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#时间深度 #逻辑和概率 #思想史 #思想家和理论
通过：由霍顿图书馆/哈佛大学提供
有些人认为逻辑总有一天会完成，它的所有问题都会得到解决。现在我们知道这是一项无休止的任务
张三要么在家，要么在办公室。他不在家。他在哪里？ 你可能会想为什么我从这样一个令人费解的谜题开始。但在解决它时，您已经使用了逻辑。你从“张三 要么在家要么在办公室”和“他不在家”这个前提中正确推理，得出“张三 在办公室”的结论。这似乎没什么大不了的，但无法采取这一行动的人会遇到麻烦。我们需要逻辑来将不同的信息放在一起，有时来自不同的来源，并提取它们的后果。通过将逻辑推理的许多小步骤链接在一起，我们可以解决更难的问题，就像在数学中一样。
逻辑的另一个角度是它与不一致有关。想象一下，有人说出所有三个陈述“张三要么在家，要么在办公室”，“他不在家”，“他不在办公室”（大约同一个人在同一时间）。这些陈述是不一致的;它们不可能一起都是真的。其中任何两个都是真的，但它们排除了第三个。当我们发现某人所说的不一致时，我们往往会停止相信他们。逻辑对于我们检测不一致的能力至关重要，即使我们无法准确解释出了什么问题。通常，它比那个例子要隐藏得更深。发现所说的不一致之处可以让我们弄清楚某个亲戚是困惑的，还是某个公众人物在撒谎。逻辑是对zheng客言论的一种基本检查。
我是斜杠青年，一个PE背景的杂食性学者！♥致力于剖析如何解决我们这个时代的重大问题！♥使用数据和研究来了解真正有所作为的因素！
为了用最简单的形式来表达你的推理模式，你从前提 'A 或 B' 和 '不是 A' 到结论 'B'。演绎动作全部在两个简短的词 'or' 和 'not' 中。你如何填写 'A' 和 'B' 在逻辑上无关紧要，只要你不引入歧义就行。如果 'A 或 B' 和 '非 A' 都是真的，那么 'B' 也是真的。换句话说，这种形式的论证在逻辑上是有效的。它的技术术语是析取三段论。无论你是否知道，你一生中的大部分时间都在应用析取三段论。
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除了少数特殊情况外，逻辑无法告诉你论证的前提或结论是否正确。它无法告诉您 张三 是否在家，或者他是否在办公室，或者他是否不在这两个地方。它告诉你的是他们之间的联系;在一个有效的论证中，逻辑排除了前提都是真的而结论是假的组合。即使你的前提是错误的，你仍然可以以逻辑上有效的方式从中推理——也许我最初关于 张三 的说法是完全错误的，他实际上在火车上。
论证形式的逻辑有效性取决于逻辑词：除了 'or' 和 'not' 之外，它们还包括 'and'、'if'、'some'、'all' 和 'is'。例如，从“所有毒菌都是有毒的”和“这是毒菌”到“这是有毒的”的推理说明了一种有效的论证形式，我们在将常识或信念应用于特定情况时会使用这种论证形式。另一种形式的论证的数学实例是从 'x 小于 3' 和 'y 不小于 3' 到 'x 不是 y'，这涉及到逻辑原则，即只有当事物具有相同的属性时，它们才是相同的。
在日常生活中，甚至在许多科学中，我们很少或根本没有有意识地关注逻辑词在我们的推理中的作用，因为它们没有表达我们对推理的兴趣。我们关心 张三 在哪里，而不是析取，即 'or' 所表达的逻辑运算。但是如果没有这些合乎逻辑的词语，我们的推理就会分崩离析;交换 'some' 和 'all' 会将许多有效参数转换为无效参数。逻辑学家的利益正好相反;他们关心 分离 是如何工作的，而不是 张三 在哪里。
哲学家有时会落入这个陷阱，认为逻辑没有什么可以发现的了
逻辑学在古代世界已经被研究过，在希腊、印度和东大。在普通推理中识别有效或无效的论证形式是困难的。我们必须退后一步，从我们通常认为最感兴趣的事物中抽离出来。但这是可以做到的。这样，我们就可以揭示复杂论点的逻辑微观结构。
例如，这里有两个参数：
“所有的zheng客都是罪犯，有些罪犯是骗子，所以有些zheng客是骗子。”
“有些zheng客是罪犯，所有罪犯都是骗子，所以有些zheng客是骗子。”
结论从逻辑上遵循这些论点之一的前提，而不是另一个论点。你能弄清楚哪个是哪个吗？
当一个人只看这些普通的情况时，人们会得到这样的印象，即逻辑需要处理的论证形式有限，因此一旦它们都被正确地归类为有效或无效，逻辑就完成了它的任务，除了将其结果传授给下一代。哲学家有时会落入这个陷阱，认为逻辑没有什么可以发现的。但现在我们知道，逻辑永远无法完成它的任务。无论逻辑学家解决了什么问题，总会有新的问题需要他们解决，而这些问题不能简化为已经解决的问题。要理解逻辑学是如何成为这个开放式的研究领域，我们需要回顾它的历史是如何与数学的历史交织在一起的。
人类历史上最持久和最成功的逻辑推理传统是数学。它的结果也适用于自然科学和社会科学，因此这些科学最终也依赖于逻辑。
数学陈述需要从第一性原理来证明的想法至少可以追溯到欧几里得的几何学。尽管数学家通常更关心他们推理的数学回报，而不是其抽象结构，但要达到这些回报，他们必须将逻辑推理发展到前所未有的力量。
摘自奥利弗·伯恩 （Oliver Byrne） 的《欧几里得元素的前六本书》（1867 年）。公有土地
一个例子是 reductio ad absurdum 原则。这就是人们通过假设结果不成立并得出矛盾来证明结果的方法。例如，要证明有无限多的素数，首先假设相反的情况，即存在一个最大的素数，然后从该假设中得出相互矛盾的结果。在一个复杂的证明中，人们可能不得不在假设中做出假设;要跟踪这种精心设计的辩证结构，需要对正在发生的事情有一个安全的逻辑把握。
有一种趋势是将数学简化为算术中的逻辑结构
随着数学在 19 世纪变得越来越抽象和普遍，逻辑也随之发展。George Boole 开发了现在所谓的“布尔代数”，它基本上是 'and'、'or' 和 'not' 的逻辑，但同样是类的交集、并集和互补运算。事实证明，它还对电子电路、AND 门、OR 门和 NOT 门的构建块进行建模，并在数字计算的历史上发挥了重要作用。
布尔逻辑有其局限性。特别是，它没有涵盖 'some' 和 'all' 的逻辑。然而，这些词的复杂组合在严格的数学定义中发挥着越来越大的作用，例如数学函数是“连续的”意味着什么，以及无论如何都是“函数”意味着什么，这些问题导致了 19 世纪初数学的混淆和不一致。
19 世纪后期见证了一种日益增长的趋势，通过将数学简化为算术的逻辑结构，即自然数理论——通过反复加 1 从 0 得出的理论——在加法和乘法等运算下。然后，数学家理查德·戴德金 （Richard Dedekind） 展示了如何通过重复应用给定的运算（0、1、2、3 等）将算术本身简化为从给定起点生成的所有序列的一般理论。这个理论非常接近逻辑。他对操作施加了两个约束：首先，它永远不会为不同的输入输出相同的结果;其次，它永远不会输出原始起点。给定这些约束，结果序列不能循环回自身，因此必须是无限的。
Dedekind 项目最棘手的部分是证明甚至有一个这样的无限序列。他不想把自然数视为理所当然，因为算术是他试图解释的。相反，他提出了一个序列，其起点（代替 0）是他自己的自己，并且其生成操作（代替加 1）从任何可思考的输入中构建了他可以考虑该输入的想法。至少可以说，他在证明中提到了他自己的自我和关于思考能力的想法，这是出乎意料的。它感觉不像普通的数学。但是，还有谁能做得更好，使算术完全严格呢？
一个自然的想法是将算术，也许是数学的其余部分，简化为纯粹的逻辑。一些部分减少很容易。例如，采用方程 2 + 2 = 4。应用于物理世界，它对应于这样的论点（关于一碗水果）：
正好有两个苹果。
正好有两个橙子。
没有苹果是橙子。
因此：
正好有四个苹果和橙子。
像“正好两个”这样的短语可以翻译成纯粹的逻辑术语：“正好有两个苹果”等同于“有一个苹果，还有另一个苹果，没有更多的苹果”。一旦整个论点被翻译成这样的术语，结论就可以通过纯粹的逻辑推理从前提出发严格地推导出来。此过程可以推广到任何涉及特定数字（如 '2' 和 '4'）的算术方程式，甚至是非常大的数字。数学的这种简单应用可以归结为逻辑。
然而，这种简单的简化还远远不够。数学还涉及泛化，例如“如果 m 和 n 是任何自然数，则 m + n = n + m”。简单的简化无法处理这种普遍性。需要一些更通用的方法将算术简化为纯逻辑。
戈特洛布·弗雷格 （Gottlob Frege） 做出了关键贡献，他的工作比戴德金的稍早，尽管当时要低调得多。弗雷格发明了一种全新的符号语言来编写逻辑证明，并为此创造了一个正式的演绎规则系统，因此可以严格检查系统中任何所谓的证明的正确性。他的人工语言可以表达的比以前的任何逻辑象征都多得多。高等数学中定义和定理的结构复杂性第一次可以用纯粹的形式术语来表达。在这个形式系统中，Frege 展示了如何将自然数理解为来自具有相同成员的集合的抽象。例如，数字 2 是所有恰好具有两个成员的集合的共同点。两个集合的成员数量相等，当它们的成员之间存在一对一的对应时。实际上，Frege 谈论的是“概念”而不是“集合”，但这种差异对我们的目的并不重要。
R 是否是一个不是自身成员的集合？如果是，那就不是，如果不是，那就是：不一致！
事实证明，弗雷格的逻辑语言对哲学家、语言学家和数学家来说是无价的。例如，以简单的论点“每匹马都是动物，所以每匹马的尾巴都是动物的尾巴”。早在弗雷格之前，它就已经被认为是有效的，但需要弗雷格逻辑来分析其底层结构并正确解释其有效性。今天，哲学家经常用它来分析更棘手的论点。语言学家使用一种可以追溯到 Frege 的方法来解释复杂句子的含义如何由其组成词的含义以及它们如何组合在一起。
弗雷格对尝试将数学简化为逻辑的贡献比任何人都大。到 20 世纪初，他似乎已经成功了。然后，伯特兰·罗素 （Bertrand Russell） 发来了一份简短的注释，指出了弗雷格重建数学的逻辑公理中隐藏的不一致之处。这个消息再糟糕不过了。
这个矛盾最容易用集合来解释，但用弗雷格术语来说，它的类似物同样是致命的。要理解它，我们需要退后一步。
在数学中，一旦我们弄清楚了“三角形”的含义，我们就可以谈论所有三角形的集合：它的成员只是三角形。同样，由于我们所说的“非三角形”的含义同样清楚，我们应该能够讨论所有非三角形的集合：它的成员只是非三角形。这两个集合之间的一个区别是，所有三角形的集合不是自身的成员，因为它不是三角形，而所有非三角形的集合是自身的成员，因为它是非三角形。更一般地说，只要我们所说的 “X” 的含义很清楚，就有所有 X 的集合。这个关于集合的自然原则被称为“不受限制的理解”。弗雷格的逻辑包括一个类似的原则。
既然我们所说的 '集合不是自身的成员' 的意思很清楚，我们可以在无限制理解原则中用它代替 'X'。因此，存在不是自身成员的所有集合的集合。将该集合称为 'R' （代表 'Russell'）。R 是自己的成员吗？换句话说，R 是否是一个不是自身成员的集合？反思很快就会表明，如果 R 是自身的成员，那么它就不是，如果不是，那就是：不一致！
这个矛盾就是罗素悖论。它表明不受限制的理解一定有问题。尽管许多集不是其自身的成员，但没有一个 set 的 set 不是其自身的成员。这就提出了一个普遍的问题：我们什么时候可以开始讨论所有 X 的集合？什么时候有一组全 X？这个问题对当代数学很重要，因为集合论是它的标准框架。如果我们永远无法确定是否有一套可供我们讨论，我们该如何进行？
奥吉亚学家和数学家已经探索了许多限制理解原则的方法，这些方法足以避免矛盾，但又不会妨碍正常的数学研究。在他们的巨著《数学原理》（Principia Mathematica，1910-13 年）中，罗素和阿尔弗雷德·诺斯·怀特海 （Alfred North Whitehead） 施加了非常严格的限制以恢复一致性，同时仍然保留足够的数学能力来执行弗雷格项目的变体，将大部分数学简化为一致的逻辑系统。但是，对于正常的数学目的来说，它太麻烦了。数学家现在更喜欢一个更简单、更强大的系统，它与 Ernst Zermelo 的 Russell 的系统大约同时设计，后来由 Abraham Fraenkel 增强。基本概念称为“迭代”，因为 Zermelo-Fraenkel 公理描述了如何通过迭代集合构建操作来获得越来越多的集合。例如，给定任何集合，都有其所有子集的集合，这是一个更大的集合。
集合论被归类为数理逻辑的一个分支，而不仅仅是数学的一个分支。这很贴切，原因有几个。
首先，像 'or'、'some' 和 'is' 这样的核心逻辑词的含义具有一种抽象的结构通用性;这样，'set' 和 'member of' 的含义是相似的。
其次，集合论的大部分内容都涉及一致性和不一致的逻辑问题。它最大的成果之一是连续体假说 （CH） 的独立性，它揭示了当前逻辑和数学的公理和原则的主要局限性。CH 是关于不同无限集的相对大小的自然猜想，由集合论的创始人 Georg Cantor 于 1878 年首次提出。1938 年，库尔特·哥德尔 （Kurt Gödel） 证明 CH 与标准集论一致（假设后者本身是一致的）。但在 1963 年，Paul Cohen 表明 CH 的否定也与标准集论一致（同样，假设后者是一致的）。因此，如果标准集合论是一致的，它既不能证明也不能反驳 CH;它在这个问题上是不可知论的。一些集合论者一直在寻找合理的新公理，以添加到集合论中，以某种方式解决 CH，但到目前为止收效甚微。即使他们找到了一个，强化集合论仍然对一些进一步的假设是不可知的，依此类推，无限期。
形式逻辑框架中的证明仍然是黄金标准，即使您从未见过金条
在职数学家可以使用集合，而不必担心不一致的风险，也无需检查他们的证明是否可以在标准集合论中进行。幸运的是，他们通常可以。那些数学家就像那些过着不顾法律的生活，但实际上习惯是守法的人。
1925 年的库尔特·哥德尔 （Kurt Gödel）。由维基百科提供
尽管集合论并不是唯一可以想象的数学框架，但任何替代框架都会出现类似的问题：需要限制来阻止罗素悖论的类似物，并且其严格的发展将涉及复杂的逻辑问题。
通过研究数学证明和形式逻辑之间的关系，我们可以开始理解逻辑和计算机科学之间的一些更深层次的联系：逻辑很重要的另一种方式。
数学中的大多数证明都是半正式的;它们以数学和逻辑符号、图表以及英语或其他自然语言的混合形式呈现。根本的公理和第一性原理没有被提及。然而，如果有能力的数学家质疑证明中的某个点，他们会要求作者填补缺失的步骤，直到很明显推理是合法的。假设是，任何可靠的证明原则上都可以完全形式化和逻辑严谨，尽管在实践中几乎不需要完全形式化，并且可能涉及数千页的证明。形式逻辑框架中的证明仍然是黄金标准，即使您个人从未见过金条。
形式证明的标准与计算机对数学证明的检查密切相关。一个普通的半正式证明不能按原样进行机械检查，因为计算机无法评估将更正式的部分结合在一起的散文叙述（当前的 AI 不够可靠）。相反，需要的是校对程序和人类数学家之间的互动过程：程序反复要求人类澄清定义和中间步骤，直到它能找到一个完全正式的证明，或者人类发现自己不知所措。所有这些都可能需要几个月的时间。即使是最优秀的数学家也可以使用交互式过程来检查复杂的半形式化证明的有效性，因为他们知道一个出色的、完全令人信服的证明策略被证明取决于一个微妙的错误。
从历史上看，逻辑和计算之间的联系远不止于此。1930 年，哥德尔发表了一个演示，证明对于大部分逻辑，即一阶逻辑，有一个健全而完整的证明系统。对于许多目的，一阶逻辑就是人们所需要的。从任何可证明的公式都是有效的意义上说，该系统是合理的（在所有模型中都是如此）。该系统也是完整的，因为任何有效的公式都是可证明的。原则上，系统提供了一种自动列出语言所有有效公式的方法，即使有无限多的公式，因为系统中的所有证明都可以按顺序列出。尽管这个过程是无止境的，但任何给定的有效公式迟早会出现（也许在我们的有生之年不会）。这似乎为我们提供了一种原则上确定任何给定公式是否有效的自动方法：只需等待看看它是否出现在列表中即可。这对于有效的公式来说很好，但是无效的公式呢？你坐在那里，等待公式。但是，如果它还没有出现，你怎么知道它是会在以后出现，还是永远不会出现呢？最大的悬而未决的问题是决策问题：是否有一种通用算法，给定语言的任何公式，它会告诉你它是否有效？
几乎同时在 1935-36 年，美国的 Alonzo Church 和英国的 Alan Turing 证明了这样的算法是不可能的。要做到这一点，他们首先必须非常努力和创造性地思考算法到底是什么，一种纯粹机械的逐步解决问题的方式，不留任何自由裁量权或判断的余地。为了更具体地说，图灵提出了一种虚构的通用计算机器的精确描述，它原则上可以执行任何算法。他证明，没有这样的机器可以应对决策问题的挑战。实际上，他发明了计算机（尽管当时“计算机”这个词被用来指代以计算为工作的人;一位哲学家喜欢指出他娶了一台计算机）。几年后，图灵制造了一台电子计算机，在第二次世界大战期间实时破解德国密码，为在北大西洋击败德国 U 型潜艇做出了重大贡献。笔记本电脑上的程序是“为什么逻辑很重要”这个问题的一个实用答案。
另类逻辑学家比一般的阴谋论者要理性得多
自图灵以来，逻辑和计算一直在相互作用。编程语言在结构上与逻辑学家的形式语言密切相关。逻辑的一个蓬勃发展的分支是计算复杂性理论，它不仅研究给定类是否有算法，还研究算法可以有多快，即它涉及多少步（作为输入大小的函数）。如果你看一下逻辑期刊，你会发现投稿人通常来自数学、计算机科学和哲学等多个学科。
由于逻辑是确定演绎是否有效的终极首选学科，人们可能会期望基本的逻辑原则是不容置疑或不证自明的——哲学家过去是这样想的。但在上个世纪，标准逻辑的每一条原则都被一些逻辑学家或其他人拒绝了。挑战基于各种理由：悖论、无限、模糊、量子力学、变化、开放的未来、被抹去的过去——应有尽有。提出了许多替代的逻辑系统。与预测相反，另类逻辑学家并没有疯狂到难以理解的地步，而是比一般的阴谋论者要理性得多;人们可以与他们就替代系统的优缺点进行有益的争论。逻辑学中存在着真正的分歧，就像所有其他科学一样。这并不使逻辑变得无用，就像它使其他科学变得无用一样。它只会让情况变得更加复杂，当人们仔细观察任何一点科学时，往往会发生这种情况。在实践中，逻辑学家一致认为足以取得巨大进展。大多数替代逻辑学家坚持认为经典逻辑在普通情况下已经足够有效。（在我看来，所有对古典逻辑的反对都是不合理的，但那是另一天的事了。
逻辑的特征不是一个特殊的确定性标准，而是一个特殊的普遍性水平。除了在监管演绎论证中的作用之外，逻辑还可以辨别现实中最抽象的结构性模式。一个简单的例子是：一切都是自相同的。前面提到的各种逻辑发现反映了更深层次的模式。与一些哲学家所声称的相反，这些模式不仅仅是语言约定俗成。无论我们多么努力，我们都无法使某些东西变得不相同。我们可以用 “身份 ”这个词来指代其他的东西，但这就像试图用 “引力 ”这个词来表示其他的东西来战胜引力。逻辑定律并不比物理定律更取决于我们。
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