如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构筑这座大厦的基石。集合论的统治地位已成为现代数学的一大特点，由此可见它在数学中的重要性。
其创始人康托尔也以其集合论的成就，被誉为对 20 世纪数学发展影响最深的数学家之一。
康托尔把无穷集合这一词汇引入数学，放弃“整体大于部分”的传统观念，提出并发展了超限数理论，从而发现了一个广大而又未被人知的无穷王国。
他对无穷大的新见解，出人意料地打开了许多新的大门，开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题。
应该如何评价康托尔的一系列成果呢？他关于无穷集合的新观念，是打开了一条通往天堂的路呢，还是敲开了地狱之门？
《数学悖论与三次数学危机》
作者：韩雪涛
01
数学新星的腾飞与陨落
康托尔于 1845 年 3 月 3 日生于圣彼得堡，但一生中大部分时间是在德国度过的。15 岁以前他非凡的数学才能就已得到显现，由于对数学研究有一种着迷的兴趣，他决心成为数学家。
但他讲求实际的父亲却非常希望他学工程学，因为工程师是更有前途谋生的职业。1860 年，在寄给康托尔的信中他写道：“盼望你的正是成为一位特奥多尔·金费尔，然后，如果上帝愿意，也许成为工程学天空的一颗闪光的星星。”
可怜天下父母心！他们总以自己的意愿为孩子设计未来，却往往不去考虑自己的孩子适合干什么。什么时候父母们才会了解让天生的赛马去拉车的专横愚蠢呢？
值得庆幸的是，康托尔的父亲后来看到自己强加于儿子的意愿所造成的危害，他让步了。
17 岁的康托尔以优异的成绩完成中学学业时得到父亲的允许，上大学学习数学。
激动的康托尔给父亲回信：“你自己也能体会到你的信使我多么高兴。这封信确定了我的未来……现在我很幸福，因为我看到如果我按照自己的感情选择，不会使你不高兴。我希望你能活到在我身上找到乐趣，亲爱的父亲；从此以后我的灵魂，我整个人，都为我的天职活着；一个人渴望做什么，凡是他的内心强制他去做的，他就会成功！”后来事情的发展表明，数学应当感激这位父亲的明智做法。
1862 年，康托尔进入苏黎世大学，1863 年转入柏林大学。在此，他曾师从魏尔斯特拉斯与克罗内克。很遗憾，后来克罗内克与康托尔因数学观点的差异而反目成仇。
1874 年，29 岁的康托尔发表了关于集合论的第一篇革命性论文。这篇论文标志着数学天空中升起了一颗有着非凡独创力的数学新星。
随后的十几年是他最富创造力的一段时间，他独自一人把集合论推向深入。在他最伟大、最有创见的创造时期，他本来完全可以获得期待已久的德国最高荣誉——取得柏林大学教授职位，然而他的这一抱负却一直没有实现。
他活跃的专业生涯是在哈雷大学度过的，这是一所独特的、二流的、薪金微薄的学院。原因在于，他一系列的伟大成果不但未能赢得赞赏，反而招致了猛烈的攻击与反对。
他的主要论敌正是柏林大学的克罗内克——他以前的老师。克罗内克把康托尔的工作看作一类危险的数学疯狂。他认为数学在康托尔的领导下正在走向疯人院，便热烈地致力于他所认为的数学真理，用他能够抓到的一切武器，猛烈地、恶毒地攻击“正确的无穷理论”和它的过于敏感的作者。
如果说克罗内克在科学论战上是一个最有能力的斗士，那么康托尔就是一个最无能的战士。于是悲剧的结局不是集合论进了疯人院，而是康托尔进了疯人院。
02
向无穷的冒险迈进
在学习集合的内容时，我们通常是按照从集合概念开始，随后引入属于、包含的定义，以及集合的并、交等运算这样的顺序进行的。但康托尔创建集合论的历程却与此完全不同。
康托尔是在研究“函数的三角级数表达式的唯一性问题”的过程中，先是涉及无穷点集，随后一步步地发展出一般集合概念，并把集合论发展成一门独立学科的。
这一段历史再次告诉我们，抽象的数学概念往往来自于对具体数学问题的研究。
在上面，我们提到康托尔的理论在当时受到了猛烈攻击，一般读者会对此感到不解。因为我们所学习的有关集合的知识显得非常简单与自然。事实上，那只是集合论中最基本的知识。而“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”，因而只有当我们了解了康托尔在无穷集合的研究中究竟做了些什么后才会真正明白他工作的价值所在，也会明了众多反对之声的由来。
为了比较两个集合数目的大小，康托尔下了一个定义：“如果能够根据某一法则，使集合 M 与集合 N 中的元素建立一一对应的关系……那么，集合 M 与集合 N 等势或者说具有相同的基数。”
基数，是对有限集合元素个数概念的一个推广。康托尔这个定义的重要性表现在它并未限定集合是有限集还是无限集。
1873 年 11 月 29 日，康托尔在给戴德金的一封信中提出了一个问题：自然数集与实数集之间能否一一对应起来，即自然数与实数个数是否相等？
实际上，他已经把这个问题考虑了很久，特别是考虑连续性的本质时，他总要碰到这个根本的问题。
他在信中说：“取所有自然数的集合，记为 N，然后考虑所有实数的集合，记为 R。简单说来，问题就是两者是否能够对应起来，使得一个集合中的每一个体只对应另一个集合中一个唯一的个体？乍一看，我们可以说答案是否定的，这种对应不可能，因为前者由离散的部分组成，而后者则构成一个连续统，但是从这种说法里我们什么也得不到。虽然我非常倾向于认为两者不能有这样的一一对应关系，但却找不出理由，我对这事极为关注，也许这理由非常简单。”
1873 年 12 月 7 日，康托尔再次写信给戴德金，说他已经成功证明了自己想法的正确性，即实数集不能同自然数集里的元素一一对应。这一天可以看作集合论的诞生日。
03
所有人都不看好的“奇谈怪论”
康托尔对无穷集的研究，在发表之初受到了激烈地批驳。在一段时间内，戴德金也许是当时认真而同情地了解康托尔颠覆性学说的唯一的第一流数学家。
因而可以说，康托尔差不多是在单枪匹马孤军作战。实际上不难想见，康托尔那些至今还让我们感到有些异想天开的结论，在当时会如何震动数学家们的心灵。特别是，他所提出的一系列无穷基数，更令许多同代人对其“奇谈怪论”摇头叹息。
因而有人嘲讽他的超限数是“雾中之雾”。即便一些善意的数学家对他所思考并得出的结论也深感困惑，惊异地摇摇头，或干脆表示怀疑。
极其著名的法国数学家庞加莱（1854—1912）就不愿接受康托尔的无穷集合论。一则在数学家之间流传很广的故事提到庞加莱的一种说法：总有一天，康托尔的集合论“会被看作一种被征服了的疾病”。
因而，毫不夸张地讲，康托尔关于无穷的深奥理论，在当时引起了反对派不绝于耳的喧嚣。他的数学，在他的祖国德国和其他一些地方，都有许多保守分子大叫大喊地反对。在这些人看来，接受实无限、比较无穷的大小，简直就像是这位有点儿神秘兮兮的年青学者搞的一场浪漫而荒唐的恶作剧。
对康托尔最激烈的反对与攻击来自他的老师克罗内克。
克罗内克对数学哲学有强烈信念，体现他数学观的一句名言是：“上帝创造了整数，其他一切都是人为的。”
他的一位学生转述过他的数学哲学观：“他（克罗内克）相信人们在这些数学分支中能够也必须以这种方式限定一个定义，即人们可用有限步验证它是否适用于任意已知量。同样，一个量的存在性证明只有当它包含一种方法，通过它可以实际地发现要证明存在的量时，才可被认为是完全严格的。”
克罗内克特别主张对存在的数学证明应当是构造性的。也就是说，要想让他接受一个对满足某种条件的、实际存在着的数学对象的证明，就必须要提供一种方法来明确地呈现出这个对象。他在代数数论等方面做出的大部分工作体现了他的这一构造性数学观。我们后面会看到，克劳内克的主张正是直觉主义学派所坚持的信念。因此，克罗内克被认为是直觉主义学派的先驱。
克罗内克基于自己的哲学观，反对魏尔斯特拉斯的数学风格。因为后者既使用实无限，又接受非构造性的存在定理。他把魏尔斯特拉斯等所做的一些努力斥为毫无价值。两人曾是极好的朋友，但数学观点的差别使两人的关系变得很糟。后来，魏尔斯特拉斯宣称与克罗内克完全断交。
在克罗内克看来，康托尔的超限数理论更是无法接受的，它与自己的信条完全对立。克罗内克完全否认并攻击康托尔的工作，称康托尔“走进了超限数的地狱”，康托尔的“思想是近十年来最具兽性的见解”。克罗内克一直试图阻止康托尔的影响，也正是在他的竭力阻挠下，康托尔无法实现到柏林大学任教的念想。
作者：韩雪涛
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文章转自图灵新知