由中点想到
2024年秋海淀区九年级数学第27题
记得在张钦博士工作研题系列视频中，不止一位教师在教学思考中提到了中点的相关解题方法，诚然，在初中几何综合题里，题目一旦给出了中点条件，那么涉及到的知识点关联就比较广泛了，例如三角形的中线、线段的垂直平分线、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线、平行四边形对角线互相平分、垂径定理等。
学生在思考解决问题的方法时，需要根据题目条件去联想所需定理，然后在脑子里寻找它们之间的关系，在错综复杂的网络结构中寻找出一条解题之道。
题目
在△ABC中，AD⊥BC，AD+CD=1/2BC，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE.
(1)如图1，当AD=DC=1时，补全图形，并求DE的长；
(2)如图2，取AE的中点F，连接DF，用等式表示线段DF与AC的数量关系，并证明.
解析：
01
(1)AD=DC=1，再加上AD⊥BC，显然△ADC是一个等腰直角三角形，然后针对条件AD+CD=1/2BC的解读很关键，不妨将AD也放在BC上观察，截取DG=AD，由AD+CD=1/2BC可得DG+CD=1/2BC，即CG=1/2BC，说明点G是BC中点，再连接AG，CE，如下图：
先判断△ACG是一个等腰直角三角形，结合AB旋转90°后得到AE，因此可证明△ABG≌△AEC；
由AD=DC=1，可进一步得到DG=1，而BC=4，BG=2，由全等可知CE=2，因此在Rt△DCE中，由勾股定理求出DE=√5；
02
(2)作图如下：
一般在给学生讲题的时候，若有辅助线，则应分析辅助线是如何想到的，而不是一上来就给出辅助线去讲解，本题需要学生作图，因此上图就是学生按题目条件作图之后的结果，我们借此来分析如何寻找DF与AC的数量关系；
我们将前一问中的部分特殊点画出来，例如BC中点G，这样我们可得到一个等腰Rt△ADG，其中DF与其直角边AD构成了一个三角形，对△ADF，将其绕点D逆时针旋转90°后，边AD落在边GD上，那DF会落在何处？
再来看Rt△ACD，取其斜边上的中点H，连接DH，如下图：
观察△DGH和△DAF，我们来证明它们全等：
第一个条件是GD=AD，第二个条件来找相等的边，由G、H分别是BC，AC边上中线，所以GH是△ABC中位线，故GH=1/2AB，而点F是AE中点，则AF=1/2AE，而AB=AE，所以GH=AF；第三个条件来找夹角，由中位线可知GH∥AB，所以∠DGH=∠B，而∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAF=90°，所以∠DGH=∠DAF；
故△DGH≌△DAF，得到DF=DH，在Rt△ACD中，DH是斜边上中线，所以DH=1/2AC，所以DF=1/2AC.
解题思考
学生在思考这道题的时候，也有通过观察猜测DF=1/2AC的，不过接下来的路就分成了两条，一条是取AC中点，顺利抵达终点，另一条是倍长DF，如下图：
这一路并不好走，倍长DF至点H后，需要证明DH=AC，学生也的确构造出了这么一对三角形，△ACD和△DHM，但在寻找全等条件时卡顿了；
因此我们在思考一道题的证明思路时，突破口非常关键，虽然类似这样的问题，截长或补短都是可行的，但限于题目条件，可能有的路并不容易，所以需要预判自已思路接下来会如何走，如同下棋一样，往后多看几步，思考得越多，解题时走的弯路就越少。