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一、等差等比数列基础题型
- 等差/等比定义判断
- 证明数列为等差或等比（定义法、中项法）
：已知递推关系 $a_{n+1} = 2a_n + 3$，证明 ${a_n+3}$ 为等比数列。 - 基本量求解
- 已知 $a_n, S_n, d(q)$ 中的部分量，求其余量（列方程组）
：等差数列 ${a_n}$ 前5项和 $T_5=105$，$a_{10}=2a_5$，求通项公式。 - 性质应用
- 利用等差中项 $a_m + a_n = 2a_p$（$m+n=2p$），等比中项 $a_m \cdot a_n = a_p^2$ 求最值或参数
：正项等差数列前20项和 $S_{20}=100$，求 $a_7 \cdot a_{14}$ 最大值（答案：25）。 - 片段和问题
- $S_m, S_{2m}-S_m, S_{3m}-S_{2m}$ 成等差/等比
：等比数列 $S_2=3$，$S_4=15$，则 $S_6=63$。
∑二、数列通项与求和方法题型
（一）通项求解
- 累加法：$a_n - a_{n-1} = f(n)$ 型
- 累乘法：$\frac{a_n}{a_{n-1}} = g(n)$ 型
- 待定系数法：$a_{n+1} = pa_n + q$ 构造等比
- 取倒数法：$a_{n+1} = \frac{pa_n}{qa_n + r}$
（二）求和技巧
- 错位相减法
- 等差×等比型（如 $c_n = n \cdot 3^n$）
：$T_n = \sum n \cdot 3^n \to T_n = \frac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}$。 - 裂项相消法
- $\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right)$
：$\sum \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$。 - 分组求和法
- 分离正负项、奇偶项或不同规律子列
：求 $S_n = (1-2) + (3-4) + \cdots + [(2n-1)-2n]$（答案：$-n$）。 - 并项求和
- 周期数列或相邻项合并
⚙️三、数列综合应用题型
- 数列与不等式
- 证明 $S_n < k$ 或求参数范围（放缩法、数学归纳法）
：证明 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} < 2 - \frac{1}{n}$（裂项放缩）。 - 数列与函数
- 利用函数单调性研究数列最值（注意定义域为 $\mathbb{N}^*$）
：$a_n = n^2 - kn$ 为增数列，求 $k$ 范围（答案：$k \leq 2.5$）。 - 实际应用模型
- 增长率问题（等比模型）、分期付款（等差模型）
- 新定义数列
- 给定新运算或规则（如“和谐数列”），探究性质
四、创新与探索题型
- 规律探索型
- 观察前几项归纳通项（需验证）
- 存在性问题
- 判断是否存在满足条件的子列或参数
- 最值问题
- 求 $|a_n|$ 最大项或 $S_n$ 最值（结合函数或不等式）
：等差数列 ${a_n}$ 首项 $a_1>0$，$d<0$，求使 $S_n$ 最大的 $n$。
高频题型方法速查表
题型类别
核心方法
难易度
出现频率
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⚠️备考建议
- 易错点防范
- 验证 $n=1$ 是否满足通项（尤其含参数时）
- 等比求和时讨论 $q=1$ 的情况
- 裂项求和时检查剩余项（首尾留项）
- 策略提升
- 复杂递推先用前几项试探规律
- 综合题优先转化为等差/等比模型
例题精练：已知 $S_n = \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{3}$，求 $a_n$（答案：$a_n = (-2)^{n-1}$）。
系统掌握上述题型后，可覆盖高考数列90%以上考点。建议结合本地真题重点突破错位相减、裂项求和及放缩证明三类核心技巧，并注意易错细节。