如何认识数学和学习数学
——闲言碎语数学漫谈
此篇文章内容不是什么权威谈数学，就像是几个数学爱好者闲谈数学互相交流。文章内容只供参考，不作任何数学和学术依据使用。
数学是一个让许多人头痛的学科，许多人见了数学书就犯困，其实这跟数学的教育方法和学习数学的方法有关。数学往往会把人塞进一个笼子里，能把人困死。还有就是一些老师，找一些偏题、怪题难为学生，显示自己的学问大。还有就是一些专家故意“简单问题复杂化”，也可能是他们的大方向错了，为了面子不得不复杂化。为了不被困死，许多人也就放弃数学数学了。
其实真实的数学是自由的，是优美的，是让人感兴趣的。
在中小学不做习题不行，问题是分数决定了一切，甚至个人的命运。这是没有办法事，只能老老实实的做习题了，并且会归纳整理，哪些习题如何做，注意解题方法和技巧。当然这种由分数决定人的智商水平，而进入不同的大学的方法，也会埋没大量的人才，而使真有创新能力的学生进入不了好的大学，成了做习题的机器，占据了优势被教育的位置，这对国家和民族也是一种损失。不过这也没有更好的办法纠正和改变的事，也就这样吧。结果是一些无能之辈，滥竽充数者把持着关键的学术岗位。人们讲：“金子总会发光的。”但是一块破布也会遮挡住金子的光芒。搞科研的，搞数学的不一定都是“白痴”偏科的人才，其实科学技术，科研人员更需要的是全面发展，需要的是全才。
数学也是相对的，数学是美的，数学也是艺术，不可能把一些数学家拉出来一看，都是一个个傻吧拉基的人。数学是高智商，而数学家不是生活的傻子，有可能数学家也是哲学家、逻辑学家、小说家、艺术家等等。
中小学没办法，“分数是学生的命根”，只好老老实实的做题吧。
到了大学或业余爱好数学，我们学习数学的方法就必须要改变了，否则我们越学越傻，进入到了“数学的葫芦”里，我们就出不来了。说：“数学是严谨的”这没错，但是千万不要把数学绝对化，不要陷阱数学的圈套里去出不来了。
我可以举一个不合适的例子。过去如果一个人在国企里工作十几年，他所接触的也就是那么几个人，他的言行必须适应在这个企业里的环境，其实他对社会一无所知，对自己接触到的人的认识也是肤浅的。在企业内部他似乎很熟悉企业和社会，但是当有一天他下岗了，走出了这个企业，走上了社会，他再回头看这个企业和自己的经历，他才会恍然大悟：“自己真的很傻啊，什么也不懂”。这就像交通不发达，没有网络，长期住在偏远山区里的人，他的思想意识也就是山沟、树木那么一点认识。一旦进入城市，真的就是“刘姥姥进入大观园”了。
数学也一样，长期在几本书里，长期也就是那么几道习题，慢慢的思想也就被固化了，不会有新的认知了。
许多数学问题都是先发现的概念，然后人为地用数学言语进行的“定义”。这个定义需要我们理解和记住，但是千万不要把自己的思想固定死。定义不是唯一，也不是仅仅可以用数学语言来定义，其它的方法，比如物理的、文学的方法等也可以定义同一个概念。对于数学来讲这个定义是严谨的，是“死的”，但是对于我们的思想来讲它是多样性的，它是灵活的，是可以改变的。也就是说我们的宇宙空间是“混沌”的。就像阴阳鱼，是可以转化的，是矛盾的，是对立统一的。所有事物都是矛盾的产物，没有矛盾就没有我们这个时空宇宙。
所以对于大学和业余爱好者学习数学，就要把概念思考透，冥思苦想的思考，这比会做习题重要的多。
对于数的分类我们还是以教科书和《数学手册》为基准，但是不要被它们固化思想了。其中有一点必须清楚，数学的发展与数的出现是密切相关的。比如加减法出现了零和负数，这是一个“数的体系”，这个运算不会超越这个数系。有了乘法而它的逆运算就出现了“分数”（小数）等等。每一次数学中矛盾的出现，都会出现一个新的数，这种发展我们还没有看到边界。
过去人们把正整数称作自然数，而研究正整数的规律的数学学科叫“数论”。这就太狭隘了，不过也有情可原，因为两千年来数学家们确实没有找见“素数公式”，也没有搞清楚素数在自然数里的分布规律。
关于数的分类我在网上找了一图片，如下
这个图片的分类可以参考，如有侵权可以删除。教科书对“自然数”的定义就是全部正整数，有些也包括零。没必要较真，这就是人为的规定。我对自然数的概念就是“凡是人类认识到自然界存在的数都是自然数”。
进入大学学数学就与中学完全不同了，思维方式就要改变。但是中学的知识是底子，就是基本功。底子打不好再学习数学也是困难。我们是在中学有了一定的数学技能的基础上，开始学习《高等数学》或《数学分析》的。
我在这里讲一下不是学数学的，如何了解和理解一些数学的知识和数学的概念，这对我们搞文科的，比如哲学家、逻辑学家、思想家等等对数学的认识有帮助。
《高等数学》里有一个“极限”的概念，是用“数学语言”描述的。有数列的极限和函数的极限。里面的关键要素就是用“两数之差的绝对值”来表示数之间的距离，用大于号和小于号表示范围，用变化的语言表示“动态”。这个定义也就是这三个要素，但是对于不是学习数学的人来讲就很难理解了。
我们必须要知道“自然界某一事物的概念”出现，可以用多种方法来定义，数学仅仅是其中的一种，并不是全部。
我们拿一个西瓜，这就是1，或是一个单位。再拿一个就是2，就是1+1，接着摆满地球、摆满太阳系、摆满宇宙……，但是我们的“数”永远也不会用完，要多大有多大，这就叫“趋近无穷大”。这里面趋近无穷大与无穷大还是有区别的，不能混淆。也就是说无穷大不能比较大小，但是可以把无穷大分成不同的等级。每一个数在这个宇宙里都是唯一的概念，不会有第二个相同的数。
这种数我们可以从0开始，从没有西瓜开始，然后1、2、3……的摆下去。因为这是最基本的数字，我们可以叫它为“自然数”。注意两点，一是数与数字概念的区别；二是前三个数1、2、3很重要，尤其是对1的认识和理解。
我们可以画一条直线，前面是箭头，从坐标点0开始写单位长度1、2、3……，这个就是数轴。古人研究这些数的规律，就是数学里的一门数学分支，叫“数论”。其实数论的研究早已超越了这个界限，但是核心问题毫无进展都是空白，因为没有找到“素数公式”，也没有发现素数在自然数里面的分布规律。当然不自夸的讲我已经解决了这个问题。
像高斯素数定理和黎曼猜想都是“简单问题复杂化了”，高斯素数定理是讲素数在自然数里面分布规律的，而黎曼猜想是试图把素数的分布规律与某一个数列相关联，其实还是要找一个“素数公式”。
闲言少叙，书归正传。我们看数轴从0到1的概念。
西瓜是1，我们切一刀，每一份就成了1/2，数轴上就成了0到1之间的中点了。我们一直这样分下去，一直到西瓜的植物细胞，再切下去就不是西瓜了，就成了“分子层次”了，继续切就到了原子结构。但是在数学理论上是无穷无尽的切下去，永远没有尽头。假设我们可以看到我们切地份数就是无穷多的，而我们得到的每一份就是无穷小的。多的份数趋近无穷大，分的到东西趋近于零。这就是极限的概念，表示为1/x当x趋近无穷大时，函数y=1/x趋近于0，趋近数学用→表示。
分数其实是一个“式子”，是一个除法的“式子”，把它作为“数”使用是一个转变，许多人突然看到了分数很不习惯，往往无法摆脱过去“数”的印象。分数这一关成了许多人继续学习数学的绊脚石。
在做分数的应用题时有一个口诀，“由整体求部分用乘法，由部分求整体用除法。”就是背下来遇到应用题也不会使用。这个问题我们如何处理？
比如我们知道一个班有30个学生，男生占全班的2/3，求这个班有多少男生？背口诀真没用，必须理解分数才行。30是整体，必须除3等于10才是1/3中的一份，乘与2就是男生的人数。问题在于必须理解透分子和分母的意义，谁是整体，谁是部分。
还有为什么一个数乘于小数越乘越少？我们看数轴小数是在0与1之间，就是一个分数，就是把“西瓜”切开了。
有了极限的概念才会有导数、微分、积分等等。极限、导数、微分是后面学习多重积分、曲面积分、曲线积分、场论等等的基础。
虽然简单，这就是数学思维，适合不喜欢数学的人了解数学。
现在“数论”里面存在的问题很多，尤其是对1的认识，对素数的定义都是有问题的。有些人就是故弄玄虚，就是炒作，其实对数论体系的建立和数论的发展没有一点好处。也可以这样讲：他们披着数学家的外衣，没有干数学的事。而是为了自己的位置和经济利益合伙造假和欺骗世人。
2024年11月14日星期四