机器之心编译
作者：Erica Klarreich
量子杂志
我们都知道，实数分为有理数和无理数，它们的定义也都很明确。但令人惊讶的是，其实很难证明一个数究竟能否写成分数形式。而现在，这个古老的问题有了一种广泛适用的新方法。
这种新方法有三位提出者，分别是芝加哥大学的数论和朗兰兹纲领数学教授 Frank Calegari、加州理工学院数学教授 Vesselin Dimitrov、加州大学伯克利分校助理教授及 2022 年拉马努金奖得主唐云清。
唐云清，加州大学伯克利分校助理教授，本科毕业于北京大学数学科学学院，后在哈佛大学取得数学博士学位，2022 年成为首位获拉马努金奖的华人女数学家。
量子杂志作者 Erica Klarreich 近日发文介绍了这种新方法。
原文地址：https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/
1978 年 6 月，在法国马赛举办的一场大型数学会议上，主办方最后一刻补充了一个日程。在午餐时间，数学家罗杰・阿培里（Roger Apéry）将展示一个证明，证明数学中最著名的数之一 ——zeta of 3，数学家写作 ζ(3)—— 不能表示为两个非负整数构成的分数。这个数是数学家所说的「无理数」。
与会者都持怀疑态度。黎曼 zeta 函数（Riemann zeta function）是数论中最核心的函数之一，数学家们几个世纪以来一直在试图证明 ζ(3) 的无理性 —— 这个数是输入为 3 时 zeta 函数的输出值。当时 61 岁的阿培里并不被广泛认为是顶尖数学家。他有着法国乡下人的口音，还有着爱挑衅的名声。许多与会者认为阿培里在玩一个精心策划的恶作剧，他们准备以其人之道还治其人之身。正如一位数学家后来回忆的那样，他们「是来捣乱的」。
这场演讲很快陷入混乱。阿培里几乎没有解释就一个接一个地展示方程，其中一些涉及不可能的运算，比如除以零。当被问及这些公式从何而来时，他声称：「它们是在我的花园长出来的。」数学家们对他的论断报以大笑，在房间里向朋友们喊话，还扔纸飞机。
但至少有一个人，即现在波尔多大学的亨利・科恩（Henri Cohen），从演讲中确信阿培里是对的。科恩立即着手充实阿培里论证的细节；在几个月时间内，他与其他几位数学家一起完成了证明。当他在后来的一次会议上展示他们的结论时，一位听众抱怨道：「这是法国农民的胜利。」
当罗杰・阿培里宣布他已经证明了 ζ(3) 的无理性时，数学家们对他嗤之以鼻，并向他扔纸飞机。但事实证明他是对的。他在巴黎的墓碑上就刻有这条定理。
数学家们虽然不情愿但还是接受了阿培里的证明，他们还预计会出现大量无理数的证明结果。
无理数远比有理数多：如果你在数轴上随机选择一个点，它几乎必定是无理数。即使数学研究中出现的数字从定义上来说并非随机，但数学家们仍然认为它们中的大多数应该是无理数。但是，虽然数学家们成功地证明了某些数的这个基本事实，比如 π 和 e，但对于大多数其他数来说，证明仍然极其困难。数学家们希望，从 ζ(3) 之外的 zeta 函数的其他值开始，阿培里的技术可能最终能让他们取得进展。
荷兰拉德堡德大学的 Wadim Zudilin 说：「当时每个人都相信只需一两年时间，就能证明每个 zeta 值都是无理数。」
但预期的突破并未出现。没有人真正理解阿培里的公式是从哪里来的，而且当「你有一个如此陌生的证明时，要泛化、重复这种魔法并不总是那么容易，」芝加哥大学的 Frank Calegari 说。数学家们开始把阿培里的证明视为一个孤立的奇迹。
但现在，Calegari 和另外两位数学家 —— 加州理工学院的 Vesselin Dimitrov 和加州大学伯克利分校的唐云清（Yunqing Tang）—— 做到了！他们成功展示了可以如何将阿培里的方法拓展为一个更强大的方法来证明数的无理性。使用这种方法，他们证明了无限多个类似 zeta 的值的无理性。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2408.15403
巴黎 - 萨克雷大学的 Jean-Benoît Bost 称他们的发现是「数论领域的一个明显突破」。
数学家们兴奋的不仅是这些结果，还有研究者的方法。他们在 2021 年用这种方法解决了一个已有 50 年历史的猜想，该猜想与数论中所谓的模形式（modular forms）有关。
「也许现在我们已有足够的工具，可以将这类主题推进到比以前认为可能的更远的地方，」巴黎高等师范学院的 François Charles 说。「这是一个非常令人兴奋的时期。」
虽然阿培里的证明似乎凭空而来，甚至一位数学家将其称为「奇迹和神秘的混合」—— 但这篇新论文将他的方法纳入了一个广泛适用的框架。清晰度大大提升，因此人们不禁想，Calegari、Dimitrov 和唐云清的结果可以更容易催生进一步的成果。
多伦多大学的 Daniel Litt 说：「希望我们很快就会看到相关无理性证明的淘金热。」
欧拉错过的证明
自数学发现的最早时期以来，人们就一直在问哪些数字是有理数。两千五百年前，毕达哥拉斯学派坚信每个数都是两个整数的比值。当他们学派的一名成员证明 2 的平方根不是有理数时，他们震惊了。传说作为惩罚，这位冒犯者被淹死了。
2 的平方根只是个开始。特殊的数从数学探究的所有领域不断涌现。有些数，比如 π，在你计算面积和体积时出现。其他的则与特定函数相连 —— 例如，e 是自然对数的底数。「这是一个挑战：你给自己一个在数学中自然出现的数，[然后] 你想知道它是否是有理数，」科恩说。「如果一个数是有理数，那它就不是一个很有趣的数。」
Frank Calegari 正在演讲。他与另外两位合作者一起得到的证明可望引发无理性证明的淘金热。
许多数学家采用奥卡姆剃刀观点：除非有令人信服的理由说明一个数应该是有理数，否则它多半不是。毕竟，数学家们早就知道大多数数都是无理数。
然而，几个世纪以来，具体数的无理性的证明却很少。在 18 世纪，数学巨人莱昂哈德・欧拉证明了 e 是无理数，另一位数学家约翰・兰伯特证明了 π 也是无理数。欧拉还证明所有偶数 zeta 值 —— 数 ζ(2)、ζ(4)、ζ(6) 等等 —— 等于某个有理数乘以 π 的幂，这是证明它们无理性的第一步。这个证明最终在 19 世纪末完成。
但即使在现在，许多简单数的状态仍然是个谜，比如 π + e 或 ζ(5)。
数学家们仍在攻坚如此基本的数问题，这可能看起来很令人惊讶。但即使有理性是一个基本概念，研究者目前也只有很少的工具可以证明给定数是无理数。而且这些工具经常失效。
当数学家成功证明一个数的无理性时，他们的证明核心通常依赖于有理数的一个基本性质：它们不喜欢彼此靠得太近。例如，假设你选择两个分数，一个分母是 7，另一个分母是 100。要测量它们之间的距离（用较大的分数中减去较小的分数），你必须重写你的分数，使它们有相同的分母。在这种情况下，公共分母是 700。所以无论你从哪两个分数开始，它们之间的距离都是某个整数除以 700—— 这意味着这些分数至少必须相距 1/700。如果你想要更相近的分数，你就必须增大其中一个分数的原始分母。
将这种推理翻转过来，它就变成了证明无理性的标准。假设你有一个数 k，你想弄清楚它是否是有理数。也许你注意到 k 和 4/7 之间的距离小于 1/700。这意味着 k 如果有分母，则必不可能是 100 或更小的数。接下来，也许你找到一个新的分数，让你排除 k 有 1000 或更小分母的可能性 —— 然后另一个分数排除 10,000 或更小的分母，以此类推。如果你能构造一个无限序列的分数，逐渐排除 k 的每个可能的分母，那么 k 就不可能是有理数。
几乎每个无理性证明都遵循这些思路。但你不能仅仅取任何接近 k 的分数序列 —— 你需要比它们的分母更快接近 k 的分数。这保证了它们排除的分母会持续增大。如果你的序列接近 k 的速度不够快，你只能排除到某个点的分母，而不是所有可能的分母。
目前还没有一种构造合适的分数序列的通用方法。有时候，一个好的序列会自然出现。例如，数 e（约为 2.71828）等于以下无限和：
如果你在任何有限点停止这个和并加上所有项，你得到的是一个分数。而且只需要高中数学就能证明这个分数序列接近 e 的速度足够快，可以排除所有可能的分母。
Vesselin Dimitrov，他与合作者用了多年时间来证明 L (2) 的无理性，最终解决了数论中一个重要的、看似不相关的猜想。
但这个技巧并不总是有效。如，阿培里的无理数 ζ(3) 被定义为这个无限和：
如果你在每个有限步骤停止这个和并加上所有项，得到的分数接近 ζ(3) 的速度不够快，不能排除 ζ(3) 的每个可能的分母。ζ(3) 可能是一个分母比你已经排除的更大的有理数。
阿培里的天才之处在于构造了一个不同的分数序列，这个序列确实足够快地接近 ζ(3)，可以排除每个分母。他的构造使用了可以追溯到几个世纪前的数学 —— 一篇文章称之为「欧拉错过的证明」。但即使在数学家理解了他的方法之后，他们也无法将他的成功扩展用于其他相关的数。
像每个无理性证明一样，阿培里的结果立即意味着许多其他数也是无理数，例如，ζ(3) + 3，或 4 × ζ(3)。但数学家们对这种免费得到的结果不会太兴奋。他们真正想要的是证明「重要」的数是无理数 —— 那些「在一个公式中出现，[然后] 在另一个公式中出现，也在数学的不同部分出现」的数，Zudilin 说。
黎曼 zeta 函数和相关的 L - 函数的值非常满足这个标准，很少有数能比它们更加满足。黎曼 zeta 函数 ζ(x) 会将一个数 x 转换为这个无限和：
举个例子，ζ(3) 就是当你代入 x = 3 时得到的无限和。长期以来，很多人都认为 zeta 函数支配着素数的分布。同时，L - 函数 —— 它们像 zeta 函数但有不同的分子 —— 支配着更复杂数系中素数的分布。在过去 50 年里，L - 函数在数论中因其在朗兰兹纲领中的关键作用而变得特别突出，朗兰兹纲领是构建数学「大统一理论」的雄心勃勃的努力。但它们也出现在数学中其它完全不同的领域。例如，取一个分子遵循 1, -1, 0, 1, -1, 0 重复模式的 L - 函数，会得到：
这个函数（下面我们将其写成 L (x)）除了在数论中大有作用，在几何学中也会意外地出现。例如，如果你将 L (2) 乘以一个简单的因子，会得到具有「双曲」几何（马鞍形状的弯曲几何）的最大正四面体的体积。
数学家们至少研究了 L (2) 两个世纪。多年来，他们想出了七八种不同的方法用有理数序列来逼近它。但这些序列都不能足够快地接近它，不足以证明它是无理数。
研究者似乎陷入了僵局 —— 直到 Calegari、Dimitrov 和唐云清决定将其作为他们新的无理性方法的核心。
黎曼错过的证明
在无理性证明中，你希望你的分数序列排除越来越大的分母。数学家们有一个备受喜爱的策略来理解这样的序列：他们会将其打包成一个函数。通过研究这个函数，他们获得了一系列工具，包括所有微积分的技术。
在这种情况下，数学家会构造一个「幂级数」—— 一个具有无限多项的数学表达式，比如 3 + 2x + 7x² + 4x³ + …—— 其中每个系数都是通过将你研究的数与序列中的一个分数按照特定公式组合而确定的。第一个系数最终捕捉到第一个分数排除的分母的大小；第二个系数捕捉到第二个分数排除的分母的大小；依此类推。
粗略地说，系数和被排除的分母有一个反比关系，这意味着你的目标 —— 证明被排除的分母趋向于无穷 —— 等价于证明系数趋向于零。
这种重新打包的优势在于你可以尝试使用整个幂级数的性质来控制系数。在这种情况下，你想研究哪些 x 值会使幂级数「爆炸」到无穷。幂级数中的项涉及 x 的越来越高的幂，所以除非它们与极小的系数配对，否则大的 x 值会使幂级数爆炸。因此，如果你能证明幂级数即使在大的 x 值下也不会爆炸，这就告诉你系数确实会收缩到零，正如你想要的那样。
为了引入特别丰富的工具集来处理这个问题，数学家考虑 x 的「复数」值。复数结合了实部和虚部，可以表示为二维平面中的点。
想象在复数平面中从零点开始，膨胀一个圆盘，直到你碰到第一个使你的幂级数爆炸到无穷的复数 —— 数学家称之为奇点。如果这个圆盘的半径足够大，你可以推断幂级数的系数足够快地收缩到零，从而推出你的数是无理数。
阿培里的证明和许多其他无理性结果可以用这些术语重新表述，尽管它们最初并非如此写成。但对于 L (2) 来说，圆盘太小了。对这个数字，数学家们认为幂级数方法是死路一条。
但 Calegari、Dimitrov 和唐云清看到了一个潜在的突破口。奇点并不总是代表最终的停止点 —— 这取决于当你碰到奇点时情况如何。有时圆盘的边界会碰到一堆奇点。如果发生这种情况，你就倒霉了。但其他时候，边界上可能只有几个孤立的奇点。在这些情况下，你可能能够将你的圆盘膨胀到复平面的更大区域，避开这些奇点。
这就是 Calegari、Dimitrov 和唐云清希望做的。他们想，这个更大区域中包含的额外信息可能使他们能够对幂级数的系数进行所需的控制。一些幂级数，Calegari 说，可以在「圆盘之外过着美好的生活」。
在四年的时间里，这几位数学家弄清楚了如何使用这种方法来证明 L (2) 是无理数。「他们开发了一个全新的标准来决定一个给定的数字是否是无理数，」Zudilin 说。「这真是令人惊叹。」
与阿培里的证明一样，新方法是对早期方法的重新利用，严重依赖对 19 世纪的微积分的泛化。Bost 甚至称新工作为「黎曼错过的证明」。这里的黎曼指的是伯恩哈德・黎曼，他是 19 世纪最杰出的数学家之一，黎曼 zeta 函数就是以他的名字命名的。黎曼留给后人的难题之一就是著名的黎曼猜想。
黎曼
新的证明并不止于 L (2)。我们将 ζ(2) 的分子中的 1 替换成三个重复的数：1, -1, 0, 1, -1, 0 等等。你可以用三个重复的分子制作无限多个其他 ζ(2) 变体 —— 例如，重复模式 1, 4, 10, 1, 4, 10…，产生无限的和：
研究人员证明，每个这样的和都是无理数（前提是它不加到零）。他们还使用他们的方法证明了一组完全不同的数的无理性，这些数由对数的乘积构成。Bost 说，这样的数之前是「完全无法触及的」。
研究人员预计，具有四个数字重复模式的 ζ(2) 变体可能是下一个。他们把希望寄托在证明「卡塔兰常数 (Catalan's Constant)」的无理性上 —— 这是一个具有重复模式 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0… 的变体，已经被研究了 150 多年。
「卡塔兰已经很接近了，」科恩说。
团队迄今为止取得的结果「证明了他们的方法能够走得很远，比我们几年前预期的要远得多，」Charles 说。「这绝对不是故事的结束。」
在经过这么多年的迷雾探索之后，数学家们终于开始清晰地在数轴这个最基本的景观上辨认出一系列地标。