通常对于四维空间的理解和定义，基本都是通过数学的复杂公式来阐述的，但数学符号并不能等同于现实世界。正如数学中充斥着无限的概念，但我们很难真正描绘无限的含义，无论是无限大还是无限小。
严格来讲，我们甚至连想象四维空间的模样都显得力不从心，更不必说去深入理解了。既然对基本的定义都模糊不清，又怎可能去领悟其内涵呢？
因此，我们不能直接描绘四维空间的样子，只能借助间接的方法去探索，主要有两种途径。
首先，数学上对四维空间的定义简单粗暴。零维可以被理解为一个点，一维是线，二维是面，三维是体，而我们所在的空间则拥有长、宽、高三个维度。四维空间，则在三维的基础上增加了一个新的维度。换句话说，四维空间是由四条互成直角的线所构成的空间。
我们所知道的三维空间中，最多只能有三条垂直的线，第四条线在哪里呢？我们并不知道。
当然，这也只是利用了数学的类比法，我们可以尝试通过这种方法去理解四维空间。
其次，是利用投影法。要在三维空间中想象四维空间，我们首先需要在三维空间中描述出四维空间。然而，在现实中，我们通常在二维的平面上描述三维物体，例如电脑或手机屏幕。因此，我们实际上要完成的任务比想象的更难，需要在二维平面上描绘出四维物体。
我们一步步来分析，首先，如何在二维平面上描绘三维物体？这在初中几何中已经有所说明，最常用的就是立方体，我们可以轻易地在纸上画出立方体。尽管是在二维平面上绘制，这个立方体实际上是二维的，但为何看起来像是三维立方体呢？
实际上，我们在二维平面上描绘三维物体的感觉，是通过映射关系实现的，即三维到二维的映射，这个过程类似于眼睛的视觉效果，使我们能够“脑补”出三维物体的感觉。
具体来说，眼睛可以将现实的三维物体投射到视网膜上，这个过程就是所说的映射。然后，大脑处理这些信息，使我们能够将二维的物体还原成三维的距离和大小。因此，只要在二维平面上描绘出眼睛的视觉效果，大脑便可以自动“脑补”出三维物体的形象。
实际上，上述的映射，换句话说就是投影。
然而，仅仅理解到映射是投影还远远不够，如果没有理解到具体是哪种投影，在二维平面上投影四维物体就显得无从下手。让我们来看看如何在二维平面上投影一个立方体。
假设有一个完全透明的立方体，用一束平行光照射它，将立方体斜放，就可以在二维平面上投影出一个让我们感受到的立方体。这种投影方式被称为“正交投影”，不管远近，只要不同的线段长度相同且平行，投影后还是长度相同且平行。
这种投影方式类似于眼睛的视觉效果，但并不完全相同。因为我们的眼睛的视觉效果实际上是“透视投影”，即我们可以看到近处的物体更大，远处的更小。
如果我们将上面的立方体摆正，再次利用正交投影进行投影，那么在二维平面上则会呈现出一个正方形。但如果使用“透视投影”，即我们眼睛的视觉效果进行投影，结果就不再是一个正方形了。
为了更好地理解，我们可以假设一个由两个数轴组成的平面，分别是X轴和Y轴，并想象一个垂直于平面的Z轴。从Z轴的正上方看立方体，会是什么效果呢？
结果会是由两个正方形组成的更复杂的图形，而不再是一个正方形。为什么会这样？
实际上，正如刚才所说，三维立方体是在二维平面上的一个投影，即正交投影。而二维升级到三维的过程，可以看成是无数个二维平面堆积在一起形成的。同样，可以有两个二维平面平行放置，然后将四个点两两连接，在二维空间里描述出三维立方体。
使用同样的逻辑，我们可以尝试将两个三维的立方体平行放置，然后将立方体的8个顶点两两连接，这就是所谓的超立方体。
正如我们将三维立体物投射到二维平面以进行观察，我们同样需要将四维超立方体先降维至三维，然后再投影到二维平面上。尽管这种方法听上去十分抽象，但其实际操作并不复杂。
立方体由六个面组成，而超立方体则是由八个立方体组成。尽管无法直接观察到完整的超立方体，我们可以采用一种称之为“W轴”的新维度，就如同Z轴帮助我们在二维平面上看到XY轴的效果一样。通过W轴，我们可以“俯瞰”XYZ轴构成的三维空间，从而看到超立方体的透视图。
从这个透视图中我们可以发现，超立方体实际上是由八个立方体构成。投射到三维空间后，原先在四维空间中规整的立方体可能不再保持其完美形态。这种不规则性与我们在二维平面上描绘三维物体时遇到的情形类似，每个面不再是完美的正方形。
接下来，我们将基于之前的动图，向读者展示从零维到四维空间的演变过程。如同先前描述的，这一过程主要涉及两个步骤：首先将高维物体投影到三维空间，然后再投影到二维平面。尽管最后呈现的图像是二维的，但我们由此能够领略到高维空间的魅力。由于丢失了两个维度，我们无法看到四维物体的全貌，最多只能看到特定视角的投影，仿佛只看到了冰山一角。
这同样适用于四维物体在三维世界的表现。例如，人类所创造的棋类游戏，如象棋、围棋等，其实都是在二维平面上进行的，与三维空间无关。尽管这些游戏需要玩家具备处理二维图形的能力，但它们并未触及三维空间的精髓。如果存在三维版的棋类游戏，其复杂性将远超我们的想象，因为人类尚未完全掌握三维空间的规律。
在机械制图领域，设计师通常不会直接绘制三维图像，而是会从不同角度将三维物体分解为二维视图，即所谓的三视图，包括俯视图、正视图和侧视图。这些二维视图更符合人类对空间的理解能力。
这是因为我们的眼睛只能感知到二维图像，这些二维图像随后由大脑合成为三维体验。
人的双眼位于相似的平面上，并从略微不同的角度看到物体，从而产生立体视觉。这也是立体照片背后的原理：通过从不同角度拍摄两张照片，当观众观看时，大脑会将这两张照片合成为一个三维图像。
想象一下，我们理解三维物体尚且困难，更何况是四维物体。文章所描述的四维物体，仅是从一个特定的视角展现。当超立方体的某一表面与投射的三维空间表面形成一定角度时，所得的立方体形状和体积将变得更加复杂。
我们只能尽最大的努力去想象四维物体的形状，但要像理解三维物体那样理解四维物体几乎是不可能的，因为我们难以找到那个垂直于所有三维空间的第四个维度，即W轴。
正因为我们无法直观理解四维空间，四维空间显得异常神秘。人们经常幻想，如果进入四维空间，将会是怎样的体验？
首先，由于我们的大脑是三维空间的产物，它实际上只能感知二维物体。因此，即使我们能够进入四维空间，如果大脑没有升级，我们仍然无法理解其中的奥秘，只会看到无数三维物体重叠在一起，令人感到眩晕。
其次，在四维空间中，我们可以像三维空间中的“上帝”一样俯瞰二维空间的一切，没有任何隐私可言。在四维空间中，我们可以轻易地透视三维世界中的一切，包括封闭的空间，仿佛拥有了游戏角色的瞬移和穿墙术等超能力。我们甚至可以自由地在三维世界中穿梭，而其他人无法察觉我们的存在。
第三，由于拥有了这些超能力，我们将不再受三维空间中的自然法则限制，如光速限制。在三维世界中，星际旅行可能需要数千年的时间，但在四维空间中，我们可以轻松地将三维空间进行对折，让两个遥远的点无限接近，如同通过虫洞旅行。这就像在二维平面上操纵纸张一样，我们只需将纸张对折，就可以让纸上的两个点无限接近。
然而，要拥有四维空间中的超能力，我们首先需要将自己从三维物种升级为四维物种。否则，三维物种在四维空间中将无法生存，因为在四维空间中，三维物种的内脏将完全暴露，毫无保护。
至此，你可能会感到困惑：四维空间究竟是怎样的呢？正如文章反复强调的，我们只能从一个特定的视角去窥探四维世界的奥秘，剩余的部分需要我们自己去想象。
如果一篇科普文章就能详细描述四维物体的具体形态，那是不可能的。最关键的问题在于，我们难以找到或描述那个垂直于所有三维空间的W轴，即第四个维度。因此，我们只能通过间接的方法，如类比法或投影法，以三维空间与二维空间的对比，来试图想象四维空间的模样。
这与人类探索世界真相的过程类似。我们可能永远无法找到世界的真正面貌，我们所发现的只是“真相的外在表现”。换句话说，要想真正了解四维世界是什么样子，唯一的方法就是亲自进入四维空间。对于二维生物来说，他们同样无法真正想象三维世界的模样，尽管对于我们来说，第三个维度似乎很简单。我们所认为的“简单”，实际上是站在“上帝视角”来看待的，而这对于二维生物来说，却是一道无法跨越的鸿沟。