妙用隐圆
2024年西城区九年级数学第27题
我们在学习圆的概念时，通常会给出圆的两种定义，第一种是描述性定义，在人教版数学九年级上册第79页，第二种是集合性定义，在第80页，如下图：
其实在处理教材上“你能说出圆是如何画出来的吗？”的时候，就是在引导学生用圆去理解现实世界，这节课中这个环节是否有效，准确点说，是否长效，就看未来学生解题过程中，能否想到用圆去理解所见到的几何图形，即构圆法。
能够构造圆的几何图形结构很多，初中阶段，以定义去构建圆的方式，教材中也有，如下图：
很巧的是，这个例题同样在第一节新课中，它实际上告诉学生的是，利用矩形对角线相等且互相平分，可以得到对角线交点到四个顶点距离相等，所以由矩形想到圆，经历的是“到定点的距离等于定长”。
而在我们学习了圆周角之后，又多了一个称手的工具来构造圆，如下图：
图中这些直角三角形都有一条公共斜边，我们取它的中点O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，仍然可以构造出圆，这比起单纯利用矩形，更具普遍性（事实上矩形也可以看作是两个直角三角形，对角线的一半也是斜边上的中线）。
当然，除了教材上的这些基本方法，我们还有“对角互补的四边形四个顶点共圆”、“同侧共底三角形顶角相等法”等，不过个人认为，构圆，还是要从定义开始。
2024年西城区九年级数学期末第27题，构圆，可作为检验概念理解的标准，圆用得妙，题目难度就不会高。
题目
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CM⊥AB于点M.点P在射线CM上，连接AP，作CD⊥AP于点D，连接MD，作CE⊥MD于点E，作DF∥AB交直线CE于点F，连接MF.
(1)当点P在线段CM上时，在图1中补全图形，并直接写出∠ADM的度数；
(2)当点P在线段CM的延长线上时，利用图2探究线段DF与AM之间的数量关系，并证明；
(3)取线段MF的中点K，连接BK，若AC=8，直接写出线段BK长的最小值.
解析：
01
(1)观察图中△ACM和△ACD，它们是共斜边的直角三角形，不妨取AC中点O，以AC为直径作圆，如下图：
由圆的定义可知A、C、D、M四点共圆，此时∠ADM=∠ACM=45°；
02
(2)在备用图作图如下：
由前一小题的探究结果，以AC为直径的圆O经过A、D、M、C四点，于是∠CDE=∠CAM=45°，再加上∠AED=90°，又得到新的等腰Rt△CDE，观察△DEF与△CEM，它们有一条边相等DE=CE，还有一个直角，只差一个条件即可全等；
由DF∥AB，可得∠BME=∠FDE(同位角)，而∠BME+∠CME=90°，∠CME+∠MCE=90°，于是可得到∠FDE=∠MCE，所以可证△DEF≌△CEM，所以DF=CM，而CM=AM，故DF=AM；
03
(3)先按要求作图观察，如下图：
由于我们在前一小题已经证明过DF=AM，而AM=BM，所以很容易得到DF=BM，再加上DF∥AB，所以可以构建一个平行四边形BMDF，并且FM是对角线，K是其对角线中点，如下图：
所以我们可以知道BK是BD的一半，问题转化成BD长度何时最短；
对于线段BD，端点B是固定的，另一个端点D在圆O上，因此当B、D、O三点共线时，BD最短，如下图：
此时△BOC中，可求出OB=4√5，而OD=4，因此BD长为4√5-4，所以BK最小值是2√5-2.
解题反思
学生按题目上要求作图是第一步，也是最基础的步骤，通常情况下学生能作出下图：
通过初步观察，可发现等腰Rt△ABC，三个直角∠CED、∠ADC、∠AMC(或∠BMC)，均为题目直接给出；
进行初步推导，可进一步得到AM=BM=CM，△APM∽△CPD，AC=√2AM等；
此时绝大多数学生并未想到隐圆，直到观察到△ADC和△AMC共斜边这个突破口，因此学生读题时，初步观察和初步推导，都是建立在直接得到或一步推导基础之上，这也是几何综合题分析的准备工作，接下来就是建立前面各结论之间的关联，也是几何综合题重点考查的学生能力，也是区分中等生和学优生的重要参考，一般而言，中等生会在建立各结论关联上耗费较长时间，并且不易成功，或者思考方向出现偏差，例如有学生总是纠结于题目中的若干对相似三角形，并苦苦寻找它们相似的条件，猛然发现，第一小题的结论与它们并无关系，白白浪费了不少时间，这对于一次考试是不可原谅的时间损耗。
那么，那些成功联系到隐圆的学生，又是如何思考的呢？在学习圆概念的过程中，真正理解了到定点的距离等于定长，在观察到直角三角形之后，特别是两个共斜边的直角三角形，并未将这条信息作为“不重要”的思维备份，而是继续在“共斜边”上多思考了一点点，正是多了这一点点，思维格局一下子就打开了。
于是我们回到当初学习圆概念的第一节课上，反问自已，这节课，我讲清楚了吗？学生学明白了吗？作为老师，是否成功将圆的概念植入学生大脑中了，或者说，是否成功让学生“生长”出了圆的概念？
因此，我们研究几何综合题的解法，最终目的是为了回归到课堂教学中，去思考如何组织教学，才能让学生有最大收获，从而在解题过程中少遇到障碍，虽然这个过程“慢”，却是我认为学会数学最快的“捷径”。