通学生的作图并不相同，如果是先把点E在图上描出来，再去作点E的对称点，由于事先并不清楚点N的具体位置，很有可能出现较大的误差，所以作图前先进行了推演，用他的话讲“由于点N与点D是关于BE对称的，所以BD=BN，前面已经计算出BD=10，而BC长度只有8，所以点N落在BC延长线上，必定在C右侧2个单位处”，非常精彩！正好印证了几何变换与几何性质的关系。
并在这个环节中，让学生明白作图时，如果点的位置不好确定，那么可以先画容易确定的点，再由几何性质去推导剩下的点的位置并作图。
学生讲解求DE的过程，很顺畅，虽然途中有口误，但解答结果正确，只是个人认为，解法简洁程度上还可以优化，如下图：
仍然由该学生所得△ACE∽△DCN出发，tan∠CBE=tan∠CDN=1/3，求出CE=8/3，所以DE=6-8/3=10/3；
不过另一位女生也提出了新的方法，即利用角平分线上的点到角两边距离相等，作垂线，如下图：
然后在△DEF中用勾股定理列方程来求DE，也是不错的思路。
当然还有更多方法，例如连接EN利用勾股定理，但无论哪一种，角平分线也好，垂直平分线也好，都是轴对称图形，利用了轴对称的性质，再一次点题。
在这一小题的解法中，第一位男生给出的解法是证明△ABD≌△MBN，后面张博士点评很到位，其实这两个三角形本身也是关于BE轴对称的，此时如果用轴对称效果会更好，更进一步，∠ABN和∠MBD这两个角也是关于BE轴对称的，则∠ABN=∠MBD=90°，最后得到∠MBD+∠BMN=180°，于是BD∥MN。
第3小题，作图非常重要，在张博士引导下，学生很快发现，只要将第2小题的图中点E向上“抬一点”，就可以让MN经过点C，然后就是学生自行尝试作图，我身边的小组内，有不少成功找到了能让MN经过点C的位置，尽管是草图不精确。
课堂上张博士专门解释了草图的作用，黑板上也示范了画草图，作为听课者，我也认为，作草图，实际上对学生的作图思维有极大帮助，本小题中的点E确实可以通过尝试得到，最终作出的图大致符合MN过点C，在这个过程中，学生会自然寻求更精确的方法，有的学生将原先不太精确的擦掉，将点E再次上移，得到更精确的图，甚至还有学生重复了两次，在学生笔下，图是静态的，然而此时学生的头脑中，图已经动了。
当点E在CD边上的时候，结果已经出来一种了，如下图：
有一名女生思路讲得很好，说明课堂进行到这个时候，学生基本没有遇到什么障碍。
接下来抛出的问题，才是整堂课最精彩之处，是否只有一个E点位置满足“直线MN经过点C”？
从现场学生反应来看，多数学生立刻明白，当点E在AD边上时，应该还有一处位置能使MN经过点C，但继续追问，当点E在CD边上时，是否只有刚才画出的点E满足条件呢？
有了刚才的作图经验，图形在学生头脑中动起来，便可以描述出结果了，这从学生现场描述语言可以看出来，剩下一处应该是当点E在AD边上。
在这个环节，鼓励学生动手作图，学案上为学生准备了多个备用图，就是提供了作图的情景，在这个情景中，学生通过作草图，作静态的草图，从而让整个图形在大脑中动起来，实现由静到动的过程。
同时这个过程也极考验教师的耐性，我们在很多所谓“高效”课堂上，为了节省时间，教师用几何画板代替了学生作图，方便快捷地用动画直接告诉学生，这对于培养学生几何构图能力是极大的伤害，这个时候，不能怕拖进度，并且在学生作图时，要巡视到位，尽可能到每一位学生身边，看下他们作图的过程，收集足够的课堂信息。
当学生在AD边上寻找适合的点E位置时，有一部分发现了MN会经过点E，于是顺势在课堂上提问，为什么会经过点E？
其实根据题目条件，AD与MN关于直线BE对称，由轴对称性质，它们的交点一定在对称轴上，故MN必经过点E，这就引导学生完成了必然性探究。并在这个时机，引出了反演原则。
至此，解出本小题的结果已经水到渠成，不再赘述。然而本节课的高潮，正借此展开。
学生此时也一定有所感悟，满足条件的点E位置是确定的，也是一定能够精确画出来的，那么刚才的草图，显然是不够的，本着“知其然更要知其所以然”的探究思想，继续在本题之后研究如何精确画出点E，并借此向学生展现反演原则的大幕，让这节课在思想上更深一层，达到普通课堂所不能企及的高度。
这个班的学生精神状态非常好，并没有一般班级里，得到答案之后便急着去完成下一道题（虽然学案上也有），而是静静地思考张博士提出的为什么，这十分难能可贵，班级原数学老师培养的探究习惯此时便展现了出来。
由于对称性，AB=BM，因此点M一定在以A为圆心，AB为半径的定圆上，而我们两次探究出的点E位置下，∠BMN=90°，且这个直角所对的是定长线段BC，所以联想到以BC为直径的圆，两圆分别有两个交点，恰好是点M两种位置，如下图：
这就让学生意识到，原来我们是可以精确地作出点E位置的，并且是先找到点M，再找点E，至此解决了点E的确定性问题，比起解答原题，更进了一步，然而还没有完，继续升华中……
张博士以化妆镜为例，生动演绎了关系映射反演原则，对于那些已经对数学产生兴趣的学生，无疑是打开了一扇新大门，门后的精彩呼之欲出，虽然现在只是一条门缝，也足以让这些学生窥到前所未见的境界，埋下一颗探究的种子。
这个时候，这节课所呈现的，已经不仅仅是解题，也不仅仅是复习课教学，而是提升到了一个新的高度，普通一线教师难以达到的高度。
这节课的第一层，教会学生解题，这个任务完成得非常高效，事实上如果学生完成这道题所花费时间并不会很长；第二层，教会学生作图，这已经比单纯解题更进一步了，虽然是作草图，但作图之前要先算，胸有成竹，依靠的是平时的大量观测与思考；第三层，数学思想方法的进化，从解题到教学，升华了整节课。
正如张博士在课堂上所讲，题目只不过是个载体，背后的数学思想方法才是学生最大的收获，用数学去描述世界，用数学去思考世界。
这也给了广大一线教师更广泛的思考，一节课，我该怎么上，学生收获才最大？这节课也只是个引子，后续的精彩篇章，仍将由全体初中数学教师们共同完成。