双中点问题解法探究
2024年东湖高新区五调第23题
上周在微信群里对2024年武汉市东湖高新区五月模拟考试第23题的解法进行了探究，这道题属于典型的双中点问题，通常情况下，双中点问题可关联的解法非常多，例如构造中位线、中线倍长、相似三角形等，作为几何综合压轴题，对学生构图要求比较高。
因此我们对解法研究的重点是，如何让学生想到？包括在讲题过程中，如何引导学生想到？在观察学生思考解法的过程中，如何“断点续传”？在讲完之后，如何帮助学生归纳整理？
题目
解析：
01
(1)对于△ABC∽△EDC中的比例线段，我们选择底：腰，即BC:AC=DC:EC，这一组比例线段恰好是△CBD和△CAE的对应边，再加上∠ACB=∠ECD，于是得∠BCD=∠ACE，所以△CBD∽△CAE；
02
(2)条件“M、N分别是BE、AD中点”，极易让人联想到三角形中位线，再加上求证AE=2MN，也确实是中位线定理结论之一，至少形式上很像，但MN本身并不是图中任何三角形的中位线，所以构造中位线是首选方法；
方法一：
延长BA至点F，使NF=BN，再连接EF，如下图：
这种方法的好处就在于，直接构造出△BEF，使MN是它的中位线，这样我们得到了EF=2MN，于是只需要证明EF=AE即可；
由BN=FN，DN=AN可得BD=AF，而在第1问的结论中，我们有△CBD∽△CAE，于是得BD:AE=BC:AC，交换比例内项之后得BD:BC=AE:AC，再将其中的BD替换成AF，AC替换成AB，得AF:BC=AE:AB，这一组比例线段恰好是△AEF和△ABC的两组对应边；
同样在第1问结论中，我们有∠CBD=∠CAE，再加上∠CBD=∠ACB，所以∠ACB=∠CAE，所以AE∥BC，由平行可知∠EAF=∠ABC，因此△ABC∽△EAF，即△EAF也是等腰三角形，两腰分别是AE和EF，完成了思路闭环，最后得到AE=2MN；
方法二：
取DE中点G，连接NG、MG，如下图：
严格讲，方法二和方法一属同类方法，只不过构造中位线的位置有所不同，由辅助线作法，我们很快能得到AE=2NG，于是接下来我们的任务是证明MN=NG；
方法一中某些结论在这里不再重复证明，我们首先得到两条中位线，分别是NG和GM，它们是△ADE和△BDE的中位线，所以NG∥AE，GM∥BD，则∠MGN=∠ANG，再加上已经证明过AE∥BC，则NG∥BC，于是∠ANG=∠ABC，仍然由△CBD∽△CAE得BD:AE=BC:AC，将其中AE替换成1/2NG，BD替换成1/2GM，得GM:NG=BC:AC，我们又一次得到△ABC∽△MGN，即△MGN也是等腰三角形，所以MN=NG，最后也得到AE=2MN；
方法三：
连接EN并延长至点H，使HN=EN，连接BH，如下图：
只不过换了个方向构造新的中位线，显然BH=2MN，于是我们的任务是证明AE=BH；
首先可以证明△ANE≌△DNH，所以AE=DH，顺便证明AE∥DH，由前面方法一中AE∥BC，得DH∥BC，所以∠BDH=∠ABC；
依然由△CBD∽△CAE，得BD:AE=BC:AC，将AE替换成DH，AC替换成AB，得BD:DH=BC:AB，再加上夹角∠BDH=∠ABC，得△ABC∽△BDH，即△BDH是等腰三角形，所以DH=BH，然后证明了AE=DH，最后得到AE=2MN；
03
(3)在充分理解了整个图形内在联系之后，本小问直接可以秒掉了，取AB中点N，则直线MN为点M运动轨迹，如下图：
由于AE∥BC，且MN为△ABE中位线，所以点C到直线MN的最短距离，即当CM⊥MN时，这个最短距离恰好是△ABC斜边上高的一半，因此结果是1/2.
解题反思
我们不妨将第2问的三种方法复盘，发现无论哪一种，都是构造出新的中位线，完成了某两条线段的2倍关系，方法一是将AE转换成EF，而EF与MN之间的2倍关系非常容易得到；方法二是将MN转换成NG，而AE与NG之间的2倍关系容易得到；方法三是将AE转换成BH，因为BH与MN之间的2倍关系容易得到；
而在转换过程中，我们都是通过构造出新的等腰三角形来实现等量代换，方法一中的△AEF，方法二中的△MGN，方法三中的△BDH，都起到同样的作用，如下图：
这些三角形都与△ABC相似，并且我们都采用了同一种判定方法，即两边对应成比例，夹角相等。
相似三角形在几何综合题中经常遇到，所以我们有必要从课标中寻找对其的难度标高，从而精准命题或者有效备考。
新课标中，对于名词“了解”解释如下：
从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或举例说明对象.
在图形相似版块中，①②④⑤⑥均定义为“了解”，而对于③则是“掌握”，对于⑦则是“运用”，并且给出了例81，如下图：
这就是最为典型的“运用”题例，从具体情境中抽象出相似三角形，并利用其中的成比例线段的关系来解决问题。
本题中的相似三角形，基本符合新课标中对相似内容的要求，只是个人认为其中需要交换比例项稍微拔高了一点，但在几何综合压轴题中，这一点可以接受。
至于在命题中设置几次相似，并没有规定，只要符合课标要求即可，但涉及到比例式的变换，例如合比、等比性质，则明显超纲，或者需要多次交换比例项，人为增加恒等变形复杂度，并不符合新课标。
本题中第2问的辅助线添加，尽管有三种不同的添加方式，但它们的证明过程大同小异，基本可算同一类方法，如果帮助学生归纳总结，构造中位线，进行等量转换是其核心，至于在哪构造，如何转换，就看学生思考方向了，毕竟题目条件中出现“两个中点”，“线段2倍”等关键词，也是暗示学生朝这个方向去努力，导向正确，解法不难得。
尤其是对于在思考过程中，没有想到构造中位线的学生，则需要仔细询问他们原本的意图，是否偏离了主线，然后从偏离的那个点开始，换条路继续，直到成功。