新定义“和距离”
2024年东城区九年级数学第28题
初中阶段数学学习过程中，关于距离的描述，我们先来捊一捊：
1、两点之间的距离
2、点到直线的距离
事实上它是基于两点之间的距离定义的，即直线外一点到垂足，这条线段的距离；
3、平行线间的距离
请注意，这个概念并不是在七年级学习平行线之后引入的，而是在八年级下学期学习了平行四边形之后引入，原因是学生在学习了平行四边形之后，对这个概念的理解会更深一些，也有更丰富的数学情景去应用这个概念；
4、点和圆的位置关系
事实上圆本身的定义中就包括两点之间的距离，毕竟圆是由到定点的距离等于定长的所有点的集合；我们判断点和圆的位置关系时，借助的距离是这个点与圆心的距离，本质上仍然是两点之间的距离，只不过要和半径进行比较；
由于圆的旋转对称性，通常情况下，将这个点放在经过圆心的直线上，再来看距离比较合适，这也是处理圆相关距离问题的通法；
5、直线和圆的位置关系
这就又回归到点与直线距离的定义了，只不过这个点是圆心；
6、圆和圆的位置关系
两个圆的圆心距，仍然是两点之间的距离，但要考虑半径对位置关系的影响；
综上所述，距离这个概念的基石，是两点间的距离，即连接两点线段的长度，后续所有相关联的概念，都要在它的基础上拓展，区别是“两个点”身份发生了变化。
2022版义务教育数学课程标准中，对这些概念的要求如下：
63页：理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离；
64页：理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；
66页：理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离；
我们在新课标附录2中找到对“理解”二字的解释，描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。
不得不说，对距离概念的要求，并不低，那我们如何检测学生对上述概念的理解程度，东城区这道新定义“和距离”给出了一份参考。
题目
解析：
01
(1)我们仍然先来阅读原题中的这段描述，以期准确把握，理解透彻，再去完成后面的题目。
“和距离”的描述较为简单，点P，两条直线，熟悉点到直线距离的学生，应该很容易联系到过点P分别向这两条直线作垂线段，这两条垂线段长度之和即为“和距离”；
回到题目中，两条直线是两根坐标轴，给出了三个点坐标，最普通的方法是对每个点求一次到坐标轴距离，再计算“和距离”；
稍用点技巧的方法，是将每个点横、纵坐标的绝对值相加，毕竟点到坐标轴的距离，我们在七年级学习平面直角坐标系的时候，就知道，可以用横、纵坐标的绝对值求解。
结果是P1和P2；
02
(2)直线y=-x+3经过一、二、四象限，而在每个象限内，点P关于x轴和y轴的“和距离”略有差别，因此我们需要分类研究：
第一象限，如下图：
由于直线y=-x+3与坐标轴的夹角为45°，因此上图中出现了以PA和PB为边的等腰直角三角形，利用它们，可以得到PA+PB=3，即“和距离”d=3；
第二象限，如下图：
显然，仅PB的长就超过了3，因此PA+PB>3；
第四象限，如下图：
显然，仅PA的长度也超过了3，因此PA+PB>3；
综上所述，直线在第二、四象限的部分，“和距离”d>3，而在第一象限部分，“和距离”d=3，所以最小值为3；
如果仅从纯代数角度来看，本题也有另外的解法，即设点P坐标为(x,-x+3)，根据“和距离”的定义，d=|x|+|-x+3|，同样需要分类研究，分别是x<0时，0 3时，细心的朋友应该能发现，这正好对应前面方法中的三个象限，具体过程略过；
03
(3)先按要求作图，如下图：
首先观察直线y=√3x+6，它与x轴交点坐标是(-2√3，0)，与y轴交点为(0,6)，构成了一个特殊直角三角形，与x轴夹角为60°，此时的“和距离”d=PB+PC；
然后我们设法将PB和PC这两条线段转换成某一条线段，以方便我们求它的取值范围，基本思路是“化斜为直”，PC⊥x轴，因此我们转换目标是线段PB，不妨延长CP交直线y=√3x+6于点F，如下图：
我们可以求得∠BFP=30°，因此在Rt△BPF中，PF=2PB，所以我们需要找到一条线段，使其等于2PC，方法是利用轴对称，将线段PC关于x轴的对称线段找到，由于端点P在圆A上，所以我们将整个圆A关于x轴对称，得到圆A'，则圆A'上的点即为点P'，如下图：
现在上图中的线段PP'=2PC，于是FP'=2(PB+PC)，我们只需要关注线段FP'的变化即可；
线段FP'的一个端点F在直线y=√3x+6上，另一个端点在圆A'上，这显然与点到直线的距离联系了起来，我们再次进行转换，只不过这一次是“化直为斜”，过点P'向直线y=√3x+6作垂线段P'M，如下图：
Rt△P'MF是含30°的特殊直角三角形，P'F=2P'M，于是我们完成了终极转换，P'M=PB+PC=d，“和距离”d变成了上图中的线段P'M；
当直线P'M过圆心A'时，即可找到线段P'M的最大值和最小值，如下图：
下面我们来计算A'M的长度，直线y=√3x+6与y轴交点为E(0,6)，且点A'(0,-3)，利用特殊直角三角形三边数量关系求出A'M=4.5，于是P'M最小值为4.5-1=3.5，P'M最大值为4.5+1=5.5，故3.5≤d≤5.5.
解题反思
本题的“和距离”新定义读起来并不困难，当然是指字面理解，给学生一个较为简单的环境，例如第1小题，通常这也是我们在新授课中达到的难度，用新课标中的描述就是“理解”，然而新定义题型最关键的当然不仅仅只有这个层面，而是要深入理解，并会"运用"，这也是第2小题需要达到的高度；而在第3小题，需要学生利用新的概念，进一步探索，这也是新课标中较高层次的要求，作为压轴题，正合适。
从给学生讲题的角度，要把一道新定义题讲清楚，是不容易的，因为这个“清楚”是指学生理解透彻，如果平时概念理解不到位，任凭老师课堂上舌灿莲花，也是对牛弹琴。所以必须要反思我们的新授课教学，在每一个数学概念生成的时候，有没有“长偏”？
从命题角度，初中数学可用于进行新定义构建的概念随处可见，新课标既然要求学生用数学的眼光看待现实世界，实际上老师更应该具备这样的眼光，数学本身就有极为丰富的情景，可以容纳抽象的概念，并提供不同的理解角度，命制一道这样的新定义压轴题，并不容易。
从教学评价角度，能够顺利完成本题的学生，无疑具备了较高的数学素养，这样的学生自然能令老师省心，然而我们的教学，应该面向全体，所以更应该关注那些还不能顺利完成的学生，他们的理解究竟在哪一步出了问题？是什么问题？怎样解决这个问题？等等，有待我们在后续教学中完善。