《量子力学现代教程》
作者：孙昌璞
北京大学出版社
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内容简介
本书基于作者讲授多年的“高等量子力学”课程内容编写而成，并融入了作者长期从事量子力学前沿问题研究的成果和体会，教学和科研结合的特色十分明显。在课程内容和教学方式上，本书强调对具体方法、技巧（如求解本征方程和时间演化的代数方法、高频无关近似等）的讲解与对科学思想（如相位与规范对称性、量子力学诠释和退相干理论等）的传授并重，在学习国内外优秀教材、力争博采众长的同时，遵循量子力学发展的逻辑脉络，通过多年孜孜不倦的消化理解，把经典论文或著作的专业知识变成宜接收的特色教学内容，如矩阵力学和波动力学的创立及其等价性证明、海森堡表象的时变内涵、全同多体系统的对称性自发破缺（超导与玻色-爱因斯坦凝聚）与能量泛函变分的关系、二次量子化表象变换的显式表达，以及远场散射波包演化和定态描述的一致性等。
本书为读者提供了直达量子力学科研前沿的“最小”基础知识的自洽集合，适合作为物理学相关专业高年级本科生和研究生学习量子力学的高级教程，也可供其他专业师生参考。
推荐语
量子力学是现代物理学两大支柱之一，也是每一位物理专业的学生必修的基础课。晦涩难懂是学习量子力学时很多人的感受。一方面，一堆抽象的希尔伯特空间、算子、对易关系等等，让人心生畏惧；另一方面，其波函数塌缩、纠缠等物理图像“颠覆”了日常生活经验，令人百思不解。孙昌璞院士所著的这本《量子力学现代教程》，正是同时解决这两方面问题的佳作。本书厘清了量子力学发展史上的一些误会，还原了量子力学真实的建立过程，讨论了从基础到前沿的必要知识，还辨析了对于量子力学的各种诠释。无论你有没有学习过量子力学，本书都能开拓你在量子力学领域的眼界，给你带来实实在在的收获。
章节试读
绪论
量子力学是研究微观世界基本运动规律的物理学科，是当代物理学最重要的基础理论之一，它与相对论一起构成了当代物质科学两个基础性支柱。量子力学不仅奠定了人们探索基本粒子、原子核、原子、分子和凝聚态物质的物理基础， 而且在化学、生物学等学科和当代技术创新中得到了广泛的应用。量子力学的建立，导致了人们对物质运动形式和运动规律认识的根本性飞跃，解决了在20世纪前建立起来的经典物理学(如经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)难以克服的问题，如它们只适用于描述常规情况下宏观物体的运动，不能很好地描述包含原子和亚原子在内的微观世界。
量子力学使得人们能够正确理解物质基本属性与微观结构的关系，如物体为什么有导体、半导体和绝缘体之分，元素周期律的本质是什么，原子是怎样结合成分子的，以及化学键如何形成。借助量子力学，人们还能够解释多体系统的涌现(emergence)现象，如超导、超流、玻色(Bose)–爱因斯坦(Einstein)凝聚等极低温下的宏观量子效应。在实际应用方面，量子力学导致了诸多技术创新，包括激光器、半导体、计算机、电视、光纤电子通信和互联网技术、电子显微镜、核磁共振成像和核能等。可以说，量子力学和相对论的建立，给人类带来了前所未有的物质文明和精神文明。
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从经典物理到量子理论
自17世纪创立了牛顿(Newton)力学体系、19世纪建立了电动力学以及热力学和分子运动论之后，物理学家普遍形成了一种观点，认为物理学大厦已经建成，对物质世界本质的认识已经到了终点。然而19世纪末物理学的一些新发现预示着经典物理学中可能潜伏着严重的危机，这就是经典物理学上空悬浮着的两团乌云：一是电动力学中的以太，二是热学中能量均分定理与实验的出入，例如固体比热问题和黑体辐射中出现的紫外发散。实验观测到的物体比热总是低于能量均分定理给出的值3R (R 是气体常量，其值为 (8.314510 ± 8.4×10 −6 ) J·mol −1 ·K −1 ），这表明，低温时固体的部分自由度会被冻结，固体能量可能是分立的——量子化。1900年，普朗克 (Planck) 发现了黑体辐射能量密度在红外波段的测量结果，与维恩 (Wien) 半经验公式在低频区存在偏离，而从经典麦克斯韦 (Maxwell) 理论出发得到的适用于低频区的瑞利 (Rayleigh) – 金斯 (Jeans) 公式在高频极限下却是发散的 (紫外发散)。为此，普朗克提出了一个后 来被称为普朗克公式的辐射场能量密度分布公式，它在全波段与实验很好地符合。
不久之后，人们就意识到普朗克公式中必定蕴藏着一个非常重要的科学原理。经过一番艰苦探索，普朗克发现，如果假设物体吸收或发射电磁辐射时，只能以“量子”的方式进行，每个量子的能量为 ， h 后来被称为普朗克常量)， 可从理论上唯象地给出他的黑体辐射公式。 虽然能量不连续的观念是经典物理不允许的， 但爱因斯坦在1905年进一步发现， 不连续量子假设还能解决经典物理学所碰到的其他困难(如解释光电效应) 。 由此， 爱因斯坦提出了光量子假说 ， 认为辐射场就是由光量子组成的， 每一个光量子的能量 E 与辐射的频率 ω 的关系是 。 根据狭 义相 对论 ， 他又给出光子的动量和能量的关系p=E/c，提出光量子的动量p与辐射波矢的关系p=hk/(2π)。 爱因斯坦和德拜(Debye) (1907 年)还进一步把能量不连续的概念应用于固体中原子振动的研究 ， 成功地解释了当温度 T 接近于0 K 时固体比热趋于零的现象 。
量子理论另一个起源是卢瑟福(Rutherford)提出的原子有核模型。J. J. 汤姆孙(Thomson)在1896年发现电子后，曾经认为正电荷均匀分布于半径约为10 −10 m的原子当中。但这个图像不能解释为什么α粒子穿过原子时有大角度偏转。为此，卢瑟福在1911年提出了原子的有核模型(日本物理学家长冈半太郎(Nagaoka Hantaro)也几乎在同时提出了类似的模型)：原子几乎全部的质量都集中在中心半径约10 −14 m以下的很小区域中(即带正电的原子核)，而带负电的电子则围绕原子核旋转。此模型能够很好地解释α粒子在原子核上散射的大角度偏转现象，但不能解释为什么原子中电子的运动是稳定的。按照经典电动力学，电子围绕原子核旋转的运动是加速运动，将不断辐射能量而减速，轨道半径会不断缩小，约在10 −12 s内就会完全塌缩掉，并发射出宽频的连续电磁波辐射。这个依据经典电动力学的推论，与原子稳定地存在于自然界的相关观测事实明显矛盾。
面对这个矛盾，丹麦物理学家玻尔(Bohr)认识到原子世界的微观运动规律一定背离经典电动力学，他深信考虑有作用量量纲的普朗克常量h的效应是解决原子结构问题的关键。玻尔假定，氢原子核外电子的轨道不是连续的，而是分立的，在轨道上运行的电子具有一定的角动量L=mvr (其中m为电子质量，v为电子线速度，r为电子轨道的半径)，只能取普朗克常量h的整数倍(除以2π)：L=nh/(2π) (n=1,2,3,···称为主量子数)，这就是玻尔量子化条件，是解释氢原子光谱分立化的革命性假设。只有当原子从一个较高能量E m 的稳定状态跃迁到另一较低能量En的稳定状态时，才发生量子跃迁，发射单色光，其频率 ω mn = 。
玻尔建立的量子理论(今称之为旧量子论)打开了人们认识原子结构的大门，成功地解释了(类)氢原子光谱的一般规律(见图1)。然而，玻尔量子论无法定量地解释谱 线的(相对)强度，对于更复杂的原子(如氦原子)的光谱，玻尔量子论就更加无能为力了。从理论体系来讲，能量量子化概念也与经典力学运动的连续性是不相容的。而量子力学正是为进一步解决这些问题才应运而生的。量子力学有海森堡(Heisenberg)矩阵形式——矩阵力学，和薛定谔(Schrödinger)方程——波动力学两种表达方式。
图1 氢原子的玻尔模型与光谱线系
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矩阵力学
量子力学的矩阵形式或称矩阵力学起源于三篇划时代的论文：海森堡的“一个人文章”(Heisenberg, 1925)、玻恩(Born)和若尔当(Jordan)的“两个人文章”(Born, et al., 1925)，以及海森堡、玻恩和若尔当的“三个人文章”(Born, et al., 1926)。英国物理学家狄拉克(Dirac)在“两个人文章”之后，用c数和q数重新表达了矩阵力学(Dirac，1925)。通常认为“一个人文章”是海森堡的独创，“两个人文章”是“一个人文章”的严谨数学表示，而“三个人文章”则是系统性综合和应用推广。
1924年，海森堡首先意识到描述微观世界的力学量必须是可观测量，诸如坐标和动量之类的经典物理概念不能同时用来描述微观粒子的运动。他指出，对原子之类微 观系统的描述，人们主要依据光谱学的观察，原子的光辐射体现了电子运动的全部特征。根据经典物理和对应原理，一方面电子变速运动会导致电磁辐射，其频率分布是由电子坐标q(t)的傅里叶(Fourier)变换中出现的谐振频率决定的；另一方面，在玻尔的原子模型中，根据里兹(Ritz)组合定律，辐射的频率ωmn= 与两个原子轨道的能级Em和En相联系。因此，相应的量子系统中坐标的傅里叶变换必须是依赖于两个指标的二维傅里叶变换 。对动量也要做类似的 处理， 。 在此基础上，海森堡引用了1924年7月玻恩发表的一篇题 目为“量子力学”(Born，1924，德文名为Über Quantenmechanik)的论文所给出的量子化条件(索末菲(Sommerfeld)量子化条件的微分–差分形式)，直接给出了谐振子能量的量子化。也是在这篇经典文献中，玻恩首先使用了“量子力学”一词。玻恩推广了克拉默斯(Kramers)处理原子内电子系统和电磁场之间相互作用的方法，从而能够处理带电系统之间的相互作用。玻恩的做法是将微分方程用差分方程代替，依据玻尔的对应原理，就可以完成经典力学向当时旧量子论——原生态的量子力学的过渡。
“两个人文章”把海森堡猜测性的工作推向系统化科学理论的高度。玻恩意识到，海森堡把可观测力学量用两指标傅里叶变换描述，其本质是赋予每一个物理量(如粒子的坐标、动量、能量等)一个矩阵表示(后来狄拉克称之为q数，冯·诺依曼(von Neumann) 称之为算子)，它们的代数运算规则与经典物理量不同，两个量的乘积一般不满足交换律。更重要的是，玻恩和自己的助手若尔当合作，在“两个人文章”里明确给出了基本可观测量的对易关系(或称基本对易关系) 。 这个由玻恩最早提出的对易关系本应命名为玻恩对易关系，但在很长时间内(甚至到现在)常常被误称为海森堡对易关系。
海森堡关于量子力学的基本思想是划时代的，但在“两个人文章”之前，其科学逻辑是不完整的：一方面，虽然海森堡原来就强调可观测量的作用，但其理论在具体表述上仍然沿用了坐标、动量等经典观念，以及电动力学中带电粒子速度变化导致电磁辐射的经典定律。因此，海森堡最早提出的“量子力学”从概念逻辑上无法摆脱经典观念的束缚。另一方面，由于海森堡当时并不知道矩阵的概念，理论背后的数学观念并不清楚，因此无法对稍加复杂的系统(如氢分子)进行有效的计算。玻恩和若尔当的工作使得海森堡量子力学走出“原生态”：对于微观系统，玻恩把量子力学的可观测量当成算子而不是可对易的数，避免了在微观世界描述中继续使用不可直接观测的经典力学量的逻辑尴尬，彻底贯彻了海森堡“理论必须建立在可观测量之上”的核心精神，使得新的量子理论成为一个逻辑自洽的矩阵力学思想体系。此外, “玻恩对易关系”的建立，使得量子条件变得十分简洁、直观。此后不久，物理学家泡利(Pauli)利用“玻恩对易 关系”，对氢原子能谱给出了一个十分漂亮的代数计算(Pauli, 1926)。另外“玻恩对易关系”在物理上非常直观地展示了约化普朗克常量 是刻画经典和量子边界的重要物理参数：在一些物理过程中， 的作用可以不予考虑，则动量和坐标可以看成对易的，因而基本上可以用经典物理来近似地描述实际的物理过程。
总之，矩阵力学继承了旧量子论的关键要素(如原子的离散能级和定态、量子跃迁、频率条件等概念)，同时又摒弃了一些没有实验根据的传统概念(如粒子轨道运动的概念)。亦如海森堡特别强调的，理论中只出现可观测的物理量，如光谱线的波长(波数)、光谱项、量子数、谱线强度等。
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波动力学
1925年，在普朗克–爱因斯坦的光量子论和玻尔的原子论的启发下，法国物理学家德布罗意(De Broglie)注意到几何光学与经典粒子力学有一定的相似性，他通过逆向类比，设想实物(静质量m≠0) 粒子也和光一样，具有波动性。他假定与一定能量E和动量p的实物粒子相联系的“物质波”的频率和波长分别为ν=E/h，λ=h/p(今天称为德布罗意关系)。这个假定把物质存在的两种形式统一起来：无论是实物粒子还是光波，都具有波动和粒子的二重属性——波粒二象性。德布罗意进一步把原子定态与驻波联系起来，即把束缚运动实物粒子的能量量子化与有限空间中驻波的波长(或频率)的离散性联系起来。例如，氢原子中做稳定的圆周运动的电子应具有驻波的形状，绕原子核传播一周之后，驻波应当光滑地衔接起来，这就要求圆周长是波长的整数倍，2πr=nλ (n=1,2,3,···)，r是圆轨道半径。用λ=2πr/n代入德布罗意关系，可求出角动量J=rp= ( n = 1,2,3,···)。于是，根据驻波条件就很自然地得出了角动量量子化条件，从而说明粒子能量的分立性。实物粒子的波动性的直接实验验证是在1927年完成的。
在德布罗意工作的基础上，奥地利物理学家薛定谔于1926年初提出了描述物质波的基本波动方程——薛定谔方程(Schrödinger，1926a，b)：
其中 是系统哈密顿量的算子形式， 是动量算子， 代表粒子所处的势场。这是一个含波函数ψ(x,t)对空间坐标的二阶微商的偏微分方程。它把原子的离散能级与微分方程在一定边界条件下的本征值问题联系起来。成功说明了氢原子、谐振子等的能级和光谱的规律。应用薛定谔方程时，必须先给出哈密顿算子的表达式，涉及系统的动能与势能，并根据物理情况给出方程边界条件。将算子微 分表达式代入薛定谔方程，在给定边界条件下求解所得到的偏微分方程，即可找到波函数。关于微观系统的量子态的信息，全部都会包含在得到的波函数之中。
薛定谔在创建波动力学时运用类比的方法，犹如哈密顿(Hamilton)过去对力学和几何光学进行的类比：光学中的费马(Fermat)原理(光走的路程最短)同理论力学中的最小作用量原理是很相似的。薛定谔考虑到在光学中有牛顿的几何光学和惠更斯(Huygens)的波动光学，物质具有波动性意味着应当有相应的波动力学。他说: “从通常的力学走向波动力学的一步，就像光学中用惠更斯理论来代替牛顿理论所迈进的一步。”提出薛定谔方程之前，薛定谔就考虑过德布罗意思想的相对论性推广，他将推导出的相对论性波动方程应用于氢原子，计算出束缚电子的波函数。但很可惜，因为薛定谔没有将电子自旋考虑进来，推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。为此他只好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩下的非相对论性结果计算氢原子的谱线。求解这种微分方程的工作相当困难，在数学家外尔(Weyl)的鼎力相助下，他重复出了与玻尔模型完全相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部分，只把非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结果写为一篇论文。1926 年，他正式发表了关于波动力学的划时代论文。
薛定谔独立创建的这种量子力学形式(今称之为波动力学)，赢得了爱因斯坦等老一代物理学家众口一词的喝彩，因为当时老一代物理学家中很多人在数学上并不熟悉矩阵，也就不能很好地理解矩阵力学表达物理问题的思想方式，在物理上不理解为什么“理论必须建立在可观测量之上”。基于同样的原因，薛定谔和海森堡之间有过诸多言辞激烈的争论，但最终薛定谔还是证明，两种形式是等价的(Schrödinger，1926b)。几乎同时，美国物理学家埃卡特(Eckart)也独立地证明了这种等价性(Eckart，1926a，b)。其实，狄拉克在“两个人文章”完成后不久，特立独行地用c数、q数重新表达了矩阵力学(Dirac, 1925)，与经典力学的泊松(Poisson)括号类比，狄拉克直觉地给出坐标–动量不可对易关系，狄拉克符号法则从另一个角度展示了矩阵力学与波动力学的等价性。此外，狄拉克和若尔当后来提出了一种基于变换理论的更普遍形式的量子力学表示，这显示出矩阵力学和波动力学只不过是量子力学规律的无限多种表述形式中的两种。
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量子力学波函数的意义
1926年6月，玻恩发表了《论碰撞过程中的量子力学》一文(Born，1926)，提出了应用波动力学解决散射问题的基本方法——玻恩近似。值得指出的是，在这个文章中，玻恩正式提出了波函数的概率诠释。在这里波函数的概率诠释虽然是作为副产品出现的，但它是量子力学正确描述微观系统物理实验最核心、最重要的物理概念。
当时玻恩意识到，只有薛定谔的波动方程才适合于描述碰撞过程。他曾经尝试用矩阵力学解决碰撞问题，但是没有成功。他意识到，要解决碰撞问题，必须在特定边界条件下求解定态薛定谔方程，边界条件的正确选取是解决碰撞和散射问题的关键。以一个电子入射到原子上为例，如果电子沿着一个给定方向入射，那么散射波在传播方向的无穷远处是一个渐近的平面波。在这个过程中，质心静止的原子内态将被激发到分立的本征态的叠加上。怎么理解和解释这些描述电子和原子联合状态的叠加系数的物理含义是问题的关键。采用碰撞和散射的波动图像表述，那些叠加系数显然不可能代表从原子散射出去的物质密度分布。
如果回到粒子图像，考虑电子是一个不可分割的点粒子，粒子散射单纯的波动图像就会与波粒二象性的描述矛盾：如果波函数代表了散射出去的电子的密度分布，粒子散射以后怎么就会变成弥散在整个空间中的波呢？为了解决这一矛盾，玻恩明确地指出，回到粒子图像唯一正确的解释是，这些叠加系数代表了粒子沿特定方向入射，然后被散射到特定方向的概率，因此物质波只是一种概率波。“一种更加精密的考虑表明，概率与‘叠加系数函数’的平方成正比”。当然，今天知道，更准确的说法应该是绝对值或者模的平方。玻恩说是叠加系数函数的平方，是因为他讨论问题时采用的是入射态和出射态的实部。在这里，玻恩的考虑抓住了一个伟大科学发现的关键——量子跃迁概率的概念。在紧接着的同名文章中，玻恩进一步明确，并一般地阐述了概率诠释：归一化的波函数，可以写成几个有离散本征值的非简并本征态的线性叠加，展开式的系数，其模的平方是系统在相应本征态的概率。至此，人们终于发现了波动力学是描述粒子运动的概率性定律，而且概率的改变遵守因果定律。
历史上，爱因斯坦曾经对波函数的概率诠释提出过尖锐的反对意见，他倾向于量子力学应当是决定论性的描述。爱因斯坦说：“无论如何，我都确信，上帝不会掷骰子。”薛定谔也反对“概率波”观点。他认为，波函数本身应当代表一个实在的物理上的可观测量，一个粒子可想象为一个物质波包。在1927年索尔维会议之后，在玻恩概率诠释基础上，以玻尔和海森堡为代表的观点形成了量子力学的哥本哈根诠释，它的两个理论支柱就是玻尔的互补原理和海森堡的不确定关系。但是，以爱因斯坦和薛定谔为代表的另一方，却对哥本哈根诠释提出了进一步的批评，它集中反映在“薛定谔猫佯谬”和“爱因斯坦–波多尔斯基(Podolsky) – 罗森(Rosen) (EPR) 佯谬”两个理想实验的思辨中。薛定谔在关于薛定谔猫佯谬的文章中首次提出纠缠态(entangled state，复合系统不能表达为直积形式的叠加态)的概念，并用一个假想实验来说明，波函数的概率诠释直接应用于宏观物体，会得出荒谬的结论。“EPR佯谬”一文则主要针对波函数的概率诠释，以叠加态来说明“波函数对物理实在的描述是不完备的”，并坚持定域实在论的观点，用纠缠态来说明量子力学对物理实在的描述是不自洽的。
后来，玻姆(Bohm)用两个自旋为1/2的粒子的自旋纠缠态，把纠缠态更为明确地表述出来。贝尔(Bell)基于定域实在论和隐变量理论，分析了自旋纠缠态的性质：自旋单态下的两个自旋为1/2的粒子，存在自旋沿不同方向的投影关联，从而给出一个著名的不等式(贝尔不等式)，用来判断非定域关联的存在。根据这个不等式，可在实验上检验究竟是量子力学正确，还是定域实在论和隐变量理论正确。阿斯佩(Aspect)等的实验观测以及后来所有有关的实验都证明，量子力学关于非定域效应的预言是正确的，而定域实在论和隐变量理论给出的不等式与实验相悖。有人依据非定域性引发的“信号”超光速现象推断量子力学和狭义相对论是有矛盾的，然而，如果不使用波包塌缩去理解量子力学非定域效应，不对量子力学的统计预言进行过度的因果性解读，量子力学与狭义相对论就没有矛盾。
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量子力学的发展
量子力学的建立不仅成功地解释了氢原子光谱结构，而且为探索原子核、原子、分子、固体、液体和气体开辟了道路。海特勒(Heitler)和伦敦(London)对氢分子结合机制的研究，奠定了鲍林(Pauling)等人理解化学键理论的物理基础；布洛赫(Bloch)基于量子力学提出了能带论，阐明了固体有导体、半导体和绝缘体之分；伽莫夫(Gamow)用粒子的势垒隧穿概念，阐明了原子核衰变机制，对后来核能的利用有重要意义。
1928年狄拉克独立创建了描述电子运动的相对论性波动方程——狄拉克方程，对氢原子光谱的精细结构和电子自旋的本质给予了正确的描述。由此，狄拉克预言了反粒子构成的物质新世界。狄拉克关于电磁场量子化的工作进一步补充了量子力学对场的描述，使得实物粒子与电磁场相互作用相关的所有问题原则上得到解决。在狄拉克上述两项工作的基础上，20世纪30年代诞生了量子场论，这是量子力学发展的另一个重大领域。
关于非相对论性量子力学后期进展，必须提及费曼(Feynman)在20世纪40年代发展的路径积分理论。量子力学与经典力学的关系在路径积分形式下展现得格外清楚：如果说海森堡的矩阵力学是经典正则方程的量子对应、薛定谔的波动力学是经典雅可比(Jacobi)–哈密顿方程的量子对应，费曼的路径积分理论则与经典力学的拉格朗日(Lagrange)作用量有密切关系。量子力学路径积分形式不仅对量子干涉效应给出了直观物理图像，而且易于推广到相对论情况，在量子场论中得到广泛而方便的应用。
量子力学的近期发展主要是应用到信息、能源和生命等交叉领域。根据计算机发展的摩尔(Moore)定律，计算机芯片元件不久将会达到它的极限尺度，因此突破芯片元件尺度的极限是当前信息科学所面临的一个重大科学问题。从物理学角度看，信息的载体必定是一些特定的物理系统，信息的传递和处理必定是某种物理过程。随着物理的存储单元变得越来越小(甚至变成单个原子)，量子效应会越来越明显地表现出来，基本量子特性——量子相干性会在信息的存储、传递和处理过程中起到核心作用。以量子力学原理为基础，充分利用量子相干性的独特性质(量子并行、量子纠缠和量子克隆)，我们可以探索以全新的方式进行计算、编码和信息传输的可能性，为突破芯片极限提供新概念、新思路和新途径。由此已经孕育出了一门新兴学科——量子信息论，它包括量子计算、量子通信和量子密码学等新兴量子科学与技术。除了量子信息论领域之外，量子力学正逐步渗透到生命科学领域，探索量子相干性在生命过程中的作用，如生物罗盘和光合作用中的量子效应。
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量子力学的未来前景
量子力学是一门被实验完全证实、在应用上十分成功的理论学科。与任何一门自然科学一样，我们应该把量子力学看成一门还在发展中的学科，而并非终极真理，量子力学的成功并没有，也不可能关闭人们进一步认识自然界、探索微观世界的前进道路。
从20世纪90年代中期开始，诺贝尔物理学奖获得者特霍夫特(’t Hooft) 从引力量 子化角度出发，考虑量子态是否是一种更深物质层次上状态的粗粒化，而量子力学恰是某种更深层次理论的有效理论。特霍夫特证明，黑洞内部全部量子态的运动，可以由其表面上布尔(Boole)态的行为完整地描述，这就是量子引力的全息原理(holographic principle)。这个研究结果预示着，黑洞表面的布尔态也许是黑洞全部内态的粗粒化代表。而描述布尔态的量子引力理论只能是某种未知理论的有效理论。这个观点能很好地说明为什么量子引力理论通常是非定域的。1999 年，特霍夫特把这种等价类的思想进一步推广到整个量子力学：在原子尺度(量子力学有效工作的夸克以上物理尺度)上展现出的量子态，是普朗克尺度(一种极高能量的物理尺度)上“原初态”(primordial states) 的等价类，这些原初态服从某种确定的(deterministic)、耗散的(dissipative)或不可逆的物理定律。通过粗粒化损失了内部信息，幺正的量子力学可以从这种更底层的定律涌现出来。从这个意义上讲，这种理论也可以视为某种经典隐变量理论。此前，美国物理学家阿德勒(Adler)提出了另外一种类似的底层理论——矩阵迹动力学(trace dynamics)：把经典拉格朗日力学中的变量看成算子并求迹得到可微分运算的广义经典拉格朗日量，其动力学方程包含比海森堡方程多的残余项，在统计粗粒化平均下残余项贡献消逝，量子力学作为一个有效理论就涌现出来。这个理论在一定程度上可以定量描述吉拉尔迪(Ghirardi)–里米尼(Rimini)–韦伯(Weber) (GRW) 理论的唯象参数——自发塌缩率(rate of spontaneous collapse)。
事实上，撇开对其诠释上的差异，量子力学已经在令人震惊的精度上正确地描述了“原子尺度”的物理。在这个“原子尺度”上另起炉灶建立全新的理论既不可能，也没有意义。特霍夫特和阿德勒等人的理论是工作在更小尺度和更高能标上，量子力学是它们的低能(或较大尺度极限时的)有效理论，因而自然要克服以前各种新理论的困难和不足。应当指出，量子力学与引力的完美结合，是物理学未解决的重大科学问题，它的深入研究或许会导致物理学的革命性进展，量子力学将在这个方向发展并大展宏图。
目录
绪论
1 从经典物理到量子理论
2 矩阵力学
3 波动力学
4 量子力学波函数的意义
5 量子力学的发展
6 量子力学的未来前景
第一章量子力学的基本思想和数学表述
1.1 从玻尔模型到矩阵力学
1.2 波动力学与玻恩概率诠释
1.3 量子力学基本原理的数学表述
1.4 表象理论: 薛定谔表象和海森堡表象
1.5 量子态的密度矩阵
1.6 谐振子量子化的代数方法与相干态
附录1.1 狄拉克符号与对偶空间
附录1.2 从索末菲量子化条件到基本对易关系
附录1.3 从哈密顿-雅克比方程到薛定谔方程
附录1.4 从物理光学的光波到几何光学的光线
习题
第二章量子系统的时间演化
2.1 运动方程与态叠加原理
2.2 标准量子极限与波包扩散
2.3 从海森堡运动方程到牛顿方程
2.4 相互作用表象
2.5 二能级系统、量子比特和拉比振荡
2.6 受迫谐振子演化和相干态产生
2.7 量子系统的演化: 戴森展开与微扰论
2.8 量子绝热近似方法
2.9 玻恩-奥本海默(BO) 近似与诱导规范势
2.10 绝热近似方法的复延拓——朗道-齐纳近似
2.11 量子力学的费曼路径积分表述
附录2.1 耗散系统的波包演化
附录2.2 贝里相因子的几何意义
习题
第三章多粒子系统与二次量子化
3.1 双粒子系统、约化密度矩阵及量子纠缠
3.2 全同粒子系统
3.3 量子态的二次量子化
3.4 力学量的二次量子化表示
3.5 场的二次量子化
3.6 玻色{ 爱因斯坦凝聚(BEC) 与序参量
3.7 对称性自发破缺、非对角长程序及博戈留波夫近似
附录3.1 对称式与玻色子
附录3.2 玻色-爱因斯坦凝聚的非对角长程序计算
附录3.3 玻色-爱因斯坦凝聚的稳定性与托马斯-费米近似
第四章电磁场中的带电粒子及其相对论理论
4.1 电磁场与带电粒子的相互作用
4.2 二维平面中的带电粒子: 朗道能级与量子霍尔效应
4.3 二能级原子与量子光场相互作用的基本模型
4.4 自发辐射问题
4.5 相对论性带电粒子的量子力学与自旋
4.6 自旋与电磁场中的带电粒子
4.7 相对论电子的平面波解与中微子二分量理论
4.8 非理想电子气基态与超导的BCS 理论
附录4.1 超导基态与准自旋方法
习题
第五章对称性与角动量理论
5.1 量子力学中的对称性与群论初步
5.2 量子力学中的对称性: 平移、空间反射和时间反演
5.3 转动对称性
5.4 单粒子的角动量理论
5.5 角动量耦合
5.6 不可约张量与维格纳-埃卡特定理
5.7 氢原子的SO(4) 对称性和偶然简并
习题261
第六章散射的量子理论
6.1 散射问题的一般讨论
6.2 一维散射问题: 平面波处理
6.3 一维定态散射问题: 波包处理
6.4 散射问题定态理论和波包处理: 入态和出态
6.5 李普曼-温格方程与玻恩近似
6.6 分波法与低能散射
附录6.1 散射振幅 fk(br) 与 r 无关
附录6.2 离散系统的单粒子散射问题
附录6.3 关于光学定理的一般证明
附录6.4 中心力场中的波函数及其渐近行为
第七章量子测量与量子力学诠释问题
7.1 背景: 量子力学基础的二元结构与哥本哈根诠释
7.2 测量过程的量子理论
7.3 量子测量的典型例子: 施特恩-格拉赫实验
7.4 量子退相干、环境辅助量子测量与薛定谔猫
7.5 量子力学的多世界诠释——相对态表述
7.6 量子纠缠与贝尔不等式
7.7 量子自洽历史、量子达尔文主义和各种诠释的统一
附录7.1 量子测量的动力学模型
附录7.2 爱因斯坦-波多尔斯基-罗森(EPR) 佯谬
习题
参考文献
索引
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