旋转中寻找数量关系
2024年西城区二模第27题
初中几何三大基本变换：平移、轴对称、旋转，其中旋转变换要素最多，包括旋转中心、旋转方向、旋转角，任何一个元素发生变化，则图形的变化便越丰富，同时旋转又多与圆相关，因此在各地中考几何压轴题中出现的概率较大。
在旋转过程中，原图形中的数量关系和位置关系会发生相应变化，于是在这些变化中寻找特定的关联，极考验学生的构图能力，通常题目会给出备用图或参考图，学生用绘图工具按要求作图（不一定是尺规作图），在这个过程中，事实上是更深入审题，作图前必须要先演算。
在今天下午的备课过程中，组内四名老师分别给出了四种不同的解法，充分体现了本题入口宽的特点，同时这四种解法又具备同质性，多解归一后再细读命题意图，研究教学中如何从旋转中寻找数量关系，最终回到课堂教学。
题目
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0° <α<30°）.将射线ab绕点a顺时针旋转2α得到射线l，射线l与直线bc的交点为点m.在直线bc上截取md=ab（点d在点m右侧），将直线md绕点d顺时针旋转2α所得直线交直线am于点e.<>
(1)如图1，当点D与点B重合时，补全图形并求此时∠AED的度数；
(2)当点D不与点B重合时，依题意补全图2，用等式表示线段ME与BC的数量关系，并证明.
解析：
01
(1)第1小问可以秒掉，前提是作图准确并且对边角关系非常熟悉；
由于B、D重合，因此△ABM为等腰三角形，于是∠AMC=2α，列方程求得α=18°，所以∠AED=4α=72°；
02
(2)作图如下：
最容易想到的是将△DEM“搬”到AB处，毕竟MD=AB且∠MDE=∠BAE=2α，因此我们选择在AM上截取AF=DE，如下图：
方法一：
同时延长BC至点G，使CG=BC，再连接FG和AG，这样可得到△DEM≌△AFB，证明了ME=BF，剩下的任务就是证明BF=BG；
先求出∠AMC=90°-3α，∠ABC=90°-α，由全等求出∠ABF=90°-3α，于是∠FBG=180°-4α，而∠FAG=4α，所以∠FBG+∠FAG=180°，于是A、F、B、G四点共圆，∠BGF=∠BAF=2α，∠BFG=∠BAG=2α，即△BFG是等腰三角形，BF=BG，所以最后得到ME=2BC；
方法二：
在方法一的基础上稍加改进，截取的AF放到边AG上，如下图：
类似方法一，不再重复；
方法三：
既然构造全等三角形能够将ME转向2BC，那自然也能够将2BC转向ME，我们延长DE至点K，使DK=DM，如下图：
等腰△DMK≌等腰△ABG，则MK=BG=2BC，然后求得∠K=90°-α，同时∠AED=∠AMC+∠MDE=90°-α，于是∠K=∠AED=∠MEK，所以ME=MK=2BC；
方法四：
与方法三类似，如下图：
具体证明过程略过，有兴趣的读者可以尝试。
解题反思
这一类的几何综合题压轴题，都强调补全图形，这对于学生作图操作提出了一定要求，虽然学生在平时课堂上也会作图，但目前有一种不好的教学方式，就是大量用教师演示去代替学生操作，在这种看似“高效”的课堂上，学生被迫用眼睛而不是双手去体验作图，这与新课标要求严重不符，长此以往，手上生疏，带来的是思维上的缺漏。
本题主要是利用构造全等三角形来完成图形间的数量关联，学生通过作图，猜想线段间的数量关系，然后用推理去证明猜想，这个过程与数学实践活动中，学生经历的东西完全一样，即这类通过动手操作，获得数学体验，进而进行数学猜想，数学推理，同样也是项目式学习的内核，即归纳为，用数学去对待世界。