当世界或数学在你身边制造了一个个旋涡时，就让布劳威尔和他的不动点定理为你送来片刻的平静吧。
许多地图上都会标注着“您在这里”，以便在公园、城市或医院里为大家引导方向。只要我在一个陌生的地方看到这句“您在这里”，我就放心了。山峰也许巍峨，但我知道我现在的坐标。一座陌生的城市可能人潮涌动，但我知道我正站在何处。一家医院里警报系统和寻呼系统声声作响，但我已经走在了去往目的地的路上。当世界或数学在你身边制造了一个个旋涡时，就让布劳威尔和他的不动点定理为你送来片刻的平静吧。
布劳威尔不动点定理认为，如果你在某个地方且手里拿着该地的地图，那么地图上至少有一个点恰好位于当前位置的正上方。这个定理总是适用的：无论地图与地面平行还是垂直，或者地图反面朝上，转了个方向，换了个角度，被折小了，被扯大了，甚至被揉成了一团……只要地图仍在它所代表的区域内，这条定理就适用。例如，我在美国新罕布什尔州居住，当我身处新罕布什尔州，而且手里拿着一张新罕布什尔州的地图时，地图上总有一个点在无声地呐喊：
“您在这里！”
布劳威尔不动点定理在你搅动咖啡时也适用。假设你可以观察到咖啡杯里每个分子的位置，你开始搅动咖啡，然后停下来，让它慢慢恢复平静；之后，这个杯子里至少有一个分子，其位置与它在咖啡被搅动前所处的位置重合。也就是说，你不可能完全搅乱你的咖啡。此外，如果你把那个分子推出它原来的位置，那么另一个分子就会回到它原来的位置。无论你搅动多久，总有至少一个分子会回到它的起始位置。
不动点是一个在变化发生后其位置仍旧不变的点。这个变化可以是将一个地理区域的道路和自然特征还原到地图上的过程，也可以是孩子转动手中风车的简单过程。如果你从起始位置开始转动风车，然后让风车慢慢停下来，那么除了中间的那个固定点，风车上的所有点可能都变换了位置。虽然风车上的不动点非常容易找到，但不动点本身不一定是显而易见的。
比如说，假设你把奶奶亲手缝制的被子整齐地铺在了床上。之后，你发现当你不在的时候，一个孩子或一只宠物曾在床上蹦来跳去，把被子弄成了皱巴巴的一团。不过，我在这里要为“肇事者”说句话，你的被子上至少有一个地方位于你当天早上离开时的位置的正上方。
若想确认布劳威尔不动点定理在某种情境下是否适用，你需要找到三个条件。第一，发生变化的物体或空间占用的必须是有限空间，且这个空间存在边界。所以，你可以转变新罕布什尔州、一杯咖啡、一个风车或一条棉被，但不能转变无限的、没有边界的空间。第二，你转变的区域或空间中不能有空洞。比如，你可以转变一个飞盘，但不能转变一个中间有洞的盘子。再举个例子，假如 A 城成功脱离了原所在州，搬去了邻州，那你就不能保证，站在原州地界内时，地图上一定有一个“您在这里”的点了。第三，这个转变必须以连续的方式移动所有的点。在这里，“连续”一词表示转变可以是拉伸、缩小或扭拧地图，但不能把地图上的一块剪出来贴到别处。大致来说，地图上在转变前紧挨着的点在转变后应该仍然紧紧挨在一起。
以连续的方式转变物体或没有空洞的空间，是拥有不动点的条件，这些条件非常重要。如果这些条件中哪怕一条没有被满足，那么每个点都有可能移动到新的位置，因此就有可能完全没有不动点。比如说，如果你要把一种在所有方向都无限延伸的壁纸图案往右移 1 英寸，那这种转变就不会留下不动点。
同样，如果你要把一个圆环旋转 90°，也不会留下不动点。（如果不是圆环，而是一张圆盘，也就是如果中间没有空洞的话，那么在这种情况下，不动点就是圆盘的中心。）
最后再举个例子，如果你将一张国际象棋棋盘的左侧 7 列往右移，然后把最右一列剪下来贴到最左边，这样的转变是不连续的，因此也不会留下不动点。
布劳威尔不动点定理在工程、医学、经济学等领域都有着广泛应用。比如，经济学家约翰·冯·诺伊曼在 1937 年用这一定理得出了“总有一组价格对应着所有商品的供给等于需求”的结论。这些价格就是数学转变中的不动点。然而，该定理虽然能保证在满足条件的情况下一定存在不动点，但它没有提供找到不动点的方法。
你在生活中可能需要处理一些棘手的问题。如果你意识到问题的答案是一定存在的，即使你仍要在寻找答案的路上继续挣扎，也能因为知道路终有尽头而感到庆幸。没有人想耗费时间去寻找一个并不存在的答案。确信心血不会白费，这可以让人更安心。
上文转自图灵新知，节选自《唤醒心中的数学家》，【遇见数学】已获转发许可。
作者：[美] 苏珊·达戈斯蒂诺（Susan D'Agostino）
译者：何婧誉
美国数学协会“欧拉图书奖”获奖作品
46篇思考笔记，300余幅手绘插图，每章附有思考题，唤醒你的“数学力”
从代数、几何、逻辑学、数学史到生活中的趣事，展现丰富的数学思想