巧用中线倍长
2024年海淀区九年级数学第27题
本题是2024年北京市海淀区九年级期末数学第27题，几何综合题，主要考察学生识别、分析题目几何情境中的基本图形，通过画图观察、分析图形运动变化的过程，猜想并探索其中的不变关系，题目图形取材于课本习题，也是学生平时练习中的常见题型，但条件与结论间的逻辑关系进行了调整，巧妙建构了各元素间新的关联，突破旧的解题思维，是道不可多得的优秀试题。
题目
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接DE，∠EDC=∠B.
(1)求证：ED=EC；
(2)连接BD，点F为BD的中点，连接AF，EF.
①依题意补全图形；
②若AF⊥EF，求∠BAC的大小.
解析：
0 1
(1)非常简单，由AB=AC得∠ABC=∠C，而∠EDC=∠B，则∠EDC=∠C，故ED=EC；
0 2
(2)①补全图形如下：
②题目中唯一知道的角度是由AF⊥EF得90°角，因此猜测此题∠BAC=90°，这是我们找思路的方向。
方法一：中线倍长法
由点F是BD中点，不妨将EF加倍延长，可构造出全等三角形，如下图：
第一对全等非常好证，△GBF≌△EDF，得BG=ED，由第1小问ED=EC，得到BG=CE；
仍然由△GBF≌△EDF，得点F是EG中点，再加上AF⊥EF，即AF是EG的垂直平分线，于是AG=AE，最后加上AB=AC，得△ABG≌△ACE，所以∠ABG=∠C，并进一步得到∠ABG=∠C=∠ABC，即∠GBC=2∠ABC，依然由△GBF≌△EDF，得∠GBF=∠EDF，于是BG∥ED，所以∠GBC=∠DEC，现在我们得到了∠DEC=2∠C，则在△EDC中，设∠C=x，则∠CDE=x，∠EDC=2x，列方程x+x+2x=180°，求出x=45°，所以∠BAC=90°.
方法二：还是中线倍长法，严格讲也属于方法一，如下图：
延长AF至点G，使得FG=AF，连接DG，AE，EG，第一对全等三角形是△ABF≌△GDF，得到AB=GD，∠ABF=∠GDF，AF=GF，于是可证AB∥DG，点F是AG中点，再由AF⊥EF得EF是线段AG的垂直平分线，于是AE=GE，根据题目中的AB=AC，前面证过的AB=GD得AC=GD，加上CE=DE，AE=GE，得第二对全等三角形，△ACE≌△GDE，所以∠C=∠GDE，即∠GDC=2∠C，而AB∥DG，则∠BAC=∠GDC=2∠C，接下来和方法一相同，得到∠BAC=90°；
解题反思
我们将这道题的条件稍作调整，将△ABC改为等腰直角三角形，求证AF⊥EF，难度立马降低不少，如下图：
在等腰Rt△ABC中，α+β=45°，∠EDC=∠B保证了∠DEC=90°，于是在Rt△ABD和Rt△BDE中，AF=EF=1/2BD，从而利用三角形外角定理得到∠AFD=2α，∠EFD=2β，于是∠AFE=90°；
本题抽掉了∠BAC=90°这个条件，而是把它作为结论，由AF⊥EF反向推导，所以学生在面对它时，没有了直角条件，所以上述过程中的一系列与直角有关的定理都无法顺利得到，包括45°角，135°角，斜边上的中线等于斜边的一半等。
用这道题来检验学生证明是否有条理也很有效，基本上在一开始就得到了45°角的证明，大概率是伪证。
这也提供了一种命题思路，将教材上的习题条件与结论互换，增加或减掉部分条件，再看结论是否能够得到。整个题干部分叙述起来也清晰明了，图形也不会出现繁多线条，更符合数学命题的简洁特点。