下文转自图灵编辑部，节选自《基础数学讲义》，【遇见数学】已获转发许可。
第 2 版序
1976 年，我们还在用打字机撰写本书第 1 版，而如今我们生活的世界已经有了很大的变化。教育领域的研究为人们如何基于既有经验来学习数学提供了新结论。因此我们加入了一些鼓励读者反思自己的数学理解的内容，让读者更好地理解形式化定义的精妙之处。我们还新增了一篇关于自我解释的附录（作者是拉夫伯勒大学数学教育中心的拉腊·阿尔科克、马克·霍兹和马修·英格利斯）。
这种方法可以加深对于数学证明的理解，长远来看可以提高学生的数学水平。我们在这里要感谢他们的授权。
第 2 版和第 1 版有很多共同之处，因此熟读第 1 版的教师会发现大部分内容和习题是一致的。但是我们在新版中迈出了重要的一步。原版介绍了集合论、逻辑和证明的概念，并基于它们从三个简单的自然数公理开始，构造了实数这一完备有序域。我们把计数推广到了无限集，并引入了无限基数。但是我们没有推广计量的概念——单位还可以进一步细分，来得到有序域。
我们在第 2 版中进行了纠偏，引入了一个全新的部分，在原有的无限基数的基础上又新增了一章，介绍如何把实数这一完备有序域扩张到更大的有序域上。这也属于形式数学更广阔的构想。有一些被称为结构定理的定理表明，形式化的结构也可以用图像和符号的方式来自然地解释。例如，完备有序域的形式化概念可以通过将其表示为数轴上的点或者无限小数来完成计算。
结构定理为形式数学提供了新的视野——我们可以用图像或符号的方法来想象形式化定义的概念。这样就可以描绘出新概念，并且用符号化的方式进行运算，从而构想新的可能性。接下来我们就可以寻找这些可能性的形式化证明，从而让我们的理论更加完整。
在第四部分中，第 12 章概括论述了这一新的视野。第 13 章介绍了群论。群具有一种运算，满足一组特定的公理。我们在这里展示了群的形式化概念，证明了一个结构定理。这一结构定理表明，群的元素是通过排列其集合的元素来进行运算的。这样，我们就可以通过代数符号和几何图像来自然地理解群的形式化定义了。
对于那些只研究不含无穷小量的实数的数学家来说，这一新的可能性或许会令他们惊讶。但是现在我们就可以通过放大，来把无穷小量表示为扩张数轴上的点，直观地观察它们。
这为我们带来了两种推广数的概念的方法——一种是推广计数过程，一种是推广实数的算术。在这一新构想下，公理化系统可以在自己的框架中具有自洽的结构，而不同的系统可以扩张到具有不同性质的更大的系统。我们为什么感到惊讶呢？整数域没有倒数，但是实数域的所有非零元素都有倒数。每个扩张后的系统都有着各自的性质。这样我们就不用受经验束缚，可以利用想象来开发强有力的新理论。
本书的第 1 版让学生们从中学数学中熟悉的经验过渡到大学阶段纯数学领域中更加精确的思维。第 2 版则可以让他们进入更宽广的数学世界，见证基于形式化定义和证明，超越我们既有预期的定义、证明、表示数学的全新方法。
伊恩·斯图尔特和戴维·托尔 2015 年于英国考文垂市
02 第 1 版序
本书旨在让读者从中学数学的思维方式过渡到数学家具有的成熟思维方式，适用于大一新生和有志从事纯数学研究的中学生。本书也面向有着初等数学基础，想了解数学的基本概念和思维过程的读者。
本书中“基础”一词的含义要比建筑领域的“基础”（地基）更加丰富。它们无处不在：不仅被用来构造数学，还把构造出来的结构紧密地连接在一起。数学基础往往以数学形式主义的方式呈现给学生：形式化的数理逻辑、形式化的集合论、数系的公理化描述以及构造，而呈现的过程中往往用到了各种陌生而复杂的符号。对于思维不成熟的学生来说过于艰深的完全形式化的概念往往通过一种“非形式化”的方法来介绍，但是这种做法出于完全不同的原因。
即便是用非形式化的方法呈现，纯粹的形式化方法对于初学者来说也是不合适的，原因在于它没有考虑到学习过程的实际情况。这种教学方法聚焦数学的技术性，忽略了概念的表达方式。数学家并不仅仅思考枯燥的符号，相反，他们往往是基于经验找到问题的困难之处，并着重分析。而在解决问题的过程中，逻辑的缜密性也往往不是最重要的——只有找到了思路之后，我们才去填充形式化证明的细节。当然也存在例外：有时候可能在直观理解问题的一部分之前，我们就已经完成了另一部分的形式化；而且也存在通过符号来思考的数学家。无论如何，上面的论述基本还是正确的。
本书的目标在于让学生熟悉数学家解决问题的方式。我们会介绍标准的“数学基础”，但是我们希望能通过自然拓展思维模式来建立形式化方法。一名高三学生已经掌握了大量的数学知识，我们希望能基于这些知识，打磨他的数学直觉，从而直击数学问题的要害。我们的方法不同于那些告诉学生“忘掉你至今为止所学的错误知识，从头开始学习正确知识”的陈词滥调。这种说法不仅打击学生的信心，也是错误的。要是一个学生真忘记了至今积累的知识，那就会落入一个悲惨的处境。心理因素限制了学习数学概念的方法。从定义出发往往是不合适的，因为要是没有进一步的解释并提供合适的例子，定义的内容往往是难以理解的。
为了明确各个学习阶段应有的思维态度，本书第 1 版分为四个部分。第一部分从非形式化的层面为后续内容做好铺垫。第 1 章审视了学习过程本身，建立了本书的哲学思想。学习过程并非一帆风顺，而是蜿蜒曲折的，难免歧路亡羊。只有意识到这一点才能更好地面对困难。第 2 章分析了实数作为数轴上的点这一直观概念，把实数和无限小数联系起来，解释了实数完备性的重要性。
第二部分介绍了一些集合论和逻辑知识，特别是关系（特别是等价关系和顺序关系）和函数。在介绍了基本的符号逻辑之后，我们讨论了“证明”的概念并给出了形式化定义。之后，我们分析了一个证明，来说明我们熟悉的数学证明风格其实把一些公式化的步骤省略在了背景知识中。这样做也让证明更加清晰。我们介绍了这种做法的优点和风险。
第三部分介绍了熟悉的形式化结构和相关概念。我们从归纳法开始引入了自然数的佩亚诺公理，然后展示了如何利用集合论方法从自然数构造整数、有理数和实数。随后的章节把实数公理化为完备有序域，并完成了反向构造。我们证明了这样构造的结构的唯一性，并把它们和第一部分中的直观概念联系起来。然后我们考察了复数、四元数以及一般的代数和数学结构。至此，我们已经可以一览整个数学世界。之后我们从计数这一概念推广出了无限基数，后者又引出了更高深的数学知识。无限基数也表明我们还没有完成形式化的工作。
第四部分简单地讨论了数学形式化的最后一步：集合论的形式化。我们将给出一组可能的公理，并讨论选择公理、连续统假设和哥德尔定理。
在论述过程中，我们更关注形式化背后的概念，而非使用的形式化语言的细节。适合数学家的论述往往不适合学生。（我们曾对大一新生做过一系列测试，并证明了这一点。）因此我们并非基于数理逻辑和集合论进行逻辑推导，建立严密的数学基础（尽管在阅读本书之后，学生将意识到如何这样做）。数学家的思维方式并非像课本那样教条。数学思维是创造性的，是难以理解的，它有时候会很跳跃，而非按部就班地进行下去。只有在理解了这一切之后，才能想出全新的逻辑结构。如果不提供构造数学体系时使用的工具，那学生们就无从发展自己的数学思维了。
新书上市
《基础数学讲义：走向真正的数学》
作者：(英) 伊恩·斯 图尔特 (Ian Stewart) 、(英) 戴维·托尔
译者：姜喆
数学畅销书作家伊恩•斯图尔特 X 数学思维发展和教育家戴维·托尔
合力打造高等数学入门经典巨作
- 在数学学习的道路上走向“成熟”
- 弥合中学与大学数学学习的差距
- 一本被美国大学广泛采用的参考书
- 启发思维，有效引导，知识与方法深度结合