数学研究是怎样进行的？如何成为职业数学家？
1940年，哈代出版了《一个数学家的辩白》，谈论了数学中的美学，给众多数学“门外汉”一个机会，洞察工作中的数学家的内心。
82年后，国际著名数值分析专家、冯·诺依曼奖获得者劳埃德·尼克·特雷费森教授在《一个应用数学家的辩白》中记录了自己在数学领域的回忆和思考，展示了一位充满激情的应用数学学者的成长之路。
特雷费森的数学研究生涯可谓一帆风顺，他也自称是幸运的。回顾他的数学研究，可总结为三个关键词：计算机、外语、备忘录。一起来看看这三个关键词是怎么运行的吧。
《一个应用数学家的辩白》
作者：[美]劳埃德•尼克•特雷费森
译者：何生
01职业生涯开启：外语+计算机
在讨论那些领域之前，我想先说一下自己是如何研究数学的。
我的习惯是在哈佛大学时养成的，当时我正在加勒特 • 伯克霍夫的指导下写毕业论文《复平面上的切比雪夫逼近问题》。
伯克霍夫教授的办公室在数学图书馆后面，办公室的墙上挂着一张鳄鱼皮，他每周和我讨论半个小时，不过论文题目是我自己选的。不管怎样，在更资深人士的指导下，我几乎没费多大力气。
然而，伯克霍夫确实提了一个很好的建议，他说我应该和布朗大学的菲尔 • 戴维斯谈谈。我和他约了见面时间，便驱车前往罗得岛的普罗维登斯。
戴维斯教授既聪明又和蔼。在听了我的问题后，他从书架上取出一篇福尔克尔 • 克洛茨刚刚在《逼近论杂志》上发表的论文。论文是用德语写的。
“你不懂德语？”戴维斯问道，“你应该懂德语！”
这对我来说是一个改变人生的建议，因为我一直不想学外语，认为这是不那么严肃的人才做的事情。那年夏天，我开始学德语，从那以后，德语成为了我生活的一部分。后来我又学了法语。
21 岁对任何人来说都属于奠基期，毕业论文奠定了我职业生涯的模式。
我擅长计算机编程，自然应该探索“用复杂的切比雪夫逼近可以做什么样的计算”这样的问题。
02职业研究必备：计算机+备忘录
1977年春天，我有了方向，那就是做数值实验。不管是什么课题，我都用计算机为我指路。这对我研究算法和理论问题很管用。例如，在研究克赖斯矩阵定理或克鲁佐猜想的过程中，倘若不进行计算，我无法想象自己会一直保持在正轨上。
长期以来，我一直惊叹于大多数数学家是如何在不利用这种帮助的情况下证明定理的。（这也是他们必须非常聪明的原因。）
我在 21 岁时第一次用这种方法——用 Fortran 代码绘制了复切比雪夫逼近的误差曲线。图形结果让我获得了令人激动的发现，这些曲线几乎是圆形的。圆周的精度不只是百分之几，而是一百万分之一、一万亿分之一！
我是第一个发现它的人，因为我是第一个做这个实验的。
在苏黎世大学和斯坦福大学的一两年时间里，我完成了一个定理的证明。它建立在 1925 年的一项成果的基础上，该项成果是我在图书馆的一本书里发现的。
定理推出了一种新结构，我称之为卡拉特奥多 –费耶尔逼近，它被证明和其他正在研究的课题有关，而这些课题后来被称为AAK 理论和汉克尔范数逼近。
它还让我发现了数 9.28903…，这个数如今被称为阿尔方常数（其实是它的倒数）。你可以发现，像这样卓有成效的早期研究经验将会起到持续性的作用。
类似地，在我的博士论文《偏微分方程有限差分格式中的群速度》里也有很多定理，它们都来自于计算实验。
这些实验提醒我注意在数值离散化中出现的某些令人吃惊的群速度效应。我意识到这可以解释著名的古斯塔夫松、克赖斯和松德斯特伦的稳定性理论的物理基础。
正是在准备这篇论文的过程中，我养成了在研究一个课题时写研究备忘录的习惯。
备忘录有三四页，通常用数据来表示数值实验。我的“波”系列备忘录从“1.有限差分格式的波速”（1980 年 5 月 25 日）开始，一直写到“49. 用于口头答辩的幻灯片”（1982 年 4 月 6 日）。
40 年后的今天，我刚刚完成了Rat203，它是关于有理函数的“有理备忘”系列的最新一篇。
03整个职业生涯：研究计算机绘图含义
第 3 个例子是我之前提到过的“伪谱时期”。
它是从计算机的“点图”里衍生出来的，揭示了非正规矩阵（如非对称的特普利茨矩阵）的特征值是如何在对矩阵稍加扰动后散成云状的。
我渐渐开始发现扰动特征值不仅揭示了扰动问题，更重要的是，它们还蕴含了那些未扰动状况的信息。这就是伪谱理论的发端。
我发现在许多涉及非对称矩阵和算子的领域里，特征值并不具有通常认为的意义。这最终催生了马克 • 恩布里的 Spectra and Pseudospectra（《谱和伪谱》）一书。
有时候，我觉得我的整个职业生涯就是研究计算机绘图所揭示的现象的含义，这是一件非常直观的事情，但大多数人都不会去做。
物理学分为理论物理和实验物理两大类，大家都知道这两者都是推动物理学发展的关键。
数学的情况可能也是一样的，因为如今有许多有趣的现象只能在计算机上观察到，其中经典的例子就是著名的混沌效应，它是由洛伦茨在 1961 年的数值模拟中发现的。
另一个是孤立子现象，它是由费米、帕斯塔、乌拉姆和辛格在1953 的数值模拟中发现的一种特殊的非线性波。
总体来说，通过实验获取的数学知识比它理应获取的少，而且有时候还不被重视。
事实上，“实验数学”这个词在我看来很含糊，它表示的是那种对定理懵懂无知的人所进行的活动。所以，我把本章命名为“实验室数学”。
当人们在数学和物理中对比理论和实验时，经常会犯逻辑错误。数学不像物理，我们有证明，这很了不起。
令人惊讶的常见错误是，人们假设数学的知识来源只有证明，没有实验，但实际上，它除了证明也有实验。我们的实验室非常轻巧，我们只需要一台计算机。
你有实验的想法吗？如果你和我一样有长时间的训练，那么你就很有可能在一小时内做完实验并得到一些成果。（物理学家就没那么幸运了。）例如，研究由方程
生成的“随机斐波那契数列”的实验就是第一步。在这里，如果每个±符号都是随机的，那么当n → ∞ 时，它的增长速率是(1.13198824 … ) n。
我曾教过的康奈尔大学的学生迪瓦卡 • 维斯瓦纳特 （如今在密歇根大学），证明了这个定理并发表了论文。现在1.13198824…被命名为维斯瓦纳特常数。
你可能会认为所有的数值分析专家都有实验室数学家的本领。当然，我们中的有些人确实有这项技能，但有多少人不会这项技能就不得而知了。
很多时候，数值分析只是数学家决定施展才华的一个专业。有些人可能很少从计算中获取灵感，他们只是把它当作验证定理的工具，而没有把它作为重点。
当他们以这种心态发表论文时，你会看到 25 页的方程和定理，然后用它们构造出所研究的方法的理论特性，最后再附上几页数值实验以“验证结果”。
这些计算很可能是由某个研究生做的，而这位同学可能会因为完成了这项既必要又繁重的任务而得到感谢。
上文转自图灵新知，节选自《一个应用数学家的辩白》，【遇见数学】已获转发许可。
作者：[美]劳埃德•尼克•特雷费森
译者：何生
- 美国国家工程院|英国皇家学会双院士|冯·诺依曼奖获得者的数学思考
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本书是著名数值分析专家劳埃德•尼克•特雷费森教授的心得之作。除了回顾早期学习数学的成长过程，以及深耕数值分析领域的心路历程，本书还体现了特雷费森教授对数学本身的深刻思考、对纯数学和应用数学的真切感悟，以及对数学所面临的挑战的反思。