「 编者按 」
一部部科学经典著作，犹如人类文明史上璀璨的里程碑，奠定了现代科学基石，铺就了人类进步的阶梯。为让更多读者感受科学魅力，北京市科学技术协会推出“科学阶梯”专栏，对科学经典著作进行深入诠释。
本期我们带来的是《数学史（第三版）》，让我们 一起穿越时空，领略数学之美。
在没有现代计算机辅助，甚至连纸张都尚未普及的时代，古人如何仅凭竹简、算筹，就能精准计算出庞大的工程数据，预测日月星辰的运行轨迹？
他们如何在抽象的数字世界中遨游，创造出诸如“盈不足术”“割圆术”等精妙绝伦的数学方法，让后人叹为观止？
在中国古代，数学不仅仅是数字的堆砌与公式的演绎，它是农耕文明的精准丈量，是天文观测的精密计算，更是哲学思考的深邃体现。
明嘉靖隆庆间内府重写本，剑桥大学图书馆藏
从商周甲骨文中初现端倪的记数方式，到秦汉时期《九章算术》的横空出世，再到宋元时代珠算与代数几何的辉煌成就，中国古代数学家们以无尽的创造力，在数学的广袤天地间开垦出一片片肥沃的土壤。
由著名数学史家卡尔·B·博耶（Carl B. Boyer）最初编写的《数学史》，不仅影响了无数数学史研究者，还帮助塑造了人们对数学发展历史的理解，其中追溯了中国古代数学的发展成就
古代先哲仰望星空、脚踏实地，用简单的工具绘制出复杂宇宙秩序的壮丽图景。那些跨越千年的智慧结晶，你能读懂几个呢？
算筹起源早
传统的中国数学中，有一些引人注目的现代方法迹象可能会显著地改变数学的发展。
陕西旬阳出土算筹
日本东大寺所藏算筹
就像中国与西方那样，中国与印度之间也有过交流往来，但是学者们对于知识借鉴的范围和方向有着不同意见。
那些试图看到巴比伦或者希腊影响中国的倾向所面临的问题是，古人没有使用六十进制分数（小数）,记数法本质上仍是十进制的，并且所采用的符号显然迥异于其他地区。在中国，自古以来就使用着两套符号体系。其中之一，乘法原理占主导地位，另一个则使用了位值制的形式。
在第一个体系中，对于从1到10的数字有不同的记号，对于10的幂次也有着其他记号，并且书写方式是每个奇数位（从左往右或是从下往上数）的数字与下一位数字进行乘积。
因此，数678就写成，先是6，后面接着写表示100的符号；然后是7，后面接着写表示10的符号；最后是表示8的符号。
无法确定算筹出现的确切年代，但是，可以肯定的是它至少在公元前几百年就开始使用了，也就是说，要远远早于印度使用位值制记数的时间。
在中国，使用百分制而不是十进制的位值制，更有利于适应算板的计算。由于可以用不同符号表示相邻的幂，中国人可以从容地使用带有无标记立柱的算板进行计算。
在8世纪以前，直接用空白来表示需要放置数字零的位置。尽管在早于公元前3世纪的文献中，数字和乘法表是用文字写出来的，但实际上计算是在算板上利用算筹进行的。
算盘效率高
大约公元前300年的算筹数字不仅仅是用于记录计算结果的符号。官员们通常把竹子、象牙或者铁棍装在一个袋子里而作为计算工具使用。算筹操作起来非常灵巧方便，相较于书写计算而言，在算板上操作的算筹运算可能更便于执行“取消”这一操作。
公元前305年的《清华算表》
实际上，在算板上用算筹计算是非常高效的。算盘或者类似这种在线上穿上可移动标识物的硬制计数架，其出现并不像一般认为得那么早。第一个对算盘现代形式的清晰描述出现在16世纪，但是据推测早在一千多年以前就已经开始使用了。
算盘的英文“abacus”可能源于闪米特文“abq”，或者说“dust”，这表明，在其他国家，与中国一样，这个被用作算板的东西源于土盘或沙盘。有可能的是算板在中国的使用要早于欧洲，只是具体时间不详。
无法知道在中国、阿拉伯和欧洲都出现过的算盘是否是各自独立发明的。阿拉伯的算盘在每条线上有十个珠子，没有中间的横梁，而中国的算盘每条线上方有两个珠子，下方有五个珠子，中间被一根横梁隔开。
中国算盘每条线上方两个珠子中的每一个都等于位于下方的五个珠子，通过将合适的珠子往中间的横梁上拨靠来标记一个具体的数字。
张择端的《清明上河图》中，一家名为“赵太丞家”的医药铺，柜台上有一个十五档一四算盘
如果缺失了分数这一部分，那么对于中国记数法的介绍就是不完整的。古人熟悉简分数的运算，他们发现了最小公分母。正如在其他文献中所记载的那样，古人看到了如同性别差异的类比，将分子看作儿子，分母看作母亲。对“阴”和“阳”的强调使其更容易遵循分数运算的规则。
然而，比这些更为重要的是中国分数十进制化的趋势。与美索不达米亚一样，六十进位的度量制导致了六十进制记数法，中国在度量衡中坚持使用的十进位思想导致了在分数运算中的十进制习惯，在计算中采用十进制有时会使分数计算变得简单。
《数术记遗》是东汉时期编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法
负数思想似乎对于中国人而言并不难接受，因为中国人习惯于使用两套算筹来进行计算，红色的算筹用来表示正系数或者正数，黑色的算筹表示负数。
π值难中求
最早期的中国数学与同时期世界上其他地方的数学是如此不同，对于其独立发展的假设是合乎情理的。无论如何，可以肯定地说，如果在公元400年以前存在一些文化交流，那么从中国输出的数学知识要多于传入中国的。至于后期的知识传播情况，问题就变得比较复杂了。
早期中国数学中把π取为3很难说与美索不达米亚有关，特别因为从公元1世纪开始，中国对π精确值的探索，比其他国家更执着。π的其他一些值也被发现，公元3世纪，为《九章算术》做注的一位重要数学家刘徽，利用正96边形求得π值是3.14，然后又计算了正3072边形，得到了近似值3.14159。
在经刘徽注解的《九章算术》中有许多测量问题，包括正确计算正四棱台的体积。对于圆台，也可应用相似的公式计算体积，但是，所使用的π值为3。求两对棱垂直的四面体体积的公式很独特，即体积等于两对棱与它们公垂线乘积的六分之一。
新莽“始建国”中，王莽下令让国师刘歆仿周礼制造一种铜斛，名为“律嘉量斛”（现藏台北故宫博物院），可反推刘歆所用π值约为3.1547
试位法被用于解线性方程组中，然而还有一些较为精妙的结果，比如通过矩阵形式来解关于五个未知数的四个方程的丢番图问题。刘徽在注解《九章算术》时，还讨论了很多求塔高和山坡上的树高等问题。
中国人对π精确值的追求在祖冲之的工作中达到了顶峰。他所求得的其中一个π值就是我们所熟悉的阿基米德给出的值22/7，祖冲之称此值为“约率”，他还给出了“密率”355/113。
后来可以看出，这个密率的分子、分母可以分别通过托勒密给出的值377/120的分子、分母相应地减去阿基米德给出的值的分子、分母而得到。但是，如果有人执意要寻找可能的来自西方的影响，那么可以用这个惊人的近似值来反驳，因为直至15世纪之前，这个结果都是最为精确的。
然而，祖冲之在他的计算中走得更远，他把3.1415927作为“盈数”（上限）,3.1415926作为“朒数”（下限）。他认为π值就介于这两个数之间。他在进行这些计算时，得到了他的儿子祖暅的帮助，这些计算过程应该都出现在他的著作中，但是，这些著作已经失传。
博耶指出，祖冲之的研究成果对于那个时代来说是非常了不起的，足以相称于将月球上的一个地标以他的名字而命名的荣誉。
从6世纪到10世纪，陆续出现了十几本数学经典著作，其主题涵盖算术和数论等内容，成为“国子监”中所教授的数学基础知识。
这些著作包括早期的《周髀算经》和《九章算术》，以及后来主要由刘徽以及其他数学家的著作衍生而来的一些教材。这些书涵盖了算术和数论、直角三角形、不规则图形的面积与体积计算等方面主题。
《周髀算经》
科学经典推荐
数学史（第三版）
[德]尤塔·C.默茨巴赫 [美]卡尔·B.博耶 著
李文林 译
全面的时间跨度，深度与广度的结合，兼具学术性与可读性，一本书读懂数学发展脉络及演变。
来源：“北京大学出版社”公众号