数学是一门需要不断通过解题来获得知识的课，因此学会“怎样解题”就成了数学这门课的关键所在。
那些有趣的并且值得我们一做的数学问题的答案是不会轻而易举就能找到的，必须努力寻找数学战术与解题战略之间的联系。尤其对初学者来说，战略是非常重要的。面对一个自己从未见过、看起来很难的问题，初学者通常会不知道从哪儿着手。心理战略可以帮助你建立一个良好的思维框架，其他战略可以帮助你开始研究。一旦开始解决问题，你就需要一个整体的战略来帮助你继续向前推进，直至得到解决方案。
我们首先从心理战略开始，因为它们几乎适用于所有问题。尽管这些战略都很简单常见，但是并不意味着它们很容易掌握。不过一旦开始思考它们，你就会发现自己研究数学问题的能力正在迅速提升。我们并不是保证解决问题能力上的提高，这需要时间，但是首先你要理解什么才是真正的研究。
善于解决问题的人总是显得鹤立鸡群，好像他们的大脑和别人的不一样似的。他们更坚忍，对问题的敏感程度也比常人高，思维也更活跃。具备这些优秀品质的人并不很多，但从现在开始拥有这些品质并不是件难事。
著名数学家和解决问题方面的专家乔治·波利亚曾讲过一个名为“鼠与人”的故事，我们就从这个小故事中总结将要说明的思想。
女东家慌慌张张地跑到后院，把捕鼠器放在地上（这是一个老式的捕鼠器，即一个有一扇活门的笼子），并且催她的女儿赶快把猫弄来。捕鼠器里的老鼠看来像是知道要发生什么啦，疯狂地在笼子里蹦着，使劲地朝栅栏上撞着，一会儿朝这边，一会儿朝那边，在最后一刹那它终于成功地挤了出去，消失在邻居的地里。捕鼠器某一边的栅栏中间肯定有一个缝隙比较宽……我默默地为老鼠庆幸。它解决了一个很大的问题，给出了一个重要的例子。
这也就是解题的途径。我们必须一再地去试，直到最后我们看出各种缝隙之间的细微差别为止。我们必须不断更换我们的试验，使得我们能探测到问题的各个方面。因为说实话，我们事先并不知道唯一能让我们挤过去的那道缝隙到底在哪一边。
鼠类和人类所用的基本方法是一样的：一再地去试，多次变化方法，使我们不致错过那少许的宝贵的可能性。当然啰，人解决问题通常总比老鼠要强，人不需要用肉体去撞障碍物，他是用智力去撞，人能够比老鼠更多地变化他的方法而且也能从挫折中学到更多的东西。
当然，这则故事的寓意就是做善于解决问题的人，需要做到永不放弃。不放弃不是要你在同一堵墙（或笼子）上一次又一次地碰壁，而是要尝试不同的途径。当然这样说过于简单化，如果人们对所有的问题都永不放弃，这个世界将会变成奇怪而毫无生趣的地方。有时我们就是解决不了一个问题，所以也要学会放弃，至少是暂时放弃。所有解决问题的高手都有承认失败的时候，解决问题的艺术中的一个重要环节就是知道何时该放弃。
实际上，很多初学者是因为缺乏坚忍的意志、自信和专心而过早地放弃努力。面对问题时，如果首先就认为自己不能解决，则在解题的过程中碰到阻碍就会很快放弃，这样很难得到什么成果。初学者要取得显著的进步，在学习各种解决问题所需的数学技巧之前首先要做到坚韧不拔。
要想适度地提高意志上的坚忍性并不难做到。作为初学者，你很可能缺乏信心，也很难做到长时间把精力集中在问题上，但信心和专注力的确可以同时提高。首先我们需要通过解决一些容易的问题建立信心，这里所说的容易是指通过努力一定可以解决的问题。通过解决问题而不是只做练习题，大脑会得到锻炼，渐渐地你就会从潜意识里习惯自己的成功，信心也会随之增强。
随着你的信心的增强，如果逐渐增加题目的难度，你所碰到的阻碍也将增多。从容易的问题入手，再逐渐增加难度，直至你所能做到的极限。只要觉得所面对的问题足够有趣，就不会在意花多少时间去思考。起初你也许思考 15 分钟就开始感到不耐烦，通过这样的训练，最终你能做到连续几个小时独立思考同一个问题，甚至几天乃至几个星期在头脑中反复考虑着某个问题，而将其他一切都置之脑后。
这就是我对你最初的要求，这里有个难点：锻炼你意志上的坚忍性是需要时间的，而做到长期坚韧不拔并持之以恒则是一生的任务，但还有什么比经常思考具有挑战性的问题更有乐趣呢？
下面有一个简单但非常有趣的问题，它经常被当作软件从业人员的面试题，我在此引用是为了说明面对问题时信心是非常重要的。
请看图，你能否将图中上方的方块与下方对应的方块用不相交的线连起来，且要求连线只能在图内。
解答 如何连接？是否存在符合题目要求的连接路径？软件公司的人事部门问这个问题时非常狡猾，它们通过这题来观察面试的人多长时间会放弃。看上去按要求连接方块是不可能，但另一面，要有信心做到：
看上去不可能解决的问题并不意味着它没法解决，不要匆匆看完题后就承认失败。首先要做的就是乐观地假设这个问题是可以解决的，在失败几次之后你才能考虑是否无解。如果不这样做，也不必马上承认失败，将这题暂时放下接着看下一题。
现在我们再回头看看这个问题，首先让我们开放自己的思维，撇开所有的规则和限制条件。这种异想天开的思维很有趣，对解决问题也很有帮助。比如对于这一题，解题最大的困难在于图中上方标有 A 和 C 的小方块放“错”了位置。所以我们为什么不把它们重新放置从而使问题变得容易解决呢？请看图。
在这里我们使用了一条非常重要的化难为易的战略：
当然，我们还没有解决原来的问题，真的没有吗？我们将图中的小方块一个一个地还原到它原来的位置。我们先移动 A 方块，再移动C 方块，如图所示，突然发现问题已经解决了！
这个问题说明了一个道理，大部分人面对这一问题时马上就宣称不存在按要求连接方块的线路，而解题高手不会这样想。记住：不要给自己时间上的压力。当你解决了问题或发现它无解的时候，你可能会有种从问题中“解脱”出来的快感。但花费一定的时间去理解这个问题会让人感觉更好，不要匆忙就宣称不可能，这样做是欺骗自己。
我们主要通过了两个战略解决这一问题。首先，我们使用了培养异想天开和乐观心态的心理战略。其次，我们使用了化难为易逐步解决问题的战略。很幸运，我们发现化简后问题的解经过简单的变形就可以得出原问题的解，为什么会这样？这从数学上讲是很简单的：该问题是一个“拓扑”问题，将某一个图形转化为一个“拓扑等价”问题的技巧非常有用。但在我们看来，这不是战略，只能算是解题的技术工具。
作者：[美] 保罗·蔡茨
译者：李胜宏, 黄志斌
从解题者的角度分别讲述了代数学、组合数学、数论、几何和微积分
总结解决问题的方法论，进而通过实例阐述了具体的解题战术
将数学的统一性贯穿始终，将理论方法与经典例题相结合，以战略、战术及工具为主线，把解题提高到了艺术高度
文章来源：图灵新知