两圆导角证垂心
2024年仙桃高中招生考试数学卷第22题
中考压轴题对于两个圆的题型较为少见，毕竟两圆位置关系在新课标中并没有明确要求，然而实际命题中，并非出现了两个圆，就一定要用到两圆位置关系，所以圆的数量不是硬性规定，也不必一见两圆就认为超纲。
存在两个圆的前提下，特别是两圆相交时，一个圆中的圆周角，是如何等于另一个圆中的圆周角的，需要仔细观察，那些“跨越”两圆的线，一定是研究的重点。
题目
如图，圆O1与圆O2交于A、B两点，AC为圆O1的直径，D为弧BC上一点，直线CD，AD分别与圆O2交于点E，H，HE的中点F在直线BC上，证明：H为△ACE的垂心.
解析：
01
在圆O1中，AC是直径，所以∠ADC=90°，即AD已经成为△ACE的一条高；
我们连接CH，只要能证明CH⊥AE，则点H必然是垂心；
连接CH之后，我们延长CF，交圆O2于点G，使它看上去有点像“中线倍长”，但到底是不是，能否构造出相应的全等三角形，值得尝试，如下图：
在圆O1中，∠BCD=∠BAD，在圆O2中，∠BAH=∠BGH，所以我们得到∠BCD=∠BGH，顺便得到CE∥GH，发现图中△CEF≌△GHF，于是CE=GH，得到平行四边形CEGH，这需要连接EG；
由于AC是直径，我们还能得到∠ABC=90°，即∠ABG=90°，转到圆O2中，AG一定是它的直径，不妨连接AG，如下图：
在圆O2中，∠AEG=90°，即EG⊥AE，而平行四边形CEGH中，CH∥EG，所以CH⊥AE，说明CH是△ACE高的一部分，即两条高交点为H，所以它是△ACE的垂心；
解题反思
我在思考这道题的时候，还是走了不少弯路，首先是对点F是EH中点的条件百思不得其解，究竟它有什么用，第一眼确实没看出来，倒是∠ADC=90°可以轻易得到，也就是解析中的突破口，只要证明CH⊥AE即可；
于是便在AE与圆O1交点耗上了，将它与点C连接后，想证明点H在这条连线上，结果可想而之，不了了之，毕竟证明点在线上，难度较高；
真正找到突破线索是在题目中“中点F在直线BC上”，想尝试一下中线倍长构造全等，果然一下子就成功了，后面推导出平行四边形之后，思路就很顺畅了。
于是思考，如果是学生在解这道题，会不会也和我一样卡在理解中点F的作用上呢？
我觉得大概率会。
学生是老师教的，老师平时解题时的思维习惯，是会传染给学生的，尤其是在中等生身上，体现最为明显，所以在解题过程中的情感、态度、价值观，也一并传递了下去。
作为高招考试题，本题难度较高，适合平时对几何概念理解较深刻的学生，给学生做这道题，最好老师在一旁“观战”，去看看学生的思维，也方便获取学生思维的第一手资料，这就是备学情。