中国古代数学的“神机妙算”：
春晚魔术里的数学密码
——在中国高等教育学会教育数学专业委员会2024学术年会上的报告
中国科学院院士
中国科学院数学与系统科学研究院研究员
周向宇
今天的讲述从春晚的魔术开始。魔术师使用了四张扑克牌，首先将它们叠在一起，然后通过不同方式进行洗牌（这里我进行了简化），接着他说要将牌对折。对折的意思是为了让牌更容易撕开，于是他把四张牌对折撕开，变成两叠牌，再将这两叠牌重新叠在一起。接下来，魔术师根据观众姓名的字数，要求将相应数量的牌从上方移到下方，比如我的名字有三个字，我就需要将上面的三张牌移到下面。
妙用同余，魔术的本质
从魔术开始的那一刻起，当两叠牌被撕开并重新组合时，事实上就有一个数学规律在起作用。这个魔术的本质是通过撕开扑克牌，找到配对的牌。而这些配对牌的规律是，撕开后任意两张牌的差值为固定的四张。即使进行变换，将上面的牌移到下面，这一规律依然保持不变，配对的牌之间的差值仍是四张。具体来说，第一张牌和第五张牌，第二张牌和第六张牌，第三张牌和第七张牌，第四张牌和第八张牌，它们之间都是配对的。
这种现象在数学上称为“同余”。当我们提到这些牌时，它们的数字除以4所得的余数是相同的，这就是同余的概念。用高斯引入的符号来表示，当两个整数a和b除以m所得的余数相同时，我们称它们对模m同余，记作a≡b（模m）。
魔术口令的奥秘
接下来，魔术师进行了一步关键的操作。他说，男生要扔掉最上面的一张牌，而女生则要扔掉两张牌。这一步之后，男生的手上还剩下六张牌。随后，魔术师引出了一个重要环节——“见证奇迹的时刻”，这是七个字。他要求每念一个字，就将最上面的牌放到最下面，直到把“好运牌”留在最下面，而“烦恼牌”则要扔掉。操作流程是：好运牌留在最下面，烦恼牌扔掉，反复操作，直到最后剩下的牌。魔术师声称，这最后剩下的一张牌一定会与他之前藏下的那张牌配对，并宣布魔术成功。这背后实际上隐藏着一个数学规律。
为什么他特别强调要念七个字？这是因为背后遵循了同余理论中的规律，七个字的操作确保了最终好运牌一定会留在最后。对于男生来说，由于他手里有六张牌，经过一次操作后，原本倒数第一的牌就会移动到倒数第二。然后，通过反复操作，将烦恼牌扔掉，好运牌留下，最终能确保留下的牌正好是原来的那张第八张牌。对于女生也是类似的情况，只不过她手中有五张牌，经过两次操作后，剩下的牌会处于中间的位置，确保最终的牌可以配对成功。
这背后的数学原理是，男生的操作实际上遵循了“6的倍数加1次”的规律。也就是说，经过6次操作，牌的顺序不会发生变化，而加1次操作就会将倒数第一的牌移动到倒数第二。而对于女生来说，她的操作遵循“5的倍数加2次”的规律。因此，在数学上，这相当于求解一个同余方程组，找到一个数a，使得它既能满足男生的操作需求（6的倍数加1次），也能满足女生的操作需求（5的倍数加2次）。通过计算，7正好符合这一条件，因此魔术师使用了“七个字”的口令进行操作，确保了魔术的成功。
源起《孙子算经》，古人的神机妙算
这个魔术实际上对应了中国古代数学中的“物不知数”问题。这一问题在《孙子算经》中有记载，比如“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”。这意味着某个未知数n，按3个3个数余2，按5个5个数余3，按7个7个数余2。用现代数学语言可以写为一组同余方程：
n ≡ 2 (mod 3)
n ≡ 3 (mod 5)
n ≡ 2 (mod 7)
这反映了中国古代对同余思想和理论的早期贡献。类似的问题还出现在中国古代的推历方法和《周易》中的“揲蓍法”，这些方法也涉及将事物分成若干组再逐一计数，《孙子算经》中的“物不知数”问题进一步发展成为“神机妙算”，而到南宋时期，秦九韶提出了更加普遍的组余式解法，这一方法后来被称为中国剩余定理。中国剩余定理的提出在数学史上具有重要意义。
此外，历史上著名的“韩信点兵”问题也是“物不知数”的另一种形式。韩信并不是直接数士兵，而是通过让士兵按不同的方式排列，来推算总人数。首先他要求士兵排成三列，这相当于“三三数之”；然后排成五列，即“五五数之”；最后排成七列，即“七七数之”。通过观察最后一列的士兵数，他可以推算出士兵的总人数。这里的“最后一列”数目实际上就是余数。通过这些余数，韩信能够推算出整个军队的规模。在解决这种问题时，孙子的“神机妙算”方法是找到一个数满足特定的同余式组，比如对于模3余1的情况，他会在其余数的公倍数中寻找符合条件的数。这个过程涉及将不同模数的余数乘上相应的数来得到解。例如，模5余1时，他在3和7的公倍数中找合适的数，这个数可能是21；在模7余1的情况下，则在3和5的公倍数中寻找解，比如15。然后，结合这些余数，可以得出一个特解，再加上模数的公倍数，即可得出完整的通解。这一解法正是“神机妙算”的核心。
横贯纵通，继承与发扬好中国数学
大家在欣赏魔术的神奇时，往往忽略了其背后蕴含的深刻数学原理。事实上，这个魔术背后展现的是中国古代数学中关于同余的思想和理论。我的导师华罗庚先生曾说过：“数学是我国人民所擅长的学科。”他强调数学应“横贯纵通”，即要从广度和深度两个维度去研究数学。他还为青少年编写了许多通俗易懂的小册子，如《从孙子的“神机妙算”谈起》、《从祖冲之的圆周率谈起》和《从杨辉三角谈起》。这些书籍都是从中国古代数学的成就出发，展示了中华文化在数学领域的丰厚积淀。
从这些例子中，不难看出，研究数学不仅仅要关注现代的数学知识，更要追溯其历史渊源，理解其中的来龙去脉、根与本、源与流。只有在理解这些数学思想的历史背景与发展脉络后，才能更好地掌握其内涵，并在现代的研究中运用自如。这不仅是对中国古代数学的继承和发扬，更是对数学精神的深入探索。
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