❶天不生数学，万古如长夜
2002年6月，41岁的埃隆·马斯克成立SpaceX，宣布要研究可回收重载火箭。此举受到了主流航天专家的一致嘲笑与批驳，其中就包括了马斯克的偶像、人类首次登月的宇航员阿姆斯特朗。
这一度让马斯克在接受采访时泪目涟涟。他说当时很希望阿姆斯特朗来参观一下，看看SpaceX员工的努力。
遗憾的是，马斯克与SpaceX员工努力了11年，也没把可回收火箭实现，因为可回收火箭在动力下降阶段中的“悬停着陆”难题一直没有解决。
直到2013年，几位数学家发表了《无损凸化非凸控制边界和软着陆最优控制问题的指向约束》，以无损凸优化技术(lossless convexification)把非凸问题成功转换成了凸优化问题，为可回收火箭着陆过程中最优控制和指向约束的精确管理开辟了工程可行性。
短短两年以后，SpaceX的猎鹰火箭回收成功，开创了航天领域的2.0时代。
但马斯克的某个心愿却一直未遂：
2012年8月，尼尔·阿姆斯特朗因病去世，他永远也不可能参观SpaceX的工厂，与造火箭的年轻人“一笑泯恩仇”了。
但没有人责怪数学家“我来晚了”，因为后者站在人类智慧的顶端，而且还伴随着“强大”与“神秘”的加成，简直与奇幻小说中的魔法师媲美。
❷数学系的鄙视链
知乎上有一个很冷门的问题：
如果整数X的13次方等于21982145917308330487013369，X=？
此题的正常解法是这样的：
1，该数字尾数为9，则x个位数是9
2，由于100的13次方是一个27位的数字，而该数字有26位，说明x是一个两位数，且接近100
3，方程两边同时除以10^26，问题转化为（X/100）^13=0.2198
4，令Y=X/100，该问题转化为Y^13≈2/9，两边取对数得13lnY=ln2-ln3。求解得到lnY≈0.11
5，这就等价于一个小数点后的两位数，且百分位数字是9，现在需要确定十分位。设Y=z/10，则lnY=lnZ-ln2-ln5，联立上式lnY=0.11，得到lnZ≈2.19，这个数值介于ln8和ln9之间（注：ln8≈2.1，而ln9≈2.2），故8
6，根据已知条件，显然有Z=0.89，因此原问题中X=89。
可见，只要具备合适的数学思维，原问题的计算难度瞬间就降低到了：
口算级别。
但它有一个前提，你必须掌握插值法的基本原理，且熟悉对数的基本概念与运算。
设想一下，如果某位小学生一时疏忽，在笔记中把lnX写成10X，无论我们认为TA板书不规范，还是缺乏对自然对数的基本概念，终归会怀疑TA口算解出本题的能力。
当然，这不是本文的重点。我之所以列举这个例子，是因为它勾引起了我对数学的痛苦回忆。
我就读研究僧的第一年，曾和班长蹬着自行车去阜成门。当时月坛区域还没有金融街的开发，是一个极其平价的官园小商品批发市场。
我们去官园市场的目的，是批发二十几个带有高级数学运算和程序编写功能的计算器，用于《数值分析》课程的日常作业与期末考试。
——它是一门模拟计算机算法、求解复杂计算问题近似解的课程，常用的就是函数求值、回归分析、微分方程。无论哪个章节，插值法都是最基本的解题手段。
可以说，这是一门方法比较基础但技巧性很强的课程。
期末考试时，像我等资质愚钝之徒抓耳挠腮，因为找不到合适的差值点而机械地迭代计算，计算器都快按出烟来；而我们的班长则闲庭信步地提前交卷，连计算器都没怎么用。
这一点我们是服气的。毕竟班长大人有着一丝传奇色彩。
众所周知，中国的大学排名历来很神奇，竞争TOP1的大学有两所，竞争TOP3的有七八所。我们班长本科就毕业于某所TOP3的数学系，然后在考研时以数学满分考入我校，不服不行。
当我们每次宿舍卧谈会谈到数学、不自觉地流露出对班长的景仰时，班长大人就激动起来，连说不敢当，让我们莫要乱说。
我们只当这是他的矜持与谦逊。
直到有一次喝高了，大家又说起了该死的数学，班长突然就崩溃了，他大着舌头说了很多。
他说他从小就热爱数学，但进入大学后才发现，数学真的是一个最吃天赋的专业，人和人的差距比人和狗的差距还大。
他说数学专业学生的四年本科，其实就是一个自我认知、自我分流的过程——每个学生在学习过程中，逐渐排除自己学不会的领域，直到找准自己足够胜任的专业。
所以数学系存在一条严格的鄙视链：
站在生态位上层的是基础数学，包括代数、分析与几何学。通常而言：
1，如果数学系学生发现自己学不好抽象代数，他会自动退出代数领域； 2，如果发现自己不能自如地理解泛函分析、微分方程，基本就告别分析方向了； 3，至于对代数和分析都有极高要求的几何学，更是站在鄙视链的顶端，普通人乱入该领域，连别人给出的证明过程都看不懂，真的就生不如死。
告别了基础数学的数学系学生，就只能去应用数学领域折腾。例如机灵点的学个统计，还可以与其他行业的大牛合作，甚至指导专家们的工作；次一点的去计算数学折腾，去大厂当算法专家；最没天赋的就去软件工程/计算机技术，当个码农混口饭吃。
而我们的班长大人从小就以华罗庚、陈景润为榜样，结果在TOP3奋斗了四年后，黯然神伤地离开了心心念的基础数学领域…
感到内心受伤的他跨专业考入我校，结果却发现课程表里居然有《数值分析》这样的渣渣课程——这是计算数学的专业课程呀，搞了半天又双叒叕进入了鄙视链的底部？
那一天，放飞自我的班长直接把我们干沉默了。因为这意味着一件特别商自尊的事：
大家从小学混到研究僧，年年学数学，自以为基础还比较扎实。突然间我们中的佼佼者大喝一声，“在座各位包括我在内，都是学渣”，大伙儿的道心，当场就碎了一地。
（这种道心破碎的糟糕感觉，古今无不同）
而中学阶段表现平平、中专月考差强人意、余元公式都能写错的某位姜同学，突然就开了天眼大杀四方…在逻辑上有没有问题呢？
当然，在数学史上，不排除有天赋异禀的野生奇才，却因为家庭贫困而成为专业教育的漏网之鱼。
例如印度数学家拉马努金就没受过正规的高等数学教育，不得不在一家会计师事务所打工糊口，最后还因为肺结核，33岁就去世了。
拉马努金研究的是数论，这是一门源于代数，但又与分析、几何密切相关的数学分支。他的天才体现于他神奇的直觉。
例如拉马努金曾写出一个快速收敛π值的神秘公式，其模样如下：
它的收敛性快到了何等逆天的程度呢？简而言之就是“k每增加1，π值收敛8位”，例如：
当k=0时，计算得到π= 3.1415927300133； 当k=1时，计算得到π= 3.1415926535897936。
就在这一瞬间，割圆法、微积分求解π值的方法突然就不香了，还让背诵着“祖冲之领先世界一千年”的小学生无所适从…
由于拉马努金没有给出公式推导的过程，这让数学家们犯了难：公式中的各项参数是如何确定的？
尤其是分母中（1103+26390k）这一项，怎么就汤姆的能想到加一个常数呢？！
更离谱的是，如果把常数1103替换成其他数字，这个公式的收敛性就会大幅度下降，泯然众人。
大神的世界，宵小们不懂啊。
但即使是野生天才拉马努金，也在第一次接触数学时就显示了非凡的天赋（他10岁才学到正规的数学，11岁时就已经自学了大学的数学知识，26岁时被剑桥大学著名数学家哈代收归门下），而不是基本概念都没弄懂、高中难度的考卷都考不好的天才。
毕竟数学就是这样一门不会欺骗自己的课程，数学不会就是真不会。
❸数学家的倔强
一语成谶的是，研究僧毕业后，我们的班长在一家国资软件开发公司找了份写代码的工作，如愿以偿地成为了一名数学系向社会输送的“基础型人才”。
但这又有什么关系呢。
与按照天赋强行碾压的数学系鄙视链相比，社会这所大学里存在着一条反向的数学鄙视链——干应用研究的职位更多、薪酬更高，总体待遇远好过基础数学研究者。
甚至于，这也是全球数学界的尴尬现状。
2013年4月，华裔数学家张益唐在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万，它让人类距离“孪生素数猜想”的最终解决，缩小至“一根头发丝”一样的程度，成为近年来数论方面的重大突破。
而张益唐本身的曲折经历，给这一成就增添了传奇色彩。
《纽约客》以它独特的笔调看法了一则专稿，开头部分大致是这样的：
当《数学年刊》以130年来最快审核记录接收张益唐的论文后，这位长期担任讲师的新罕布什尔大学员工给他的妻子打了一个电话，平静地提醒妻子注意这几天的报纸，她将在上面看到他的名字。
在餐馆担任服务员的妻子不耐烦地说，你是不是又在你的校友家…喝醉了？
张和他的妻子，是在一家快餐店人士的。当时他们都是这家店铺的小时工。
事实上，攻读数学博士的7年，对于从中国来到美国的张来说并不是一段美好记忆。
在博士毕业时，他没有得到导师的推荐信，也没有找到教职的工作，不得不去超市当收银员、在赛百味（subway）卖汉堡，并由此认识了他的太太。
幸运的是，在他的北大同学的帮助下，张在新罕布什尔大学找到了一份临时教职工作，负责给大一本科生教微积分——他用6年时间才转为讲师，并看起来要在讲师位置干到退休。
文章被接受的消息传开后，新罕布什尔大学告诉张益唐，他被破格提拔为专职科研的助理教授，他的同事都对此表示祝贺。只有年迈的女教学秘书忧心忡忡地询问：
张还会给数学系的饮水机换水吗？
这位接近退休的老太太始终没有明白，有些事情是注定的，而张益唐就是这样被注定的人，所以他才会抓住机会，如彗星般地崛起。
但对于张太太而言，《数学年刊》的肯定非常有意义。
有时候，胜利不是一切，它是唯一。
张益唐的故事告诉我们，没有过人的天赋，千万不要碰瓷基础数学，会变得不幸。
例如你看文体圈的学霸设定与明星们的天才子女，基本都在秀英语、秀艺术、秀马术，秀服装设计，就没有一个敢碰瓷数学的。
因为这是一项门槛极高而又费力不讨好的工作。
从这个意义上说，推动“天才数学少女”的幕后主角，还真是勇者无畏、热爱数学啊。
2022年11月，加州大学圣巴巴拉分校数学系终身教授张益唐发布了攻克 Landau-Siegel 零点猜想的相关论文，再次引起数学界的轰动。
有趣的是，张益唐饶有兴致地在知乎上回答了关于零点猜想的问题。他回应了吃瓜群众对他经历的八卦，也跟着感慨了自己早年的艰辛，但又坚定地表示：
几年前，有位导演找到我说，想把我的故事拍成电影，就像纳什的《美丽心灵》，我不希望拍，不希望再给我干扰… 关于我的未来，这些数学问题我是不会丢掉的。我觉得我大概这一辈子就是做数学的命了，我不做数学都不知道干什么。
其实吧，张老师明显还是过谦了。这位1978年考入北大数学系的年轻人，曾喜爱苏小明的流行歌曲、喜欢杜甫的古典诗词，还想跃向远方，变成天上半明半暗的云。
只是由于各种原因，他的生活被改变了原有的样子，但又在无可匹敌的天赋下，强行扭转了自身的命运。
在他名声鹊起之时，有人问起杜甫的哪一首诗最能概括当时的心情。张益唐毫不犹豫地引用了《咏怀古迹》中的两句：
庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关。
也许，这就是数学家的倔强，也是数学的浪漫。
——（全文完）——
写在后面的话：
对于写长文章的自媒体而言，谈及俄乌战争、巴以冲突、中医效果、天才儿童…等相关问题，非常地败人品。因为长文章自古以来就和情绪输出对立；而又有些问题已经脱离了事实之争，演变为信仰问题。
例如天才中专少女勇闯数学竞赛的新闻成为舆论热点后，我在很久以后才参与讨论，写了两篇文章。它们的重点，都不是讨论姜同学本人，而是其他。
例如第一篇文章《》，调侃人民日报关于“姜同学与她（潜在）的5次菲尔兹奖”，明白人都知道，这是讥讽某些媒体人的“造神运动”。
而第二篇文章《》，我感叹竞赛组织者悄然篡改对姜萍的宣传视频，试图淡化、修改大众记忆的行为，认为这是一项违背程序正义的事情。它的性质，与江西指鼠为鸭事件、甘肃天水烟草证“补证据”事件是同等危险的。
嘿，您猜怎么着？
文章发出来之后，我收到了两位数的后台私信。温柔点的劝我“君子不立危墙之下，等结果出来后再评论为好”，急躁的直接给我扣上“你这是一种误导，你没有证据证明她不是天才”，然后熟练地拉黑、取关一条龙。
搞得我心里沉甸甸的，反思自己是不是一个伤害了新时代独立女性的渣男。
这么说吧，这世界上有一种人，他们对自身匮乏的某种知识有着朴素的图腾崇拜，但又对获取知识的艰辛与成本有着莫名的内心蔑视；他们舍得为看不懂的知识而付费，却又认为（对天才而言）知识的获得毫不费力。
这种内心纠结与撕裂，让我想起了1993年《科幻世界》刊发的一篇短篇小说，故事梗概是：
某研究所的年轻学者在一个史前遗迹中发现了刻有“科学”等字眼的文物，机缘巧合之下，他穿越到这个原始部落中，并与年轻漂亮的女主爱得死去活来。
但有一天恰逢日全食，眼见阳光越来越暗，酋长把女主当作祭品，绑着往火刑柱上送。惊怒之下，男主跳起了大神，预言太阳很快就会复原。当日食结束后，抱得美人归的男主激动地教育部落人：不许迷信，相信科学。
于是，男主一肚子的现代科学，就此成为部落的神秘图腾。他们把“科学教派”的词汇刻在金石之上，流芳千古。
因此，作为一名曾经的数学学渣，我觉得有必要科普一下数学的八卦故事。
数学就是数学，不应该成为高高在上的图腾，也不应该成为埋在隐秘角落、等待坠崖的傻瓜来挖掘的武林秘籍。
数学，不该是这个样子的。
其实早在1945年，卡尔波普就把证伪主义的理论外延至社会科学领域，他认为证伪与祛魅比所谓的民主平等、专业知识更加重要。这本哲学类畅销书有一个大名鼎鼎的名字：
《开放社会及其敌人》。
毫无疑问，谁是我们的朋友，谁是我们的敌人，这是科学的首要问题。
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26 Jun 2024
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