基于三角形角平分线的综合与实践
2024年南通中考数学第26题
三角形的角平分线概念，在初中阶段分两步教学，首先是在七年级上册175页，角的比较与运算第2课时，类比线段中点，给出角的平分线定义；然后在八年级上册第5页，三角形的高、中线与角平分线中，明确了三角形的角平分线定义，如下图：
三角形的角平分线是一条线段，它将对边分成两条线段，再加上原有角的两条边，更加丰富了三角形的边角关系，尤其是在特殊三角形例如等腰三角形中，顶角平分线同时也是底边上的中线和高，即大家熟悉的“三线合一”。
以三角形的角平分线为情境，从特殊等腰三角形出发，探究两腰和与两腰积与其中一个特殊角间的数量关系，再到一般三角形与一般角，得出一般性结论，再利用这个结论来解决问题，这正是综合也实践活动的一般流程。
题目
解析：
01
(1)解题前如果对特殊直角三角形边角关系非常熟悉的话，则本小题会很轻松，一般而言，等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，三边关系分别满足1:1:√2和1:√3:2，与特殊三角函数值正好对应，填表如下：
对照条件作出图形，如下图：
这里需要注意的是读懂题目要求，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB·AC之间的数量关系，不要将参数α给消元了.
02
(2)和前面相比，角平分线AD=1不变，它所平分的角为60°，按要求作图如下：
我们在等腰三角形中探索出来的规律依旧可用，但此时的△ABC并不是等腰三角形，所以优先考虑构造一个等腰三角形，从而可以直接运用前面的结论，我们可过点B作AD的垂线，交AD于点E，交AC于点F，如下图：
很显然，△ABF是等边三角形，且AE是其顶角平分线；
利用这个等边三角形，我们可以非常顺利地建立AB、AE与∠BAE的关系，但这离我们的结论还差一点，因此需要建立AE与AC间的关联，所以过点F继续作BF的垂线，交BC于点G，过点G作FG的垂线，交AC于点H，如下图：
我们很容易得到一组平行线GH∥BF，利用相似三角形推导如下：
我们还可以将前面的结论与本小题结论进行对比，可发现 2cos30°=√3，即在本小题条件下，前面的结论依然成立：(AB+AC)/AB·AC=2cosα；
仍然基于以上思路，还有更多方法，如下图：
过程类似，不再重复.
03
(3)先按要求作图，如下图：
在等腰△ABC中，AD=BD=BC，不妨设∠A=y，则∠ABD=y，∠BDC=2y，∠C=2y，∠ABC=2y，∠DBC=y，利用内角和定理可求出y=36°；
图中BD为△ABC内角平分线，同时它也是△BMN的内角平分线，这样我们可以利用前面已经探究出来的结论，在△BMN中，BE是其内角平分线，则(BM+BN)/BM·BN=2cos36°，即1/BM+1/BN=2cos36°，显然cos36°是定值.
解题反思
我们在第一小题中，完成了等腰三角形中从特殊角到任意角结论的推导，也证实了(AB+AC)/AB·AC=2cosα对于等腰三角形中的任意角α是成立的；
在第二小题中，从一般三角形中构造等腰三角形，借助前面的结论完成了特殊角的结论(AB+AC)/AB·AC=2cos30°，在推导过程中，30°角起到的作用是建立了参数x与AB、AC间的关系，即我们用含x的代数式表示出了AB、AC的长度，那么30°角能完成的关联，45°角同样能完成，60°角也能完成，这就回到了第一小题的探究方法了，因此对于任意角α，我们都能建立起AB、AC间的关系，即可用含x、α的代数式表示出AB、AC，虽然我们没有在一般三角形中就任意角α下的结论进行验证，但它依然成立；
部分学生在经历特殊到一般的过程中，对于本题没有验证任意角α一直很疑惑，其实是没有必然的，但为了让结论更加严密，不妨在一般三角形中，我们用任意角度的角平分线来验证一下：
由于E是BF中点，可得DE是△BFG中位线，FG=2DE，推导如下：
通常情况下，三角形内角不超过180°，故α应该为锐角，利用锐角三角函数恰好能进行上述推导，这就完美遵循了猜想-验证的思想方法，形成了逻辑闭环；
其实在上面的验证过程中，我们对比第二小题的过程，“几乎一样”，这也说明了结论在前面已经被证实过可用；在第三小题中，真正理解了前面研究结论的学生，就非常容易理解定值的含义了.