为什么是牛顿发现了万有引力？如何通过现象得出普适的理论？他具备了什么样的科学家的素养？这样的素养是不是每个人都可以培养的？
法国巴黎高等师范学院概率学博士米卡埃尔·洛奈的这本没有一个公式却能讲透数学思维的《数学的雨伞下》，就告诉我们科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。而这种思考方法是可以习得的。
当我们在了解这个世界的过程中，现实经常会挑战我们的感官和直觉，让我们震惊不已。这时，数学就像一把雨伞，当撑开这把雨伞时，我们仿佛进入了一个奇特的境界，有了迈向真相、行走在谜团中的勇气；当收起这把雨伞时，我们会发现自己的认知已大不一样，所谓的“理所应当”和“显而易见”将被摒弃，现实背后隐藏的真相将带来巨大的启发。这就是数学的力量。
我们从书中关于数学的雨伞与牛顿发现万有引力的思考中看一看数学的魅力！
来源 | 《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》
作者 | [法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者 | 欧瑜
我记得几年前经常合作的一位数学家朋友曾经说过一句话。当时我们俩正要道别，我们决定在两周后的同一天、同一时间再见。在她掏出记事本以便记下见面的日期时，我听到她喃喃低语了一句，多半是说给她自己而不是说给我听的：“今天是 4 月 20 号，那么 14 天之后就是 34 号，那就是 34 减 30——5 月 4 号。”
这个算法让我笑了。我在回程的地铁上想了很长时间，她发明了一个不存在的日期：4 月 34 号。这种思维方式对于一个受过数学训练的人来说既自然又典型！当天晚上，我对几个并非数学专业出身的朋友提出了这个问题：“14 天后是几号？”我发现他们每一个人推导日期的方式都不一样。有人说，10 天之后是 4 月 30 号，所以 11 天之后就是 5 月 1 号，那么 14 天之后就是 5 月 4 号。从 4 月到 5 月的过渡打破了算术的规则，因为 30 的后面是 1，这一过渡似乎把他们限制在一个数学之外的步骤上去进行月份转换。由于数字的自然增长被打断了，因此必须着意打断这种思维。而我必须承认，如果有人对我提出这个问题，我很可能也会这样推导日期。
相反，我的那位数学家朋友并没有在这些太过实际的障碍上停滞不前。4 月的最后一个日期没有对她的加法形成任何妨碍。因为 20 加 14 等于 34，所以日期就会是 4 月 34 号。而 4 月 34 号就等于 5 月 4 号，仅此而已（图 2.6）。她发明了一个不存在的日期，以便让自己的推导直达目标。而这丝毫没有妨碍她得到正确的结果！
图 2.6
这是数学颠覆我们三观的优点之一：可以用不存在的东西去恰当地思考。实际上，思考不存在的东西甚至可以说是数学的特性。不存在的东西也就是抽象的东西。
数字显然是最引人注目的例子之一。一旦脱离了被它们模型化的现实，数字就成了纯抽象的概念。它们是想法，是我们用作思维中间环节的想象之物。就像发明 4 月 34 号来推导日期会是方便之法一样，发明新的数字对思考新的问题也会有所帮助。
比如，复数就是这样不期而至的。没有任何距离会是 -11 千米。无论从哪种逻辑上来讲，距离都应该用一个正数来表示。但是，在测量地球上各点之于海平面的海拔时，把位于海平面之下的海渊的海拔看作负数会很实用。照此，位于地壳最深点的马里亚纳海沟的海拔就是约 -11 千米（图 2.7）。负海拔就是地理学家的 4 月 34 号。
图 2.7 图中单位为米
研究数学，就是创造想象的世界，在这些世界中，我们的思维可以自由漫步，不必担心现实的妨碍。这种思维方式虽然涵盖的范围要广得多，但和尼普尔人在加法世界中用来简化乘法的思维方式非常相似。当你碰到一个科学问题时，下面这种解决方法往往会很有效：
创造一个数学世界，你可以在这个世界里把问题模型化；
在这个数学世界里解决问题；
把结果转回到现实世界中。
比如说，这种通用的方法就被天文学家用来了解行星的轨迹或预测日食（图 2.8）。
图 2.8
这种解决问题的模式叫作“雨伞定理”。如果你在雨天想要在不被淋湿的情况下从一个地方前往另一个地方，请按照以下步骤操作（图 2.9）：
撑开你的雨伞；
开始你的行程；
收起你的雨伞。
步骤 1 和步骤 3 的操作是相反的，如果你能够在雨伞为你打开的特定世界中达成预期的目标，那么你在操作结束时就会恢复到开始时的状态。负数的雨伞为地理学家测量海拔提供了研究上的便利。对数的雨伞让淹没在乘法中的天文学家得以进入加法的世界。而更广泛地说，抽象的雨伞为所有科学家进入数学世界提供了可能。
图 2.9
在接下来的路途中，我们还会用到很多雨伞。雨伞，是观点的改变，是差异，是从另一个角度看待事物的艺术，一种更适合、更有效的角度。
走得更远，并不总是意味着长久而乏味的努力，而是首先要找到解决所面临的问题的正确方法。如果我们以正确的方式看待问题，那么最错综复杂的问题也会在一瞬间变得简单明了。伟大的智者能尽显其才，首先是因为他们拥有在正确的时间发明正确的雨伞的能力。
在 18 世纪，古怪的作家和旅行家乔纳斯·汉韦（Jonas Hanway）是第一个使用雨伞的伦敦人。这是一把真的雨伞——挡雨的伞。他为此遭受了很多白眼和伦敦马车夫赤裸裸的恶意，因为在当时，搭乘马车一直是在糟糕天气出行而不会被淋湿的唯一方法。毫不畏惧旁人眼光的汉韦继续自豪地使用了三十多年的雨伞，并慢慢看到他的同胞们也开始使用雨伞。在他去世后几个月，第一批商业化雨伞出现在英国，并获得了我们今日所知的成功。
不要惧怕与众不同，这就是雨伞的智慧。让我们无所畏惧，既不感到羞耻，也不抱有偏见。一旦接受在头顶撑起抽象的雨伞并进入数学的世界，我们就不会再全然依赖现实。不必让自己陷在无用的限制或令人尴尬的既有观念之中。你想要一个 4 月 34 号吗？拿去吧！你想要负数吗？拿去吧！你想要无穷吗？拿去吧！如果所有这些想法不会干扰你组织思维，甚至还有所帮助，那为什么要剥夺它们呢？你是自由的！
如此自由，甚至容易让人头晕目眩。在这一点上，数学和一大盘点心有着异曲同工之妙——选择太多，就难以做出选择了。懂得如何在数学世界里自我驾驭，是一种需要实践和直觉的能力。
为此，数学家制造出很多导航工具，其中有两个指南针：一个名叫“实用”，一个名叫“优雅”。“实用”引导我们创造出最贴近现实的抽象世界，在这些抽象世界中进行的研究能够轻松地转化为关于我们宇宙的知识。“优雅”告诉我们要完全抛开现实，并沉醉在抽象世界的奇观中。那里有许许多多美丽的事情要做——如果一件事是无用的，那它就更美了。
每个人都能以自己的方式使用这两个指南针。有些人偏爱其中的某一个，有些人则两个一起用，并不断在两个指南针指示的方向之间寻找完美的平衡。但世界充满奥秘，因此，探索实用之人和探索优雅之人常常会在走过不同的道路之后，在同一个地方不期而遇。看到大自然如此喜爱按照优雅的数学原理运转，真是既让人目瞪口呆，又让人不知所措。
万物落在万物之上，一刻不停
在抵达位于英国乡间林肯郡的伍尔索普小村时，你会感到那里若有若无的晨雾中漂浮着一种既普通又凌厉的气息。那里零星排列着十几幢带有花园的中型住宅。这片地区周围环绕着一望无际的田地，几乎没有受到从伦敦至爱丁堡的 A1 高速公路横贯而过的干扰。远处发动机的嗡嗡声和鸟儿的歌声交织在一起。经过伍尔索普的车辆很少，只有本地居民会开车去上班，以及借道科尔斯特沃斯前来伍尔索普庄园参观的游览车。
这些住宅的西南面是村中最古老的房屋，建于 17 世纪，每年吸引着成千上万的好奇游客前来朝拜。伍尔索普庄园不是很大。这是一幢倒 F 形的建筑，用略带赭石色的灰色石块修砌而成，高两层，有一间阁楼，外墙上排列着二十来扇小窗。我们可以沿着水巷路经由一条夯土小道进入庄园，小道的周围是一大片修剪凌乱的草坪，草坪上长着几棵树和英国灌木。
现在，庄园已经变成了博物馆，但它最吸引人的地方并不在墙壁之内。在西侧的花园里，有一棵有着浅灰色树皮的苹果树，岁月的风霜令树干弯曲，游客们对它特别感兴趣。人们来这里就是为了它。游人面带灿烂的微笑纷纷与它合影，并在当晚把照片发给朋友：“猜猜我今天看到什么了？”这棵树在伍尔索普的地位就像蒙娜丽莎在卢浮宫的地位。人们将信将疑地看着它，几乎不敢相信它是真的，对着这棵老树不禁涌起满腔的钦佩之情。人们语带调侃地不断传颂着这棵苹果树的传奇故事，它在三百多年前催生出了科学史上最奇妙的想法之一。
1642 年的圣诞之夜，艾萨克·牛顿出生在伍尔索普庄园。有一天，他在花园里喝茶沉思的时候，一个苹果掉了下来。
为什么东西会掉落？这个简单的问题所涉极广。世界上没有任何现象比引力更具有深度。这是一件我们如此熟悉且司空见惯的事情，实在令人难以相信它竟然会那么复杂。
从生命的头几年开始，所有人就已经学会了玩引力的游戏，把它的原理借为己用。年幼的孩子会积累经验、扔东西，甚至很早就掌握了识别一切掉落物体的惊人能力。用能够漂浮或上升的物件，比如氦气球，给只有几个月大的婴儿变戏法，你将发现他们会瞪大双眼，显然，他们意识到发生了非同寻常的事情。
引力送上第一个大惊喜，是在我们小时候得知地球是圆的那一天。这个发现让人目眩，因为它颠覆了我们的大脑对上方和下方的描绘。如果地球是圆的，那为什么地球另一端的人们不会掉进星际真空里呢？为了解开这个矛盾之谜，引力第一次迫使我们改变了自己的观点。下方，指的不是宇宙中的一个固定方位，而是我们星球的中心点（图 2.10）。生活在地球另一端的人的头脚方向与我们不同，但是和我们一样，他们也是头在“上方”，脚在“下方”！
图 2.10
这种解释令人满意，我们可能会就此止步。但在科学上，一个答案会带来十个新的问题——游戏从未真正结束，一贯如此。那么好吧，我们知道地球的下方在地心，但怎么会在地心呢？
比如，我们会很自然想要知道，究竟是下方构成了地球，还是地球构成了下方。换句话说，地球在这里形成是因为下方在它之前就在那里了吗？还是因为有了地球后，才使得下方来到了它的中心呢？让我们做一个思想实验。如果有可能借助巨型火箭的牵引力让地球在太空中移动，那么下方是会保持静止不动、悬浮在真空里，还是会跟随地球移动呢？而处于地球表面的人类是会掉进星际真空中，还是保持在地面上不动呢（图 2.11）？
直到 17 世纪，这个问题仍不断引起科学界的种种争议。1609 年，天文学家约翰内斯·开普勒出版了一部具有开创性的著作——《新天文学》（Astronomia Nova），他在书中明确表示支持第二种假设。在他看来，是地球产生了引力，是地球通过构成它的物质把我们吸引向它的中心。
图 2.11
开普勒甚至认为，这种吸引事物的能力并非只有地球才有。在他看来，这是物质的一种普遍特性。因此，他写道，如果可以消除地球的引力，海洋就会升入星空，直到它们在月球的躯体上流淌（图 2.12）。他还声称，这种吸引能力并非为行星或其他天体所独有的，而如果两个小物体被送到宇宙的广袤空间中，远离大天体的引力影响，那么它们就会慢慢地掉落在彼此之上。
你在 21 世纪阅读这本书的时候，或许已经知道历史证明了开普勒是对的。是的，地球的引力确实是它自行产生的，就像所有的物体自行产生引力一样。但不要忘记，在 17 世纪，这一切不过是猜想。了不起的猜想，毕竟还是猜想。想要让一种论断具有科学性，就必须能够用准确和可以验证的说法把它表达出来，而且最好能用数学的说法。然而，我们不可能消除地球的引力，也不可能在那个年代把两个小物体送入星际真空。开普勒的想法极具远见，但还不完善。剩下的，就是要创立一种严谨的且可以验证的伟大理论来证实所有这一切。
图 2.12
就在那个时候，在伍尔索普的花园里，一个苹果掉了下来。
1687 年，艾萨克·牛顿出版了一部名为《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica，下文简称《原理》）的非凡之作。这本书可以说是科学史上最具影响力的作品之一，标志着人类理解引力和通过引力理解宇宙的转折点。书中介绍的引力理论因其非凡的普遍性和数学公式化的力量而引人瞩目。
苹果掉落让牛顿产生了撰写《原理》的伟大想法，在这个故事中有多少是真实的，有多少是杜撰的，我们并不太清楚。牛顿的这个想法部分借鉴了开普勒的思考，但他把这些思考推到了极致，从而提出了一个绝对通用的原理，这个原理可以表述为：万物落在万物之上，一刻不停！宇宙中的任意两个物体，无论它们是什么，身在何处，都会不断地相互吸引，若无阻碍，两者会具有相互掉落的趋势。
借助这个简单的法则，牛顿解释了各种风马牛不相及的现象，而此前人们从未想到，这些想象可以用如此简单的方式加以理解。当然，万有引力解释了为什么苹果会掉落在地球上，因为它受到了地球的吸引。正如开普勒所预言的那样，万有引力还解释了潮汐现象。海洋每天升起又落下，是因为受到了月球的吸引，尽管我们卫星的引力还不足以把地球上的水带到月球上，但也足够让地球上的水升高几米。牛顿还认为，是引力让行星保持致密。构成地球的物质之所以没有像抛在风中的一捧沙子那样在空中散开，那是因为引力让它保持聚成一体的状态。
但是，牛顿最大的成就无疑是用简单的引力定律解释了月球和行星的运动。
在过去的几个世纪中，陆地上的现象和天空中的现象一直都被区别对待。人们认为天空中的物理规则有所不同。人们认为苹果掉落的运动法则和行星转动的运动法则不一样。证据就是，苹果没有在转动，而行星没有在掉落！但牛顿在《原理》中提出了相反的看法，从而掀起了一场名副其实的革命。在他看来，所有旋转的天体唯一的运动就是永不停止地掉落。
就以月球为例。牛顿声称月球受到地球的吸引并朝地球掉落。但这一推理的全部精妙之处就在于：由于地球的直径只有约 13 000 千米，而月球又运行得飞快，因此后者掉落时就总是落空！于是，月球一次又一次地朝着不断躲开的地面重复同样的运动，从而持续掉落而速度不减。对于牛顿而言，我们所说的轨道，不过是永远落空的掉落。
下方位于地心的事实，让这种永恒的掉落成为可能。假设你拥有超人的力量，能够以惊人的速度把苹果径直向前抛出，使之落在地平线的后面。如果“下方”的方向保持不变（图 2.13 左），那么苹果就会飞出地球，掉入无限的星际真空中。但因为下方在我们星球的中心，所以苹果掉落的“下方”就会随着苹果的旋转而改变方向。因此，苹果就会继续朝着不断“躲开”的地面掉落，而这个地面处于不断的运动之中。你就把苹果送入了轨道（图 2.13 右）。
图 2.13
另外，应该注意的是，即使以合理的速度将苹果抛出，它还是会旋转。我们之所以看不到苹果旋转，是因为它还没有机会走完自己的轨道，就撞到地面了。但如果地球被压缩为地心，从而使地面不再形成妨碍，那么抛出的苹果就会沿着类似于太阳系彗星的完美椭圆形轨道运行（图 2.14）。
图 2.14
如果可以的话，我建议你把手中的这本书暂放片刻，花点儿时间去充分体会一下这个令人眩晕的观点。月球像苹果一样掉落，苹果像月球一样旋转。你意识到了吗？月球像苹果一样掉落，苹果像月球一样旋转！明白这一点太让人高兴了！多么令人激动，多么令人陶醉啊！
世界以这种方式运转简直是一个奇迹。我们了解到，这确实是个奇迹。如果说，人类常常会把自豪感放错了地方，那么，身为一个能达到理解世界的水平的物种，我想，为此感到自豪是合情合理的。智人们，昂首挺胸吧，我们理解了引力！
当然了，这一定律适用于天空中所有的天体。凡旋转的都在掉落：卫星朝着行星掉落，行星朝着太阳掉落。而在牛顿之后很久，天文学家们还会发现，我们在天空中看到的所有星星都在以一种螺旋运动的形式相互掉落，就此形成了我们的星系——银河系。
这一如此简单而深奥的原理，将如此的优雅与力量集于一身。万物落在万物之上，一刻不停，一切都得到了解释。
上文转自图灵新知，节选自《数学的雨伞下》，【遇见数学】已获转发授权。
作者：[法] 米卡埃尔•洛奈 译者：欧瑜
惊讶！是思考的起点；
数学，是理解世界本质与万物关联的工具！
以数学为起点，以思考为快乐！
法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。
数学，是理解世界本质与万物关联的工具，它能制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。不懂得数学的意义，就无法真正学习和理解数学。
科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。
以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。