开工大吉
王蒙说过，写作是对时光的一种挽留。
王蒙的原话是 ：文学是对时光的一种挽留。但文学是一个学科名词，挽留是一个动作名词或动名词，两者不能等同。因此我们理解他的原意应该是“写作是对时光的一种挽留”。
我们写作这本《概率论教程》（任佳刚，刘继成著. 北京：科学出版社, 2026. 1）时，常常会回到我们自己初学概率论的时光。当时我们这门课是和实变函数同时开设的，记得老师为了等待实变函数的一些内容先讲，还特意停了两周的课。但即便是这样，概率论里头仍然有一些无法讲清的东西。比如说，在证明Kolmogorov 不等式的时候，设
1，2，· · · 是独立随机变量列，令
那么需要用到S
k1
k和(ξ
k+1，ξ
k+2，· · · ) 的独立性。关于这点，流行的教材中都是以“S
k1
k只与ξ1，· · · ，ξ
k有关 ” 而一言以蔽之的。但基本上这属于混过去的，不能算数学证明。类似的这些问题常常——曾经常常——使作为学生的我们非常困惑
而当我们自己做了教师之后，长期的教学实践又使我们深刻地认识到，如果没有测度论的基础，很多概率论的东西实际上是无法完全讲清的。那么，有些地方只能先混着吗? 一代代地混下去吗? 不是已经混了很多代了吗，再混一混又何尝不可呢?
我们的理想是做到完全严格，但这门课程的性质又决定了它不可能完全严格。怎样在理想和现实之间找到平衡? 这是我们作为教师的一种困惑。
无须讳言，作为学生，概率论中最先吸引我们的，是组合概率。诸如一堆人的帽子混在一起，每人随意拿一顶，都拿到自己帽子的概率是多少?
n个男生和
n个女生随意坐在一张有2
n个座位的圆桌旁，一个男生隔着一个女生的概率是多少? · · · · · · 这些问题是如此迷人又如此困难，具有强烈的吸引力。但同样无须讳言的是，作为教师，我们的理解是，这些纯技巧性的问题相对于整个概率论的现代理论来说，其实是不那么重要的。那么，如何处理这一部分，即如何在有趣与重要性之间找到平衡? 这是我们的另一种困惑
以下是我们的一些思考和实践:
1. 能严格讲述的部分，尽量严格讲述；不能严格讲述的部分，就明确地承认现在这种做法不严格，但是是可以严格化的。总之不能给学生的脑海里添一个大问号：竟然可以这样干，这还是数学吗?
2.概率论自身难以完全严格讲述的部分，实际上就是测度的扩张，包括以此为基础的乘积概率空间，因为它一方面比较冗长，另一方面是其他课程如实变函数和测度论的主要内容，如果在此花费较长时间，无疑是有点喧宾夺主了。除此之外，其他的似乎要严格也不是想象的那么难。比如单调类定理，我们觉得还是可以从容地讲清楚的，同时它基本上也不是实变函数课程的内容。而有了单调类定理，很多曾经令我们困惑的东西，比如说上面讲的独立性，都可以比较容易地、严格地讲清楚。因此，测度的扩张和一切依赖于此的东西，我们都直接承认，但详细讲述并大量使用了单调类定理。
3. 我们大量减少了古典概型的具体计算的问题，尤其是高度技巧性的问题，但保留了一些理论上、原则上或历史上重要的问题。
4. 虽然这是一门本科生的基础教材，但也有一个它从哪里来，又往哪里去的问题。我们在这方面花了一些笔墨。例如我们谈了概率和条件概率相辅相成的关系，而不是仅仅局限于说条件概率是通过概率而定义的。也就是说，实际上在建立实际问题的数学模型时，往往是先有条件概率，再通过全概率公式确定概率的，而确定概率之后，就可以计算更多的条件概率；从这个意义上讲，所谓Bayes 公式无非就是给出了充分的数据来建立概率空间，哪里有什么主义? 谈了在面临实际问题时怎么判断和利用独立性的问题，而不是仅仅从概念出发得到理论上的结论；我们甚至还稍微谈了谈从特征函数出发引导出随机变分学(Malliavin Calculus) 的问题，等等。
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概率论教程
任佳刚，刘继成著
北京：科学出版社, 2026. 1
(大学数学科学丛书)
ISBN 978-7-03-083210-8
《概率论教程》系统阐述现代概率论的基础理论与核心内容。从随机试验与随机事件的基本概念出发，深入讲述概率的定义与公理化体系，进而介绍随机变量及其分布、期望等重要概念；同时阐明随机变量的独立性、条件概率、条件期望等性质，并揭示其内在联系；讲述大数定律和中心极限定理这两个极限定理，以及特征函数这一强大的理论工具及其应用。特别地，本书强调严格性与直观性的统一，充分运用单调类定理等现代概率论工具，使诸多困难之处获得严格论证。
写作是对时光的一种挽留，同时也是对未来的一种留言。我们学过、想过、教过概率论多年，我们依然还在学、在想、在教，我们希望把我们在这些过程中的心得体会记录下来，留给未来，留给未来的年轻人，希望能提高一点你们对概率论的兴趣，希望能对你们学习、掌握、研究、应用概率论提供哪怕一丁点帮助。我们希望这不是奢望。
本书的写作与出版得到了国家自然科学基金项目12371152 及中山大学2025年教材建设项目的支持，在此深表谢意!
本文摘编自《概率论教程》（任佳刚，刘继成著. 北京：科学出版社, 2026. 1）一书“前言”，有删减修改，标题为编者所加。
(大学数学科学丛书)
ISBN 978-7-03-083210-8
责任编辑：李 欣 李月婷 范培培
本书可作为数学、统计学等专业本科生的教材，不论学生是否具备实变函数基础，均可选用。
（本文编辑：刘四旦）
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