综合与实践压轴题
2024年江西省中考数学第23题
初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识与思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力——2022版新课标第77页。
江西省采用全省统一中考比较早，并且坚持将综合与实践作为必考压轴题，2024年江西省中考数学第23题，并没有以现实问题作为背景，而是选择了数学学科本身作为情境，尽管从这个角度去看题目中所说的综合与实践有点“假”，但对学生解决问题具备的基本素养要求，却是一致的；当然，如果强加现实背景，本题表面上符合课标要求，但实际上却显得生硬，这也是综合与实践类试题命制过程中必须面对的，究竟要如何命题，如何才能命好题，如何才能命出一道优秀的综合与实践数学题，值得更进一步思考。
题目
解析：
01
(1)当m=1时，CE=CD，CA=CB，则可得△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，很容易证明△CAD≌△CBE，如下图：
所以可得AD=BE，∠A=∠CBE=45°，而∠ABC=45°，于是∠EBD=45°+45°=90°，即AD⊥BE；
02
(2)基于前一小题的基本方法，只不过原来的全等三角形变成了相似三角形，如下图：
由∠ACB=∠DCE=90°可得∠ACD=∠BCE，再加上CE:CD=CB:CA=m，由两边对应成比例且夹角相等可证△BCE∽△ACD，于是BE:AD=m；
我们同样可得∠A=∠CBE，且∠A+∠ABC=90°，于是∠CBE+∠ABC=90°，即BE⊥AD；
03
(3)由第1小题的条件，我们已经知道了△ABC和△DEC是等腰直角三角形，再加上点F与点C关于DE对称，因此很容易得到△FDE也是等腰直角三角形，从而进一步得到正方形CDFE，基于以上结论，我们再来看第一个小问题：
①将四边形CDFE的面积y用含x的式子表示出来，正方形面积的求法有两种，边长的平方或对角线平方的一半；
由于在第1小题的结论中，有BE⊥AD，于是得到Rt△DBE，由AC=6可求得AB=6√2，而AD=x，于是BE=x，则BD=6√2-x，利用勾股定理列方程：
DE²=BD²+BE²=(6√2-x)²+x²=2x²-12√2x+72
所以y=1/2DE²=x²-6√2x+36
配方后得y=(x-3√2)²+18，即当x=3√2时，y最小值为18；
②方法一：
对于正方形CDFE，DF是其对角线之一，再结合∠DBE=∠DFE=90°，发现D、F、B、E四点共圆，如下图：
圆心恰好在DE中点，于是我们连接CF，得点O，它是正方形的中心，所以事实上圆O上共五个点C、D、F、B、E，现在我们可以证明∠CBF=90°了；
Rt△CBF中，CF²=40，因此正方形CDFE面积y=20，利用①中的函数表达式，可求出x=4√2或2√2；
方法二：
以点D为旋转中心，将△DBF逆时针旋转至△DGC处，如下图：
其实本法的核心依然是证明∠CBF=90°，利用△DBF≌△DCG，可得∠DBF=∠G=45°，于是∠CBF=90°，接下来的计算与方法一完全相同.
解题反思
从第1小题的基本模型，到第2小题的类比迁移，再到第3小题的拓展应用，探究主线是通知图形的变化，发现其中的特殊位置或特殊数值。
前两个小题已经很明确的告诉我们，两个共直角顶点的相似直角三角形，其顶点C、D、B、E共圆，且圆心在DE中点处；第3小题对称之后得到正方形CDFE，它也是某个圆的内接正方形，这个圆恰好是前面四点所在的圆，如下图：
有了这个圆，条件中的AC=6，BF=2立刻就有了用武之地，因此无论哪种方法，将这两条线段关联起来是核心，无论是连接CF，证明Rt△CBF也好，或者将BF通过变换与AC构造新的直角三角形也罢，原理是一样的。
在引导学生观察图形的时候，也可以观察到共弦圆周角的情形，如下图：
这几个45°角均为弦CD所对，当然也可找到其它类似的圆周角，只是在证明时，我们选择方法一中的直角。
在解完本题之后，我也想将题目中的三角形用三角尺代替，以更符合“综合与实践”的形式，但随即放弃了，三角尺和三角形并无本质区别，反而浪费了阅读量，如果背景与题目中的数学没啥关联，那便最好不关联，毕竟数学更追求简洁。