2020年，著名华裔物理学徐一鸿出版了Fly by Night Physics一书，融合他数十年来科研与教学经验，向物理学习者介绍使用直觉和猜算解决物理问题。当手边没有文献资料，甚至没有笔和纸——就像在夜间行驶的飞机上，仅利用自己大脑内的知识和直觉思维，物理学家依然可以做出合理的猜测，没有复杂严格的数学推导，却更能直击物理本质。《返朴》此前直播过徐一鸿就其著作做的讲座《物理直觉是如何养成的？》，如今，这部杰作的中文版问世，《返朴》节选了关于简单函数的内容，以期读者可以领略夜航人巧妙的“夜行法”。
本文经授权节选自《物理夜航船：直觉与猜算》（世界图书出版公司，2024年10月版）第一章《量纲分析：从并不神秘的武器到传说中的秘密武器》。由返朴公众号底部菜单可进入返朴书店购书。
撰文 | 徐一鸿（Anthony Zee）
翻译 | 姬扬
极限行为：只有三个数字
夜航物理学家的存亡成败决定于简单函数的假设。物理学中大多数无量纲变量的函数都很简单，有些平淡无奇，但有时会出现幂律或指数，其原因通常不言自明。或者，它们是由对称性决定的，例如球谐函数。偶尔，可能会有一个共振峰，能够用δ函数近似，物理学家就会欢呼庆祝。
更多的时候，如果你能弄清楚一个函数在其参数趋于零、无穷大或者一些特殊值（例如，角度为π/2）的时候的极限行为，那么聪明的插值就可能成功。下一小节有一个基本的例子，另一个例子将在关于水波的第 8.1 节给出。
在我早期的学习中，一位著名的教授告诉我，在实验物理学中，有无数个数字，但在基础物理学中，只有三个数字：0、1和∞。当然，他的意思是，你要用适当的单位，使得感兴趣的数字是无量纲的[1]，还要进行量纲分析，这样做了以后，结果就只能是：(a)比你的预期小得多，(b)跟你的预期差不多，或者(c)比你的预期大得多。事实上只有两个数字——0 和 1，因为 ∞ 跟 0是反比的关系。
因此，在物理中有趣的极限下，函数要么变成常数，要么变成0（或等价地，∞）。默认的猜测是常数。如果你猜是0或∞，就必须给出解释。
当然，你要根据手头的具体情况来调整这些一般性的考虑。
炮弹的射程
下面这道题是大一物理的水平。炮弹以速度v发射，角度为θ。它的射程 R 是多少？见图 1 和图 2。
图1 炮弹的射程 R 是角度 θ 的函数
图2 我给美国内战时期的大炮点火，按照工作人员的指示，将身体向左扭，拉动皮制的火绳。右下方勉强可以看到摄像师，以及电视片导演戴的帽子。
虽然这个问题很简单，但是在历史上，它让无数的物理学家得到了国王和将军们的青睐。许多杰出的物理学家曾担任过炮兵指挥官。[2]
由于 [v] ≡ L/T 和 [g]= L/T^2（炮弹的质量又一次被抵消了），所以就可以立即得出
其中 f(θ) 是未知的函数。
好吧，如果你水平发射，炮弹就会直接扑倒在地。如果你愚蠢地垂直发射，就要当心了！你无法传宗接代了。因此，f(0) 和 f(π/2) 等于 0。一个简单的猜测是，f(θ) 是两个函数的乘积：一个函数在 θ = 0 时等于 0，另一个在 θ = π/2 时等于 0。如果你有点儿物理学常识，就会拒绝类似θ(π/2-θ) 的东西。把矢量分解成垂直和水平分量时，就会出现三角函数。因此，你猜的是 sinθcosθ，或者 sin2θ（与前者相差一个系数 2）。[3]
从两端了解函数
在许多情况下，我们知道某个函数在其取值范围两端的数值。第 3.2 节中库仑问题的量子波函数就是一个例子。当某个径向变量 r 趋于无穷大时，波函数以指数形式趋于零，而当 r → 0 时，它以线性形式趋于零。不用解薛定谔方程，你能猜出这个波函数吗？试一试吧。
焦虑怪开口了——我们都知道他会这样，“知道一个函数的两端，并不能唯一确定这个函数”，他说。是的是的，我们知道。那么，我们就继续吧。
生擒刻律涅亚的雌鹿：赫拉克勒斯的第三大任务[4]
赫拉克勒斯必须[5]生擒刻律涅亚的雌鹿，它是阿耳忒弥斯女神的圣物，是速度最快的鹿。[6]这头雌鹿打算从阿耳忒弥斯山（这里被视为河岸上的一个点，见图 3）下来，（以速度vw）游过拉东河（宽度w）到 P 点，然后沿着河岸（以速度vl）跑到阿卡迪亚森林的避难
（请注意，这里提出的问题当然跟赫拉克勒斯没有关系。）
图3 刻律涅亚的雌鹿游过拉东河到达P点，然后沿着河岸跑到阿卡迪亚森林
我选择这个问题的一个原因是，按部就班的计算很容易解决这个问题， 即使用勾股定理和二分法找到最短的时间。[7]但我们仍将采用一个关于量纲分析的有启发性的、基本的观点。
所以，看我表演夜行术！
乍一看，量纲分析似乎无能为力，因为有两个距离可供x参考。但稍加思考就会发现，到阿卡迪亚森林的距离是不相关的。一种方法是考虑将森林向右移动 10 km，如图 3 右侧所示。这只是增加了这头鹿到达森林的时间， 但并不影响P的最佳位置。
另一种方法是让这头鹿从P点向后跑到C点，然后再从C点跑到森林 里。从P回到C所消耗的时间应该算作对这头鹿的时间预算的负贡献。这头鹿从C到森林的时间是固定的，完全不依赖于x。到森林的距离是不相关的。教训是，我们不应该盲目地计算问题中的量纲变量的数量。因此，量纲分析意味着 x=f(γ)w。换句话说，河流的宽度w设定了x的大小。
正如我说的，按部就班的计算很容易确定f(γ)[8]，但是本着夜行法的精神，我们还是猜一猜吧
如果γ→1，这头鹿游得跟跑得一样快。对它来说，趟水犹如平地。这头鹿可以沿直线到达森林，所以x等于到遥远森林的未知距离，与w相比是无限远的。我们期望，当γ→1时，f(γ)变为无穷大。
事实上，γ= 1 对这个问题施加了限制。如果这头鹿游得比它在陆地上跑得快，这个问题就没有意义了。在初级物理学（和数学）中，计算出错的最简单方法是让结果变成虚数。也许是某种平方根。因此，根据前面的所有考虑， 一个“合理的”猜测可能是
在数学上，这肯定是不严谨的。事实上，夜航人也许早就忘记数学系的大门朝哪儿开了。
请你试试内插法
给你一个更难的挑战。猜一猜什么函数具有这样的属性：当 x→0时，g(x)→x，当 x→∞时，g(x)→ex。
总是会有些大学生告诉我，有无数个函数的行为是这样的。好吧，我知道这一点。但是本着夜航物理学的精神，我想看到的是具有这些特性的最简单的函数。不，我不想讨论“简单”是什么意思，随便给一个你可以用最少的算术符号写出来的函数。
这个“正确”的猜测，将在第 3.5 节中揭示。在物理学史上，它非常非常重要。事实上，它带来了一场名副其实的革命。大学生通常的印象是，物理学的发展是有逻辑的，每个结果都是一步步推导出来的。亲爱的读者，你当然知道这往往与事实相去甚远。物理学中真正深刻的进步来自信仰的飞跃，来自疯狂但有根据的猜测。[9]
注释
[1] 而不是某个古怪的数字，带着奇特的量纲，比如说，尔格英寻每小时什么的。
[2] 例如，薛定谔（Erwin Schrödinger），还有图恩（Rudolf Thun），我在大学里学物理的同学。据我所知，拉普拉斯之所以能在法国大革命期间保住命，部分原因是他在法国炮兵部队服役。D. I. Duveen and R. Hahn, Laplace’s Succession to Bézout’s Post of Examinateur des Elèves de l’Artillerie, Isis 48, no. 4 (Dec. 1957), pp. 416–427,
https://doi.org/10.1086/348608.
[3] 一个物理学家朋友告诉我，在炮兵训练中，当他试图向军士长解释正弦和余弦时，那个人吼道：“让你的整钱和余钱见鬼去吧！”（Shove your sinus and conus up you know where!）。这就是掉书袋的下场。（你可以推断出，这段逸事不是发生在美国军队中。）
[4] 改编自 M. Huber, Mythematics: Solving the Twelve Labors of Hercules, Princeton University Press, 2009，第 22 页。
[5] 为什么？我们并不在乎，但如果你一定要知道，这十大任务是对他把自己的孩子和他兄弟的孩子扔进火里的惩罚。
[6] 关于刻律涅亚雌鹿的故事，见维基百科链接
https://en.wikipedia.org/wiki/Ceryneian_Hind。
[7] 事实上，这个希腊故事让我想起了一个类似的，但更现代的故事，主人公是 20 世纪物理学的一位大英雄。见 GNut，第 3 页。
[9] 向第 1.3 节的年轻玻尔致敬。
作者简介
徐一鸿（Anthony Zee），世界著名的美籍华裔物理学家，美国人文与科学院院士。1945年出生于上海，曾移民巴西，后在美国普林斯顿大学取得学士学位，博士毕业于哈佛大学。目前任职于卡弗里理论物理研究所和加州大学圣巴巴拉分校。他是一位研究领域十分宽广的物理学家，在宇宙学、高能物理、凝聚态物理、数学物理乃至生物物理等领域做出过重要贡献。现已出版250多篇学术论文，并致力于物理教材与科普图书的写作，其著作被翻译为多国语言，代表作有《果壳中的量子场论》（Quantum Field Theory in a Nutshell）、《爱因斯坦引力导论》（Einstein Gravity in a Nutshell）、《物理学家的群论》（Group Theory in a Nutshell for Physicists）、《可畏的对称》（Fearful Symmetry: The Search for Beauty in Modern Physics）、《爱因斯坦的玩具》（An Old Man’s Toy: Gravity at Work and Play in Einstein’s Universe）等。
译者简介
姬扬，浙江大学物理学院教授，博士生导师，曾获国家杰出青年基金。1971年出生，在中国科学技术大学获得学士和硕士学位，在中国科学院半导体研究所获得博士学位，后在以色列魏兹曼研究所进行博士后研究工作，回国后长期在中国科学院半导体研究所工作。著有译作《激光光谱学》《半导体物理学》《半导体的故事》《引力的影子：寻找引力波》等。
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