问题的缺失往往预示着一个学科行将消亡，或者，其独立发展即将停止。——希尔伯特
数学会不会像其他学科一样，分裂成完全独立的分支，而且各分支的代表们几乎不能相互理解，于是彼此之间渐行渐远？
于是希尔伯特横跨所有数学分支，认真收集了一系列有趣且具有开放性的数学问题，向20世纪的数学界发起了二十三个问题的挑战。
百年过去，目前仍有问题悬而未决，一起来看看什么是让数学学科发展走向永恒的好问题吧！
《唤醒心中的数学家》
作者：[美] 苏珊·达戈斯蒂诺
译者：何婧誉
01希尔伯特的23个问题
1900 年，国际数学家大会在法国巴黎举行。
在会上，德国数学家戴维·希尔伯特向大会提出了二十三个问题。
通过此举，他想要鼓励当时的数学界继续团结努力。用他的话来说，他想要数学免于“消亡”，尽管当时数学并没有濒临灭绝的危险。
虽然他的说法有些危言耸听，但他横跨所有数学分支，认真收集了一系列有趣且具有开放性的数学问题，这可是数学史上的破天荒事件。
在演讲中，他向当时的数学界发起了要在 20 世纪解决所有二十三个问题的挑战：我们之中有谁不愿意揭开隐藏着未来的面纱，一瞥科学下一步的发展，甚至未来几个世纪科学进步的奥妙呢？……只要科学的某一分支仍有许多悬而未决的问题，那它就会继续活跃下去。问题的缺失往往预示着一个学科行将消亡，或者，其独立发展即将停止。
希尔伯特的第一个问题与连续统假设有关——这是一个关于包含直线上所有点的集合大小的猜想。
当时，康托尔已经证明了，包含所有自然数 A 的无穷集比包含所有实数 B 的无穷集要小。
连续统假设声明：不存在大小介于自然数集合和实数集合这两个无穷集之间的其他无穷集。换句话说，这个假设的意思是，一个包含线上的点的无穷集 A，要么和自然数无穷集大小相同，要么和包含了所有点的无穷集大小相同，没有其他可能性。
奥地利裔美国数学家、逻辑学家库尔特·哥德尔徒劳无功地花了二十五年，想要证明或证否连续统假设，但最后是美国数学家保罗·科恩取得了成功。
哥德尔十分有风度地给科恩写了一封信：“你的证明是最好的，就像在读一部精彩的戏剧。”1963 年，哥德尔以他和科恩的名义在《美国国家科学院院刊》上发表了科恩的证明。
但是，最后的结果十分出人意料。事实上，科恩证明的是连续统假设本身不可证。
这听起来像是故弄玄虚，但实则不然。相反，科恩成功地证明了连续统假设不可能被解决，所以哥德尔无论如何也证不出来这个问题就是情理之中了。
02黎曼猜想被证明了吗？
希尔伯特的二十三个问题之中的有些问题被快速地解决了，比如第三个问题：两个等底等高的四面体是否一定体积相等。
马克斯·德恩在 1902 年就得出了否定的结论，如下图所示。
这两个四面体是由它们顶点 B 的三维坐标来确定的，即，三维空间内的一个点可以用 (x, y, z) 来表示，其中 x 表示在 x 轴上向右移动的距离，y 表示在 y 轴上向书页外部移动的距离，z 表示在 z 轴上向上移动的距离。这些顶点在坐标系上一旦被标出，用线连接它们就可以构造出四面体。
注意：这里的两个四面体等底等高，但是，由于它们最高点的位置不同，因此形状也就不同。
希尔伯特的第八个问题是黎曼猜想——一个关于质数分布的猜想。
在希尔伯特提出问题之后的整个 20 世纪中，没有人能解决这个问题。于是，美国克雷数学研究所——一个致力于促进和传播数学知识的机构，为 21 世纪重新发布了七个问题。
这七个问题被统称为“千禧年大奖难题”，而解答出任何一题的第一个人将获得一百万美元作为奖励。由于黎曼猜想当时仍然悬而未决，因此也跻身七题之一。
目前为止，尽管黎曼猜想拥有众多爱好者，许多人都在为之努力，但它仍然未被解决。
希尔伯特本人对此题也相当有兴趣，他曾说：“如果我能在沉睡 1000 年之后醒来，我的第一个问题会是：黎曼猜想被证明了吗？”
03谁可以加入数学界？
希尔伯特的第十八个问题的一部分是开普勒的球填充猜想A——往容器里装填球体（比如橙子），哪种方法可以使堆积密度最高？
1998 年，在 20 世纪即将结束之前，托马斯·黑尔斯成功证明了金字塔形状的堆叠方式密度最高。他的证明已经被认可，但由于这个证明是计算机生成的，很多纯数学家对此并不满意。
希尔伯特在提出他的二十三个问题时说：“一个数学问题应该具有难度，足以吸引我们，但不能完全无从下手，以免它嘲笑我们的努力。”
希尔伯特在数学领域涉猎极广，因此，他明白清晰陈述整个数学界的目标的价值，以及用这些问题作为衡量标准对于团结数学界的正面影响。
希尔伯特的问题鼓励了数学家和数学迷们，其影响正如足球对全世界体育爱好者的影响。希尔伯特还说：“每个数学问题都能被解决，这种信仰对于数学工作者是一个强大的动力。我们从内心听到那永恒的声音：‘问题就在那里，去找寻答案吧。’”
他的目标是要提醒数学家们：数学是很多个人和团体共同的追求。他希望不同数学分支的数学家们互相交流，不管他们研究的是几何、数论、代数、分析，还是其他领域。
“现在的问题在于，数学会不会像其他学科一样，分裂成完全独立的分支，而且各分支的代表们几乎不能相互理解，于是彼此之间渐行渐远。”希尔伯特说。
同时，他也强调了与数学界之外的人们交流数学的重要性。希尔伯特说：“除非一个数学理论已经清晰到你可以给街上随便一个路人解释清楚，否则这个理论就不算完整。”
在当时，在街上随便遇到的人不一定是理论数学的交流对象。希尔伯特的这句话，很可能为后来的《量子杂志》《科学美国人》等杂志，以及各色科普图书（比如你手中的这一本）埋下了种子。
最后，他阐明了谁可以加入数学界。
“为了完成这一远大的目标，希望新世纪能出现才华横溢的数学大师，以及众多热诚的学徒。我们中的大部分人不是才华横溢的大师。事实上，我们是‘热诚的学徒’的数学团体中的一分子。我们也许不能与证明或证否黎曼猜想的人比肩，但是，我们享受自己生活的每一天，诚挚希望你会加入我们。”
上文转自图灵新知，节选自《数学的雨伞下》，【遇见数学】已获转发授权。
《唤醒心中的数学家：帮你爱上数学的生活手账》
作者：[美] 苏珊·达戈斯蒂诺（Susan D'Agostino）
译者：何婧誉
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