5分钟数学 | 重要极限及极限存在判定

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本节讲解两个重要极限以及如何判断极限的存在

上图中的重要极限可以理解为等价无穷小，第一个和第三个，可以看作，当x趋近于无穷小时

x~sinx~ln(1+x) 等价无穷小

而指数形式需要单独记忆，括号内的函数式和指数处函数式成倒数关系时，极限值为e

那么如何判断极限存在呢？

（1）夹逼定理

类似于极限的定义（可看第一篇文章）

5分钟数学 | 极限的定义与性质

当存在一个数N，当自变量大于这个数时，可找到极限，而夹逼定理的关键是找到与所求极限函数相关的两个函数（一大一小），当这两个函数极限相同时可以认为所求函数与之相等

yn<=xn<=zn

也就是知道yn、zn极限值可得xn极限

（2）单调有界可得极限值

其实这种方法可以用到函数或者数列中，本质是一样的，下面用数列举例，函数与之类似

若{xn}单增（单减），当存在M对于任意n都有xn<=M（xn>=M）,数列xn收敛

收敛就是极限存在，发散就是极限不存在（可以暂时这样理解）

数列极限的应用多用于给出数列递推公式求极限的大题，大家可以注意一下

极限存在的充要条件话很多，本质就下面两句话

函数极限：

左极限等于右极限

（等不等于函数值无所谓）

数列极限：

n->∞，奇数项极限

等于偶数项极限

下面举个例子：

这道题求参数a，这是道函数体，若求极限，只需要求左极限和右极限，二者相等可以求a。

左极限：

2(x+1)arctan(1/x)

看成两式相乘

2(x+1)在x->0时得2

arctan(1/x)可看上图

（图要会画）

最终得π

右极限：

xsinx~x的平方

分数线上部分可用到重要极限

在本文的最上面

可得等价无穷小于ax方

ax方/x方得a

左极限等于右极限：

a=π