数学情景中的函数眼光
2023年江西省中考数学第23题
由于俗务繁多，非常遗憾地错过了陈莉红老师的讲座，不过很幸运的是，互联网的强大记忆帮助我找到了2021-2023年江西省中考数学的试卷，既然能从研题中找到教学的真谛，那么从试卷去反演那场讲座，也具备一定的可行性。江西省的全省统一中考是从2021年开始，至今已经过了3年，简单回顾前面几年的压轴题，2021年是从课本中三角形内角和的剪拼三角形出发，2022年是直角三角板和正方形纸片的综合实践活动，2023年则是正方形与直角三角形的综合实践活动，可以明确地看出，作为全卷压轴题，江西省选择的是综合与实践素材，非常具有地方特色，并且已经坚持了三年。
情景这个词，现在属于教育热门词，数学情景则是指数学活动的环境，产生数学行为的条件。虽然很多非专业人士眼里，只有生活情景才是情景，然而数学本身来源于生活，同样也有丰富的数学情景，并且更有数学味道。
新课标中对综合与实践描述如下：
题目
解析：
01
(1)点P在线段BC上时，CP=t
①当t=1时，则CP=1，在Rt△PCD中，由勾股定理求得DP²=1+2=3，故S=3；
②思路不变，依然在Rt△PCD中，由勾股定理得S=DP²=t²+2，故函数解析式为S=t²+2；
此处并未要求写出自变量t的取值范围，因为本小题仅需要从图1中获取信息，事实上BC长度可根据图2中信息求出.
02
(2)点P在线段AB上，当点P与点B重合时为起点，当点P到达点A时为终点.
对照图2中的抛物线，可知P、B重合时，S=6，即DP²=6，从而利用勾股定理，在Rt△DBC中求出BC=2，于是求出t=2；
或者利用前面已经得到的S=t²+2，将S=6代入，同样可求出t=2；
图2中的抛物线可以看出顶点为(4,2)，不妨设其解析式为S=a(t-4)²+2，代入(2,6)，求出a=1，即S=(t-4)²+2；
当点P与A重合时，S=18，代入解析式中，求得t=8，说明8s后，P到达A处，则在AB上运动时间为6s，因此AB=6；
03
(3)我们首先来完善S关于t的函数解析式：
当0≤t<2时，S=t²+2；当2≤t≤8时，S=(t-4)²+2
显然这是一个分段函数，而且是两条形状相同的抛物线，作图如下：
若存在3个时刻，对应的正方形面积均相等，解读这句话的含义，我们得回到左图情景中，当点P在CB和AB上运动时，正方形的边长DP长度在不断变化，大体变化趋势从直观上可以观察出来，从C到B的过程中，DP不断变长，而从B到A的过程中，先变短，到最短处后又变长；
从几何角度来具体分析，在BC上存在一处，在AB上存在两处，DP长度相等，即我们如果以D为圆心，适当长为半径作圆，与线段BC有一个公共点，与线段AB有两个公共点，如下图：
在上述变化过程中，圆D的半径决定了它与线段BC、AB的公共点个数，即面积相等的时刻。
从函数角度来分析，在画出分段函数之后，存在3个时刻，即意味着作一条水平直线，与这个函数图象有三个交点，这要直线最低到抛物线顶点处，最高到分段函数的界点处，如下图：
这两段抛物线，开口方向和开口大小均相同，则它们一定关于直线x=2轴对称，而横坐标为t1和t2对应的点恰好分别在左右分支上，且关于x=2轴对称，因此它们的中点横坐标正是2，因此利用中点公式求出t1+t2=4；
同理，在右分支抛物线上，我们还可以得到t2+t3=8，再加上题目条件给的t3=4t1，可组成一个三元一次方程组，当然我们只需要求出t1即可，得t1=4/3，所以此时的正方形DPEF的面积为t²+2=34/9.
解题反思
在2024年湖北省统一中考模拟演练第24题，也是同样的函数思想，不禁令人联想，是否在即将到来的省考中，函数思想究竟以何处形式呈现？
本题是典型的双图类型，图1是情景，图2是函数图象，这种类型的题目在函数概念教学中时常出现，目的是引导学生观察图形的变化，并尝试以函数视角去理解这种变化，这种数学眼光正是核心素养要求具备的，所以这道题的教学导向非常明确，符合新课标要求。
在第3小题中，学生可以从几何运动角度去还原整个过程，也可以更进一步，将其背后的函数图象作出来，这是两种不同程度的理解，学生需要建立相应的数学模型，这种能力也是核心素养呈现之一。
于是在平时教学中，如何培养学生的这种能力？
以一篇甘肃兰州张宝瑛老师的论文来开启思考：