人工智能之数学基础：向量的范数

本文重点

在现代数学和计算科学中，向量是一个极其重要的概念。向量不仅在数学、物理等基础学科中发挥着关键作用，而且在机器学习、数据分析和人工智能等前沿领域也扮演着不可或缺的角色。在向量空间中，范数是一个用于衡量向量“大小”或“长度”的函数，它为我们提供了一种量化向量特性的方式。

什么是向量的范数

范数（Norm）是数学中向量空间、矩阵上或者其他数学对象中一个函数，将向量映射到非负实数的长度或大小。对于任意向量x，其范数通常记作‖x‖或|x|。根据定义方式和应用场景的不同，范数有多种形式，但它们都需要满足一定的条件。

常见的范数

如上所示是向量的定义，可以将其称为L-p范数。p的不同就决定了不同的参数：

当p=1时，此时是L1范数，L1范数是所有分量的绝对值之和

当p=2时，此时是L2范数（欧几里得范数），L2范数也被称为向量的模，或者是向量的长度

当p=∞时，此时是L∞范数，即分量绝对值的最大值，L∞范数是L-P范数的极限

向量范数的性质

向量范数具有一系列重要的性质，这些性质在理论分析和实际应用中都发挥着重要作用。

唯一性：在给定范数定义下，一个向量的范数是唯一的。
连续性：范数函数是连续的，即当向量x趋近于向量y时，‖x‖也趋近于‖y‖。
对偶性：在某些范数定义下，向量的范数与其对偶向量的范数之间存在一定的关系。
凸性：范数函数是凸函数，这一性质在优化问题中具有重要作用。

范数标准化

对于一个非零向量，通过数乘向量模的倒数，可以将向量标准化，使得向量的长度为1：

将一个二维向量的L1范数、L2范数、L∞范数标准化，将其可视化，它们的区别如下：

如果是一个三维向量，将其可视化，它们的区别如下：