人们追寻确定性，但是确定性并不存在。
——理查德·费曼
犹如晴天霹雳，与所有人的期待相反，在 2016 年 11 月 8 日，候选人唐纳德·特朗普被选为美利坚合众国总统。这一结果出人意料，因为所有民意调查都预言了特朗普会落败。第二天，我的同事们纷纷揶揄我：这次贝叶斯模型失效了。比如说，内特·西尔弗及其FiveThirtyEight团队认为，特朗普竞选成功的机会只有28.6%，而希拉里·克林顿成功的机会却是压倒性的 71.4%。
贝叶斯主义失败了。
但也有可能并非如此。我打赌，许多看到这些数字的人会将它们与选举的票数结果，也就是每位候选人收到的选票所占的百分比混淆起来。但FiveThirtyEight的数字衡量的并不是这个，而是有关未来美国总统会是谁的贝叶斯置信度。
我甚至要主张FiveThirtyEight的预测并不代表贝叶斯方法失效，反而代表着它的胜利。即使众多专家都已经预计希拉里·克林顿会被选为总统，但对FiveThirtyEight结果的正确解释应该是呼吁人们持有更大程度的谨慎。28.6% 的概率不足以被忽略，如果某个事件以这样的概率发生，那么一般来说这也算不得惊人。
此外，纯粹贝叶斯主义者从来不会尝试单独判断某个模型的有效性——这只是一次又一次地强调“所有模型都是错的”。纯粹贝叶斯主义者会不断衡量某个模型相对于其他模型的有效性。然而在唐纳德·特朗普竞选成功这个例子中，众多模型都曾高声、强势地宣言了他不可避免会失败。与这些拙劣的竞争者相比，无论是在 2016 年的美国总统选举中还是在此前的总统选举中，FiveThirtyEight的贝叶斯模型显然表现更好。
你现在可能会说贝叶斯主义者就像从来事不关己的先知，或是江湖骗子，既说天会下雨，又说天会放晴。人们有时也说，科学不会做出实验无法否定的近似预测。这其实是对科学史的误解。理查德·费曼曾经就这样说过：“人们追寻确定性，但是确定性并不存在。”还有一个特别的领域，其中人们对概率的核心地位达成了共识，那就是量子力学。
人们通常用薛定谔的猫来说明量子力学的不确定性。在这个思想实验中，一只猫被关在装有放射性原子的箱子里，其中还有一个装置，当放射性原子衰变时就会放出毒气。量子力学预言，只要箱子保持封闭，这只猫就会处于一种奇怪的量子叠加态，成了一只既死又活的猫——在数学上，这与一只要么存活、要么死亡的猫完全不同。
但我们先把量子力学的奇怪之处放到一边，把注意力集中到另一个没那么奇怪的方面。当我们打开箱子的时候，猫有一定的概率还活着，也有一定的概率已经死了。它变成了要么存活、要么死亡的状态。但更重要的是，我们不可能预见猫在被观察之后的量子状态，它似乎在根本上就是随机的。
物理学家埃尔温·薛定谔痛恨这样的结论。“我不喜欢这个结论，而我很遗憾自己与此相关。”他这样写道。他并不是唯一一个这样想的人。爱因斯坦补充道：“上帝不掷骰子。”而尼尔斯·玻尔对此的回答则是：“爱因斯坦，不要指点上帝应该怎么做。”
1935 年，爱因斯坦、波多尔斯基和罗森发表了一篇令人目瞪口呆的文章，其中他们证明了量子力学不可能是一个局域性的理论。换句话说，他们证明了量子力学意味着两个相距遥远的粒子可以瞬时互相影响，爱因斯坦给这种现象起了“幽灵般的超距作用”这个外号。爱因斯坦否认这种荒谬的现象存在，因为它似乎违反了狭义相对论的前提假设，即光速是宇宙中最大的速度。由此，他推断量子力学仍不完整，尤其是，概率的使用应该纯粹是我们的无知造成的幻象。
然而在 1982 年，阿兰·爱斯派克特及其合作者利用实验证明了这种“幽灵般的超距作用”确实存在。这让斯蒂芬·霍金开了个玩笑：“上帝不仅掷骰子，而且有时候还把骰子掷到我们找不到的地方。”
目前，大部分量子物理学家赞同所谓的哥本哈根诠释，这一名称致敬的是丹麦物理学家尼尔斯·玻尔。根据这种诠释，在箱子被打开的瞬间，猫的量子态是概率性的。但这并非只停留在认识论的层面上。这种诠释指出，猫的量子态不可预测的特性并非只是我们认识上的缺陷，它还是宇宙法则中被编码好的基础机制。
然而，人们对于这个诠释仍没有达成科学共识。除此之外，还存在多种替代解释。其中之一就是休·埃弗里特的多世界诠释。但是，埃弗利特提出的这个诠释被尼尔斯·玻尔否定了。心灰意冷的埃弗利特离开了物理学领域，将拉格朗日乘数法的应用推广到了优化问题中，然后成了百万富翁。这可真是个悲伤的结局。
即使埃弗利特的多世界诠释看似荒谬，对于波普尔的信徒尤其如此，但作为贝叶斯主义者的埃利泽·尤德科夫斯基在他的博客 Less Wrong 上为其进行了辩护，他的依据是算法版的奥卡姆剃刀。即使埃弗利特的多世界诠释带来的后果超出了我们有限的想象，但它的基础只有一条非常简单的原则：如果宇宙的唯一法则就是薛定谔方程，也就是能够预测量子态在未经观察的情况下会如何演化的方程，那它会引出什么结论？
对于那些赞叹物理方程优美简洁的人来说，埃弗利特提出的这个诠释有着种种令人舒心的地方。现在我们可以告别概率性现象了，何况它还与“观察”这一晦涩模糊的概念同时发生（但这种对量子态的观察可以由机器进行，所以与意识毫无关联）。根据多世界诠释，观察的不确定性实际上来自观察发生时开始相互作用的物体之间的量子纠缠。因为我们自身就与周围的事物一起处于量子纠缠之中，所以我们只能观察到那些与我们自身纠缠的量子态——有时候人们也说，我们被困于薛定谔方程在量子纠缠发生时创造出来的众多宇宙分支之一 中。
这样的话，在观察时产生的概率性并非宇宙法则中固有的现象，而是认识论上的不确定性，因为我们只能归属于量子多重宇宙的唯一一个分支。当然，多世界诠释带来的结论实在不可思议。但对于合格的贝叶斯主义者来说，在衡量理论的置信度时，那些不可观察的结果无关紧要。重要的是思想实验项，也就是理论解释观察数据的能力，还有所罗门诺夫通过理论的最短算法描述的长度来衡量的先验置信度。多世界诠释在预测方面等价于其他所有诠释。然而，因为多世界诠释拥有明显更短的算法描述，所以它似乎应该能在贝叶斯主义者那里得到更高的置信度。
但对我来说，尤德科夫斯基的这个论证似乎应该打个折扣，尤其是如果我们相信所罗门诺夫体系的话。这是因为，为了进行预测，我们似乎必须将薛定谔方程与多重宇宙复杂物理状态的描述结合起来。如此一来，由于量子分支之间可能产生干涉，我们似乎需要其他量子宇宙的描述才能做出预测。然而，这样的描述似乎极其耗费储存空间。这就是多世界诠释的先验置信度会下降的原因。
我不是这些问题的专家，而且我对自己这个论证的置信度也很有限，所以我更乐意承认我在这个问题上的无知。此外，人们还提出了另外几个量子力学的诠释，比如拥有确定性但没有定域性的德布罗意 – 玻姆理论、量子贝叶斯主义（quantum Bayesianism），还有英语版维基百科页面中列出的十几种其他诠释。
无论喜欢哪种量子力学诠释，我们都必然会注意到概率论在量子力学中扮演着关键的角色。在预测欧洲核子研究中心的大型强子对撞机中两个质子碰撞会产生什么结果时，时至今日最好的描述仍然是对可能出现的各种结果分配不同的概率，就像内特·西尔弗预测选举结果时所做的那样。量子力学即使在预测结果并不明确的情况下仍然如此成功，那是因为它向不同结果分配的概率与实际观察到的频率若合符节！
转自图灵新知，节选自《贝叶斯的博弈》，【遇见数学】已获转发许可。
作者：[法] 黄黎原
译者：方弦
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读者无须过多专业数学知识，无须身为数学家，也可领略本书的精彩之处