找到“什么是重要的问题或定理”，通常要比解决那些已知的问题或证明已知的定理更加困难。
当你阅读任何一本古希腊几何学著作时，你都会惊叹于那些两千年前就被提出的定理和证明的简洁与精练，不由自主地被这种风格所打动。但是，这些书通常不会向读者提供清晰的思维线索，让读者明白这些定理最初是如何被构想出来的。而阿基米德那本杰出的专著《方法论》填补了这方面的空白，揭示了作者自己在知道怎样证明之前，是如何确定定理的真实性的。这里有一段文字，摘自阿基米德写给昔兰尼的数学家埃拉托色尼的一封信。在这封信里，阿基米德简要介绍了他的《方法论》的主要内容：
“我将在本书中向您展示这些定理是如何证明的。正如我所说的，您是一位勤奋而优秀的哲学老师，对任何数学研究都非常感兴趣，所以，我认为有必要在这本书里向您详细说明我所采用的这种特殊方法。通过这种特殊方法，您将能借助力学认识特定的数学问题。我相信，这对于发现那些定理的证明不无益处。有些问题最初是通过物理方法认识的，随后却用几何方法证明，因为力学方法无法提供真实的证明。因为，解决那些先前已获得一些相关知识的问题，比处理事先没有一点背景知识的问题要轻松得多。”
在这里，阿基米德触及了在科学研究中和数学发展史上最重要的一个观点——找到“什么是重要的问题或定理”，通常要比解决那些已知的问题或证明已知的定理更加困难。那么，阿基米德是如何发现新定理的呢？利用对力学、平衡理论和杠杆原理的深刻理解，阿基米德先在自己的脑海里与已知物体的体积和图形的面积进行比较，大体估量一下准备计算的物体的体积和图形的面积。通过这种方式，阿基米德发现从几何学上证明未知物体体积和图形面积就容易多了。随后在《方法论》中，阿基米德指出了一系列图形的重心位置，并给出了几何证明。
我们可以从两个方面来认识阿基米德方法的不同凡响之处。首先，从本质上讲，是阿基米德把“思想实验”引入了严谨的科学研究之中。在 19 世纪，德国物理学家汉斯·奥斯特（Hans Christian Orsted）第一次把这种用虚构的实验代替真实实验的方法定名为“Gedankenexperiment”（在德语中的意思是“思考引导的实验”）。在物理学中，这个概念具有很高的地位和价值，思想实验可以用在真实实验之前，让人们能事先了解实验过程。或者在某些情况下，由于缺乏必要条件，真实实验根本不可能在现实中进行，此时思想实验就有了用武之地，它可以帮助人们理解实验内容。其次一点也许更重要，阿基米德把数学从欧几里得和柏拉图等人所打造的人造链条上拆了下来，让它获得了自由。
对于欧几里得和柏拉图来说，有一种方式，也仅有这一种方式，可以完成数学工作：你必须从公理出发，利用指定的工具，沿着固定不变的逻辑步骤顺序进行证明。但是，拥有自由灵魂的阿基米德却不甘于被这种方式束缚，他使用自己所能想到的所有方法和证据，提出新问题，并凭借自己的思考将它们解决。他毫不犹豫地探索抽象的数学对象（柏拉图的世界）和物理现实（真实的物体）之间的联系，并在这个过程中不断发展自己的数学理论。
最后一项奠定、巩固了阿基米德“魔法师”地位的成就，就是他预言了微积分。微积分是数学的一个分支，由牛顿在 17 世纪末正式建立和发展起来的。德国数学家莱布尼茨几乎也在同时期独立研究并提出了该理论。
积分背后隐藏的基本思想其实非常简单——当然，是在被明确指出来之后！例如，假设你想计算椭圆上的一段弧与这段弧的两个端点之间的直线所围成图形的面积，那么，你可以把这个图形分解成许多宽度相等的长方形。当把这些长方形的面积相加之后，你就得到了所求面积（图 3 - 5）。很明显，分解出的长方形数量越多，这些长方形面积之和就越接近真实的图形面积。换句话说，当被分解的长方形数量逼近无限的时候，把这些长方形的面积加起来就得到了你想要计算的图形实际面积。这一“极限”过程就是积分。利用上述方法，阿基米德计算了球面、圆锥面、椭圆面和抛物面的面积，以及由它们所形成的物体的体积（把椭圆或抛物面绕其轴旋转后得到的物体）。
微分的一个主要目标是计算曲线上给定一点的切线的斜率，此时，切线与曲线只在这一点相交。阿基米德给出了一种特殊螺旋的切线斜率计算方法。对微分更进一步的研究是由牛顿和莱布尼茨完成的。今天，微积分以及由此衍生的数学分支是建立绝大多数数学模型的基础，在物理学、工程学、经济学或流体力学中都有广泛应用。
阿基米德改变了数学世界，也从根本上改变了人们对数学与宇宙之间关系的认识。通过展示数学理论与实践之间令人震惊的紧密联系，阿基米德第一次提出了以观察和实验为基础，而不是靠神秘主义来解释自然界中貌似被数学设计过的各种现象。正是阿基米德的努力，孕育出了“数学是宇宙的语言”，以及“上帝是数学家”这类思想和认识。当然，有些事情阿基米德也没有做到。例如，阿基米德从来没有讨论过，如果把他建立的数学模型应用于实际物理环境中，可能会存在哪些限制。
举个例子来说，阿基米德在关于杠杆原理的理论探讨中，就没有考虑过杠杆自身的重量，并且，这一原理假设杠杆的硬度是无穷大的。可以说，阿基米德推开了一扇门，穿过这扇门之后，人类就可以用数学模型解释自然现象。但是，阿基米德推开门的幅度有限，只达到了“挽回面子”的程度。这也就是说，数学模型也许仅仅能代表人类观察到的对象，却不能描述现实存在的物理世界。希腊数学家格米纽斯（Geminus，约公元前 10—公元 60）在研究天体运动时，第一个从细节上讨论了数学模型和物理解释之间的差异。格米纽斯指出了天文学家和物理学家的差别，按照他的观点，天文学家（或数学家）的工作仅仅是提出模型构造的建议。实际上，这个模型是他们观察到的天空中天体运动的再现，而物理学家的工作则是解释这种真实运动。
也许你会感到奇怪，阿基米德本人认为，自己最杰出的成就是发现了圆柱体内切球（图 3 - 6）的体积是该圆柱体积的⅔。阿基米德对于这一发现颇为自豪，甚至要求将该发现镌刻在自己的墓碑上，作为墓志铭。在阿基米德去世后约 137 年，罗马著名演讲家马库斯·图利乌斯·西塞罗（Marcus Tullius Cicero，约公元前106—前 43）发现了这位伟大数学家的墓地，西塞罗对于寻找过程有一段相当生动，也十分令人感慨的描述：
“当我在西西里岛任财务官时，我就四处寻访阿基米德的墓地。锡拉库扎人对此一无所知，并且拒绝承认阿基米德墓地的存在。但是，这一小片完全被荆棘覆盖、被灌木包围的区域，的确是伟大的阿基米德的埋骨之所。
我曾经听说过几句话，据说是镌刻在他墓碑上的很短的诗句，这些诗句提到了圆柱体和球体模型。为此，我遍访阿格里根琴门（Agrigentine Gate）附近所有的墓地，逐个查看这些墓地上所立的墓碑。最后我注意到，一块墓碑经过清洗后，在上面可以模糊地发现刻有一个小柱体，在它之上是一个球体和圆柱，我马上意识到并告诉我身边的锡拉库扎人，这就是我正在寻找的目标。我们安排了一些人手用镰刀把四周的杂草清理了一下，并开辟出了一条小路直接通向这座墓碑。碑上的那些诗句依稀可辨，只不过每句的后半部分已经在岁月的侵蚀下变得模糊不清了。这座城市是古希腊世界中最著名的城市之一，同时也是过去岁月里伟大的学术中心，却对自己曾经孕育过的最光彩夺目的公民的葬身之地一无所知。幸亏，我这位来自阿尔皮努姆（Arpinum）的人出现了，并认出了它！”
本文转自图灵新知，节选自《最后的数学问题》，【遇见数学】已获转发许可。
作者：[美] 马里奥•利维奥（Mario Livio） 译者：黄征
数学是人类的发明还是发现？数学无处不在、无所不能的威力从何而来？
畅销世界的数学哲学史经典著作，展现数学无处不在、无所不能的非凡力量
科学和哲学巨匠们充满智慧的传奇故事，数学、物理、天文学和哲学的恢弘历史画卷