综述

平行线是指两条直线永远不会相交,无论你把它们延伸多远。这是我们从小就学过的几何知识,也是欧几里得几何的基础。

但是,你有没有想过,平行线真的不会相交吗?有没有可能存在一种不同的几何,让平行线可以相交呢?

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平行线会相交吗

古希腊数学家欧几里得可谓是数学领域的巨匠,他在公元前三世纪创作的《几何原本》是一部数学巨著,被誉为数学史上的瑰宝之一,影响了后来的数学家和科学家,成为几何学的经典之作。

但就像所有伟大的作品一样,它也有一些小小的不足之处,其中一个就是平行公设。

平行公设似乎有点像定理,而不是一个必然成立的公设。因为公设理应能够用其他公理来证明,而不是仅仅作为一个前提存在。这一点曾在数学历史上引起过不少争议。

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数学家们曾竭力尝试通过逻辑推理来证明或否定平行公设,但始终未能完全成功。有些人甚至开始怀疑,平行公设是否真的始终成立,是否可能存在一种不同的几何体系,让平行线最终可以相交呢?

这个问题的答案,是由一位俄国数学家给出的,他的名字叫罗巴切夫斯基。

罗巴切夫斯基的相交平行线

罗巴切夫斯基,出生在俄国一个贫困的家庭,父亲是一名小官吏,七岁时便离世。在政府的奖学金支持下,罗巴切夫斯基与他的两个兄弟都得以接受教育,而他们的才华也逐渐显现。

15岁那年,罗巴切夫斯基顺利进入了喀山大学,对数学和物理表现出浓厚兴趣,尤其钟情于几何学。

他的导师是一位德国数学家,名叫巴特尔斯,是高斯的好友,为罗巴切夫斯基介绍了欧几里得几何的经典之作《几何原本》。

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阅读完这本书后,罗巴切夫斯基怀揣着一份雄心,希望能完成欧几里得未竟之业——证明平行公设。他开始尝试各种可能的途径,然而每一次都以失败告终。

他发现以前所有的证明都陷入了循环论证的误区,无法摆脱。渐渐地,他意识到这个问题或许根本没有确切的答案,或许第五公设是不可证的。这一颠覆性的思考,让他陷入了对几何学基石的深度思索。

于是,罗巴切夫斯基转变了思维方向,开始追寻第五公设不可证的答案。他采用了反证法的逻辑手段,首先否定了第五公设,得出了一个相反的命题:过直线外的一点,可以画出无数条与已知直线平行的直线。

他将这个否定命题与其他公理组合,构建了一个全新的公理体系,从而展开了逻辑的推演。

在这一探索中,他得出了一系列异常奇特且颠覆常理的命题。比如,三角形的内角和不再是固定的180度,而是随着三角形的大小而变化,可以更大或更小。

然而,他并未在这些命题中发现任何逻辑上的矛盾。他得出结论,这个没有矛盾的新公理体系能够构建一种新的几何学,其逻辑完整性和严密性可与欧几里得几何媲美。

他将这种几何称为罗氏几何,又称为双曲几何。他运用数学语言描述了这种几何的性质和定理,尽管没有提供具体的例子或图形,因为他认为这种几何只是一种虚构的构想,而非真实存在的东西。

罗巴切夫斯基的想法是非常创新和大胆的,但是他的理论却没有得到同行的认可和支持,反而遭到了很多的嘲笑和质疑。他的论文被拒绝发表,最终郁郁而终,没有看到他的理论被证明的那天,更没有看到罗氏几何被应用到了真实的世界。

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被证明的罗氏几何

罗巴切夫斯基的双曲几何,虽然在逻辑上没有矛盾,但是在直观上却很难被接受。人们一直怀疑,这种几何是否真的存在,是否有任何实际的意义和应用。

罗巴切夫斯基本人也没有给出任何证明,来说明他的几何是如何与现实世界相联系的。他的理论,一直被视为一个没有任何价值的空想。

然而,罗巴切夫斯基的双曲几何,并不是一个孤立的产物,它是一个与时代同步的产物,一个与科学进步相呼应的产物,一个与自然规律相符合的产物。

在罗巴切夫斯基去世后的几十年里,双曲几何逐渐被证明是正确的,也被发现有着广泛的应用。罗巴切夫斯基的故事,从一个悲剧,变成了一个传奇。

在1868年,意大利数学家贝尔特拉米发表了一篇重要论文,题为《非欧几何解释的尝试》。在这篇论文中,他成功地证明了双曲几何可以在拟球曲面上建立。

这种拟球曲面是一种存在于欧氏空间中的曲面,其曲率为负,形状类似于马鞍。贝尔特拉米运用拟球曲面上的点和线来定义双曲几何中的点和线,确保双曲几何的公理在拟球曲面上成立。

这就意味着,双曲几何的命题可以被“翻译”成相应的欧氏几何命题。如果欧氏几何本身是没有矛盾的,那么双曲几何也就自然不存在矛盾。

贝尔特拉米的工作为双曲几何的合理性提供了直观的证明,同时也开创了研究双曲几何的新方向。这一成就为数学家们提供了更深入地理解几何学的可能性,并拓展了他们对空间结构的认知。

1905年,爱因斯坦引领科学的风潮,提出了相对论。他的观点是时空并非绝对、静止、欧氏的背景,而是相对、动态、非欧几何的实体。这意味着时空可以被物质和能量所影响和弯曲,打破了传统的观念。

在1915年,爱因斯坦进一步推进了他的理论,提出了广义相对论。

他运用黎曼几何来描述时空的曲率,黎曼几何是一种更为一般的非欧几何,其中既包括欧氏几何,也包括双曲几何作为特殊情况。这一理论深刻地改变了我们对时空结构的认知,揭示了物质和能量对时空的塑造作用。

爱因斯坦的理论不仅为双曲几何提供了一个物理上的证明,也为双曲几何的应用提供了广阔的舞台。

这一理论的诞生使得我们对宇宙和相对论中的时空关系有了更深刻的理解,为科学领域开辟了新的探索方向。

双曲几何独特之处在于其空间的无限性和负曲率。这意味着双曲几何中的空间是一种“弯曲”的状态,距离和角度的概念与我们在欧氏几何中熟悉的有所不同。

这一特性使得双曲几何能够描述一些欧氏几何无法涵盖的现象和规律。例如,双曲几何可以应用于超声波在水中的传播,因为水的密度和温度变化会引起声速的变化,从而导致声波路径呈现出双曲形状。

此外,双曲几何还可用于描述机器人的运动轨迹和姿态,实现机器人的自动运动控制。在船舶设计领域,双曲几何可用于外形和船体结构的设计,以提高航行速度、舒适度和稳定性。

这种应用广泛涉及物理学、工程学、计算机科学、生物学、艺术等多个领域,展现了双曲几何的巨大潜力和价值。其在各个领域的不断发现和挖掘,使其成为一个富有活力的数学分支。

结语

罗巴切夫斯基的双曲几何,从一个被嘲笑和忽视的理论,变成了一个被证明和应用的理论。它的发现,不仅是数学史上的一个里程碑,也是人类认识世界的一个突破。

它的创始人,不仅是一个杰出的数学家,也是一个勇敢的探索者。他的故事,让我们感叹他的执着和智慧,也让我们敬畏他的双曲几何。