女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
本文深入探讨数学与新思想之间的朦胧地带。这看似毫无道理，因为乍一看，数学与灵性之间很难有重叠之处。然而，至少对某些艺术家来说，这确实令人振奋。
新时代的数学
新时代的信徒喜欢各种图案。他们喜欢的图案之一是由半径相同的圆形重叠而成，围绕中心圆排列。根据他们看到的形状，他们称之为 "生命之花"、"生命之种"、"生命之蛋"、"生命之树 "或 "生命之果"。"生命之花"一词最早是由 Drunvalo Melchizedek 在其《生命之花的古老秘密》（1999年）一书中使用的，该书的封面图案就是生命之花。
这种图案出现在不同的文化中，从达芬奇到Coldplay等许多艺术家都曾使用过（图22.1）。塞浦路斯的古希腊人似乎是第一个使用这种图案的人，因为在伊达里昂发现了一个公元前 8-7 世纪的碗，中间有一个圆弧图案。不过，他们的竞争对手是现在伊拉克北部城市 Dur Sarrukin 的亚述人，他们早在公元前7-6世纪就在这里绘制了生命之花。罗马人经常使用这种图案作为装饰，伊斯兰和哥特艺术家也描绘过这种图案。到了近代，在教堂的窗户装饰中，甚至在小型教区中，仍然可以看到这种图案。在中国，重叠的圆圈是重要建筑入口处狮爪下的球形图案。
图22.1 Jan Detavernier的装置作品Entrophi在水中有一个对称的部分。虽然看不见，但通过水面的反射，可以想象出整个结构。
也许任何收到过尺子和圆规文具套装的人都玩过这种圆形图案。从一个圆开始，从该圆上的一个给定点测量其半径六次。围绕这些点绘制六个半径与初始圆相同的圆。总共有七个圆圈。当圆以相同的方式添加到这六个圆上时，从它们的交点开始，这样就多了12个圆。现在总共将有19个圆圈。这种结构可以用同样的方法扩展到37圈甚至更多。它们的数量符合公式n^3-(n-1)^3（图22.2）。
图22.2生命之花
这个令人肃然起敬的图案可以用来做什么数学题呢？当然，它有助于获得绘制柏拉图五种正多面体的参考点：四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体。卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）在阅读欧几里德著作的基础上，在他的《神圣比例》一书中写到了这一点，并请达芬奇（Leonardo da Vinci）为该书绘制插图。这些插图之美引发了一种多面体狂热，这种狂热一直持续到今天（图 22.3）。
图22.3 用生命之花绘制的四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体
帕乔利的神圣比例，即数字1.618......，后来被称为黄金分割，如上所述，现在经常被记为 φ。关于黄金分割的这些误解和其他误解将在本书的其他部分进行讨论。这里给出的两幅图说明了新时代的一些更有趣的说法：坐在边长为 2 的正方形底座和 "φ "符号的金字塔下可以改善祈祷或学习；"φ "符号将代表 "虚空 "的 "o "和代表 "神圣统一体 "的"1"结合在一起（图 22.4）。
图22.4 “神圣金字塔”和黄金分割的神圣解释
回到"生命之花"，人们也可以从中获得一些计算上的乐趣，把 1 到 48 的数字放在其中，这样在某些圆圈中和圆圈的某些部分中的所有数字之和总是 294（见插图中的彩色部分）。这不是 "魔方"，而是印度数学家纳拉亚那·潘迪塔（Narayana Pandita，1325-1400 年）创造的 "魔法莲花"。它出现在他的著作《Ganita Kaumudi》（《数学的月光》，1356 年）中。这一印度起源非常符合新纪元的思维定势，这的确很神奇（图 22.5）。
图22.5纳拉亚娜·潘迪塔的神奇莲花：彩色区域的数字加起来都是294
这肯定不是高等数学，但数学家们可以为人们在精神追求中求助于几何或算术而感到荣幸，这确实是许多人的共同追求。比利时艺术家扬·德塔弗尼尔（Jan Detavernier）对"生命之花"情有独钟，他制作了一台滴水机，用电脑控制水滴从高处滴落在平整的水面上，水滴的波纹描绘出一朵朵生命之花。Detavernier 解释说，"通过一些附加的音乐和灯光效果，他的装置《Drops》将观众带入'几何创世纪的氛围中'，'圆的几何芭蕾'（图22.6）。
图22.6 Jan Detavernier 的装置作品Drops
四面体
新时代也有制造3D的生命之花的方法，但这需要更多的解释。从四个四面体开始，用它们组成一个四面体，将其中三个四面体的边两两对齐，其中一个顶点是公共的，也是两两对齐，然后将其中一个四面体放在这三个四面体的上面。在第一个四面体的旁边和上面倒置四个类似的四面体组。在剩下的空间里再放三个。第一步有4个小正四面体，下一步有20个，最后一步有32个（图 22.7）。
图22.7 4、20和32四面体
现在，再次从四个四面体组开始，以类似的方式将三个四面体组紧挨在一起，再将一个四面体组放在顶部，形成一个更大的四面体组。这不禁让人联想到所谓的谢尔宾斯基结构。再取一个这样的大结构，将其翻转过来，放入第一个结构中。第一个结构有4 × 4个四面体，加上倒置的四面体中的16个，又有32个四面体。最后，将整个结构插入前面的32个四面体中，就得到了64个四面体的形状（图 22.8）。
图22.8 16、32和64四面体
接下来，请看俯视图，就好像初始四面体站在水平面上。顶点与生命之花完全吻合。当然，有些圆的交点与投影的任何一点都不对应，但这并不影响一个优秀的新时代人（图 22.9）。
图22.9 64个四面体结构的俯视图；线视图；生命之花上的同一线视图
用正方形覆盖64个四面体结构的某些部分，就得到了立方八面体。它是由八个三角形面和六个正方形面组成的阿基米德实体。建筑师巴克明斯特·富勒（Buckminster Fuller）非常喜欢这种结构，这可能是因为他找到了一种方法，可以将正方形折叠起来，只留下八个三角形，形成一个八面体（图 22.10）。
图22.10 64四面体结构，覆盖有额外正方形的相同结构，以及立方体八面体
富勒还用他那典型的行话，将“环形流”赋予了立方八面体。人们可以说这是诗意的语言，也可以说这是晦涩的语言，这取决于人们对这类说法的钦佩或厌恶程度。无论如何，一个变形的环绕着长方体，不管这意味着什么。新时代的人将其视为“能量流”，并称其中心为“奇点”（图22.11）。
图22.11 环绕变形环的立方八面体、环形本身，以及带有变形环的原始64四面体结构
上面提到的艺术家Jan Detavernier被这种诗意的几何图像所打动，制作了一个他挑衅性地称为Entrophi的装置。该构造是64四面体结构的3D模型。它在水中有一个看不见的对称部分，但由于水面的反射，整个结构可以想象出来。为了模仿环形流，他在顶部安装了喷泉。这件艺术品于2020年在比利时梅嫩展出（图22.12）。
图22.12 扬·德塔弗尼尔的环形流四面体
空间叠加
当我第一次看到64四面体结构时，我并没有被环形流动或与生命之花的联系所深深打动，更多的是被四面体的堆叠过程所打动。当然，将立方体堆叠在彼此的顶部、前面和后面，并将它们推在一起，可以不留任何间隙地填满整个空间——只要想想堆满纸板箱或啤酒板条箱的仓库就知道了。它们可能有一些矩形面，因此不一定是立方体，但它们的面相互垂直，所以它们堆叠得很好，就像立方体一样。
很明显，那么四面体呢？64正四面体形状中的正四面体是否表明可以只用正四面体来填充空间？亚里士多德（公元前384-322年）是这样认为的。他是与苏格拉底和柏拉图齐名的伟大希腊古典哲学家。他被称为第一位“普世之人”，对当时已知的几乎所有科学都感兴趣，包括数学。在他的著作《论天》（De Caelo）中。亚里士多德指出：
众所周知，在所有多边形中，有三个图形填充了它们所在的平面：三角形、正方形和六边形；而在所有空间体中，只有两个，即四面体和立方体。
1800年来，亚里士多德文本的注释者不遗余力地证明这位伟大的希腊学者是正确的，直到德国人雷焦蒙塔努斯（1436-1476 年）意识到，在堆叠正四面体时，无论如何堆叠，总会有一些剩余空间。毕竟，两个面之间的夹角约为 70°31.7...'，如果将 5 个面围在一条公共边上，就会剩下约 360°- 5 × 70°31.7...' = 7°21'。这是一个很小的角度，在用石头或木头制作四面体时很难注意到这个角度。也许亚里士多德是根据"经验"观察得出结论的，但从理论上讲这是不正确的（图 22.13）。
图22.13 一个四面体和五个四面体，没有填满空间
那么，64四面体结构是怎么回事呢？仔细观察就会发现某些四面体之间存在八面体空间。四面体和八面体合在一起确实可以填充空间（图22.14）。
图22.14 将上述 64 个四面体结构前面的蓝色金字塔移除后，可以看到其中有一个八面体孔（下图第二和第三列）。此外，在将其转化为立方八面体时添加的每个正方形上都有四个金字塔，每个金字塔都可以补全为一个八面体（上图第二和第三列）
虽然用一种形状的棱柱砖就足以砌墙，但如果想用四面体砌墙，就必须使用两种形状的棱柱砖。不管把四面体放在八面体上会不会产生滑动效应，提出四面体和八面体结构似乎确实很有趣，当然也很新颖（图 22.15）。
图22.15 八面体和用四面体和八面体砖砌成的墙
从结构上看，四面体无疑是最坚固的，因为它只由等边三角形组成，不会变形，而正方形或长方形则很容易坍塌。我们会很快看到四面体和八面体砖吗？
青山不改，绿水长流，在下告退。
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