几何中的代数关联
2024年上海中考数学第25题
对于几何压轴题中常见的图形研究，通常情况下会从位置关系和数量关系两方面入手，图形间存在特定位置关系时，一定伴随相应的数量关系，反过来，当图形间存在数量关系时，也一定存在某类位置关系；
对于解题，需要分析图形特征，寻找图形间的这两种关系。其中学生感觉较为困难的，是寻找它们之间的数量关系，即代数关联。
在三角形中，三边间的数量关系最初是由线段公理推导出来的结论“三角形两边之和大于第三边”，然而这是个不等关系，等量关系则在勾股定理中出现，而且还是特殊直角三角形，当然，一般三角形也存在类似的数量关系，高中我们会进一步接触。在两个三角形之间，有全等、有相似，可列比例式，构造更多边长之间的数量关系，再与勾股定理结合起来，对一般学生而言，难度一下子就上去了。
题目
解析：
01
(1)条件中的平行、比例关系，显然需要构造比例线段，可以用平行线分线段成比例，也可以构造相似三角形；
0 1
方法一：
连接DE并延长，交CB延长线于点G，如下图：
由AD∥BC，我们借此构造出了一对相似三角形，△ADE∽△GBE，再由AE=1/3AB求得它们的相似比为1:2，则DE=1/2GE，所以DE=1/3DG，再加上DF=1/3CD，公共角，可得△DEF∽△DGC，于是能够证明EF∥BC；
0 2
方法二：
连接AF并延长，交BC延长线于点G，如下图：
和方法一类似，只不过先由△ADF∽△GCF，再到△AEF∽△ABG；
0 3
方法三：
过点A作AH∥CD，在AH上取点G，使AG=1/3AH，连接EG、FG，如下图：
由AE=1/3AB，AG=1/3AH，加上公共角，可证△AEG∽△ABH，可得到EG∥BH，因为AH∥CD，AD∥BC，可得平行四边形AHCD，所以AH=CD，再加上DC=1/3CD，可证明AG=DF，于是得平行四边形ADFG，所以AD∥FG，可得FG∥BC，前面已证EG∥BH，故E、G、F三点共线，最后得到EF∥BC；
0 4
方法四：
过点D作DH∥AB，在DH上取点G，使DG=1/3DH，连接EG、FG，类似方法三，不再重复；
0 5
方法五：
过点E作GH∥CD，分别交DA延长线、BC于点G、H，如下图：
易证△AEG∽△BEH，得EG=1/3GH，由GH∥CD，AD∥BC得平行四边形GHCD，于是GH=CD，而DF=1/3CD，所以EG=DF，得平行四边形GEFD，所以EF∥AD，最后EF∥BC；
0 6
方法六：
延长BA、CD交于点G，如下图：
易证△GAD∽△GBC，得GA:GB=GD:GC，即GA:3AE=GD:3DF，所以GA:AE=GD:DF，加上公共角得△GAD∽△GEF，可证明AD∥EF，最后得EF∥BC；
02
(2)当AD=AE=1时；
①连接DE之后，得等腰△ADE，它的外接圆圆心是三边垂直平分线交点，于是过点A作DE的垂线AF，由等腰三角形三线合一，可知AF即DE的垂直平分线；再作AE边上的垂直平分线GO，与AF延长线交于点O，则△ADE外接圆的圆心就是点O；
连接BO，由题目条件可知BO是∠ABC的角平分线，如下图：
在等腰△ADE中，∠AED=1/2(180°-∠BAD)，而由AD∥BC可得∠BAD+∠ABC=180°，再加上BO是角平分线，于是∠ABO=1/2(180°-∠BAD)，所以∠AED=∠ABO，我们证明了DE∥BO，即∠AOB=∠AFE=90°；
由DE∥BO可得AF:AO=AE:AB=1:3，不妨设AF=x，则AO=3x，同时AB=3；
易证Rt△AOG∽Rt△ABO，得AO:AB=AG:AO，于是3x:3=1/2:3x，解得x=√6/6，即AO=√6/2；
②由条件CD²=DM·DN，再加公共角可证△DCN∽△DMC，于是∠DCN=∠DMC，再由∠DMC=∠CEM，于是这三个角都相等即∠DCN=∠DMC=∠CEM，如下图：
图中AE=AD=1，AB=3，可求出BE=2；显然EM∥CD，不妨延长BA、CD，相交于点F，我们可构造出两对“A”型相似，如下图：
由AD∥BC得△FAD∽△FBC，且BC=4，可求出相似比为1:4，再求出AF=1，顺便得到CD=3DF=3(CF-CD)，化简得CF=4/3·CD；从而得到点E是BF中点，再由EM∥CD得EM是△BCF中位线(或证△BME∽△BCF)，得BM=CM=2，顺便得到CF=2EM，这样就得到了EM与CD的数量关系，EM:CD=2:3；
所以EN:CN=2:3，可得CN=3/5·CE，现在我们回到前面推导出的△DCN∽△DMC，得CM²=CN·CE，即4=3/5·CE·CE，解得CE=2√15/3；
01
方法一：
Valentine's Day
此时再过点E向BC作垂线EG，如下图：
设GM=a，则BG=2-a，CG=2+a，分别在Rt△BEG和Rt△CEG中利用勾股定理得BE²-BG²=CE²-CG²，列出方程：4-(2-a)²=20/3-(2+a)²，解得a=1/3；
先求出BG=5/3，再由勾股定理求出EG²=11/9，在Rt△MEG中求出EM=2√3/3，最后根据EM:CD=2:3求出CD=√3；
02
方法二：
Valentine's Day
连接DE，如下图：
(本解法由远安外国语学校焦雷老师提供)
设DF=x，则CD=3x，由AE=AF=AD=1，可证∠EDF=90°，仍然在Rt△EDF和Rt△EDC中利用勾股定理得EF²-DF²=CE²-CD²，列出方程：4-x²=20/3-9x²，解得x=√3/3，最后求出CD=3x=√3.
解题反思
对于教师来讲，这道题在讲的时候如何精准作图？以GeoGebra为例，首先作一个等腰△BCF，并且使得BC=4，CF=4√3/3，再分别在BF和CF上取其四等分点A和D，BF边上中点E，BC上中点M，再连接CE，EM，DM，交点为N，如下图：
通过测量发现满足题目条件，顺便连接DE之后测量检查∠EDF=90°；
对于等腰△BCF来讲，它也算特殊三角形，腰底之比为√3:1，在这种腰底比值下，∠DCE=∠CEM=∠DMC，至此我们才完成了整道题的代数关联，构成本题图形的基本条件是等腰△BCF，其腰:底=√3:1，AD这条线段截其边长和底的1/4，EM是中位线；
挖出这些条件之后，剩下的就是设置它们间的关联，隐藏若干条件，看剩下的能否推导出来。
若要进行改编，掌握以上代数关联之后，也会相对容易，例如不给出线段的具体数值，只给出等量关系，最后也不求具体数值，而是求比值，当然难度也会提升。
2024年上海中考数学压轴题，对于学生的构图能力要求较高，给出基本图形是梯形，需要通过演算发现它是一个缺了角的等腰三角形，只要补全这块拼图，整道题的逻辑就通顺了。至于其间的相似三角形、直角三角形等，都是这些代数关联的点缀。