新定义“伴随切点”
2024年海淀区九年级数学期末第28题
解新定义类的压轴题，花费时间最多的环节是理解新定义，尽管在第1小题中会比较简单，但仍然不是一眼能看出答案，或者说在那一眼之前，得读懂新定义。
2024年北京海淀区九年级数学期末第28题，相对而言比较容易理解，但也存在一些小坑，如果平时数学概念的学习方法上存在漏洞，那这道题一定可以检测出来，数学理解能力强弱，本题区分很明显。
题目
在平面直角坐标系xOy中，将中心为T的正方形记作正方形T，对于正方形T的点P(不与O重合)给出如下定义：若正方形T的边上存在点Q，使得直线OP与以TQ为半径的圆T相切于点P，则称点P为正方形T的“伴随切点”.
(1)如图，正方形T的顶点分别是O，A(2,2)，B(4,0)，C(2,-2).
①在点P1(2,1)，P2(1,1)，P3(1,-1)中，正方形T的“伴随切点”是__________________；
②若直线y=x+b上存在正方形T的“伴随切点”，求b的取值范围；
(2)已知点T(t,t+1)，正方形T的边长为2，若存在正方形T的两个“伴随切点”M，N，使得△OMN为等边三角形，直接写出t的取值范围.
解析：
01
(1)磨刀不误砍柴工，我们首先来理解“伴随切点”：
从概念切点开始，它出现于直线与圆的位置关系，题目中的圆T，圆心在T，半径为TQ，点T是正方形的中心，即两条对角线交点，而正方形某条边上的点，到中心T的距离有一个变化范围，TQ最长时，等于正方形对角线长度的一半，最短时，等于边长的一半，这与点Q在正方形哪条边上无关。
我们在坐标系中任意作正方形T，包括其边上的点Q，再作圆T，让点O在圆T外，再过点O作它的两条切线，如下图：
在上图中，圆T的位于取决于点T的坐标，大小取决于TQ的长度，显然半径有限制，如果设正方形边长为a，则半径长度范围是a/2≤TQ≤√2a/2；
由于点O在圆T外，因此一定会存在两条切线，即图中有两个点P均满足新定义，我们连接圆心和切点，会发现∠OPT=90°；
这是本题新定义的两个核心要素，理解了它们，再去看第1小题，就简单多了。
①图中点T坐标为(2,0)，只有点P2和P3符合要求，如下图：
此时圆T的半径为1，OA和OC恰好是它的两条切线，切点为P2和P3；
②所有符合新定义的圆T，如下图：
半径最大的圆是正方形T的外接圆，半径最小的圆是它的内切圆；在此基础上，我们来找符合新定义的切点P，正如前面分析中所说，点P保证了∠OPT=90°，因此点P在以OT为直径的圆上，利用了直径所对的圆周角是直角，如下图：
我们得到了点P可能的位置，即在圆环内部，且在以OT为直径的圆上，图中红色部分的弧(半圆)。
现在我们再引入直线y=x+b，图中直线OA的解析式为y=x，所以y=x+b平行于直线OA，它与上图中的红色部分的弧的公共点，即我们所寻求的点P，而我们需要从这些满足条件的直线中，找到参数b的范围，从几何直观角度，直线y=x+b从上往下运动，第一次接触到红色部分的弧时，b值最大，最后脱离红色部分的弧时，b值最小，如下图：
我们作出这两条直线，分别求解，如下图：
直线y=x+b与红色部分的弧(圆D)相切时，点P是切点，连接 DP，则图中△DPE为等腰直角三角形，因为D点是OT中点，所以DP=OD=1，则DE=√2，故OE=√2-1，将点E坐标代入直线y=x+b，可求出b=√2-1；
当直线y=x+b经过最下方的P点时，如下图：
此时点P为OC中点，坐标为(1,-1)，代入直线y=x+b中，求出b=-2；
因此b的取值范围为-2≤b≤√2-1；
02
(2)给出含参点T坐标，意味着点T在直线y=x+1上，正方形T的边长为2，可得圆T的半径TQ范围为1≤TQ≤√2；根据“伴随切点”新定义，点P为圆T上的切点，则∠OPT=90°始终满足，于是作草图如下：
图中的点T是任意一处位置，存在的两个“伴随切点”之一的点M，在弧GH上，另一个点N在弧KL上，显然这两段弧关于OT轴对称，在此基础上，我们作出点M和N的大致位置，如下图：
分析上图，我们已知弧GH与弧KL关于OT轴对称，若存在等边△OMN，则点M与点N也一定关于OT轴对称，这是等边三角形的轴对称性和圆的轴对称性共同决定的，在圆内接正多边形章节中我们学习过。
所以我们只需要观察其中一个顶点，例如点M，当它在弧GH上时，符合条件的t存在一个范围，当点M与点G重合，或与点H重合，如下图：
连接MT，此时TM=√2，在Rt△OMT中，∠MOT=30°，则可求得OT=2√2，利用点T坐标(t,t+1)，可列方程t²+(t+1)²=(2√2)²，解得t=(-1±√15)/2，此时取正值；
当点M与点H重合时，如下图：
此时TM=1，则OT=2，同样可列方程t²+(t+1)²=2²，解得t=(-1±√7)/2，此时取正值；
取负值的时候如下图：
综上所述，t的取值范围是(-1+√15)/2≤t≤(-1+√7)/2，(-1-√15)/2≤t≤(-1-√7)/2.
解题反思
往往面对新定义压轴题，学生解完后会出现泾渭分明的两种结局，一种是认为太过简单，另一种则没看懂(半懂也属于没看懂)，这其实是对学生数学理解能力的一种有效区分，数学概念的生成不是一朝一夕的事，它需要学生在长期数学学习过程中培养，良好的学习习惯、思维习惯最终积累起来，就会达到“认为简单”的境界，如若这个过程中存在漏洞，这种题型很容易让学生原形毕露。
本题中的圆非常多，其中圆T是动圆，半径有范围限制，在实际作图中，理解为圆环，而切线OP上，点P也是动点，它的轨迹也在以OT为直径的圆上，虽然涉及到多个圆，但它们之间有明显的关联，解题时理清这些关系非常重要。
试题难度与区分度，是衡量试题质量的重要统计指标，控制难度有很多种方法，本题并不算特别难，新定义的描述部分理解起来比较容易，只要平时严格按课标、教材要求去理解数学概念，解这一类题型就是常规思路。
相对另一些“难题”，把难度设置在某条特殊辅助线或某个特殊公式甚至少见的技巧之上，这就变成了记忆题，只要记得老师讲过或者记得部分内容，甚至连推导都不用，方法就能完整复刻，它们就属于我们口诛笔伐的“偏难怪题”，不提倡。
从日常教学角度来看，学生学习理解数学概念，是整个初中阶段都要经历的，未来这种经历会更多，更复杂，但再复杂的概念，理解它们的方法在初中阶段应该教给学生，例如本题中点P的轨迹，正常情况下，突破口在切线定义上，当点P为切点，则TP与OP必然垂直，由垂直联想到∠OPT=90°，这还不够，得进一步想到Rt△OPT中，斜边OT是定长，斜边上的中线等于斜边的一半，则O、P、T在同一个圆上，这就和教材上直径所对的圆周角是直角对应上了，当然，这个过程在大脑思维中非常快，外表上看，理解了的学生一眼就能看出点P在以OT为直径的圆上，其实背后仍然有上述思考经历，只不过速度快得可以忽略。
当我们在给学生讲新定义题型的时候，也会注意到，两极分化会很严重，少数学生一经提示甚至不经提示，也能理解，多数学生需要老师一步步引导，再经过较长时间回味才能理解，恰恰他们是整个课堂中受益最大的群体，因此作为数学老师，要重视这部分学生群体的思维历程，扶着他们一遍遍走过，直到放手。
这又回到了我们的课堂，从七年级第一节数学课开始，我们需要规范教学中对数学概念的设计，用丰富的情景去容纳概念，多视角去呈现概念，简单概念“复杂”讲，最终才会成就复杂概念“简单”讲，让学生在课堂上的收益最大化。