大家好！本文和大家分享一道2021年高考数学真题。这道题是2021年高考全国乙卷文科数学的第20题，考查了抛物线的概念、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系、向量的坐标表示、轨迹方程、直线的斜率等知识。作为一道抛物线的综合题，本题的难度不算大，大部分中等生都能轻松做出来。
先看第一小问：求抛物线C的方程。
要求抛物线C的方程，只需要求出p的值即可。
根据抛物线的简单几何性质可知抛物线C的焦点F的坐标为(p/2,0)，准线方程为x=-p/2，所以焦点到准线的距离为p/2-(-p/2)=p=2，所以抛物线C的标准方程为：y^2=4x。
再看第二小问：求直线OQ斜率的最大值。本文和大家分享两种解法。
解法一：
要求直线OQ斜率的最大值，就需要先求出点Q的轨迹，然后再根据轨迹方程求直线OQ斜率的最大值。
由抛物线C的标准方程可得，F(1,0)。设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，于是向量PQ的坐标为(x2-x1,y2-y1)，向量QF的坐标为(1-x2,-y2)，于是由向量PQ等于9倍向量QF就可以得到，x2-x1=9(1-x2)，y2-y1=-9y2，即x1=10x2-9，y1=10y2。又由于点P在抛物线C上，于是有(y1)^2=4x1，即(10y2)^2=4(10x2-9)，整理得点Q的轨迹方程为：y^2=2x/5-9/25。
上面求点Q的轨迹方程用到的方法是代入法，或者叫相关点法。这是求轨迹方程的一个非常重要的的方法，同学们应该掌握。
求出点Q的轨迹方程后，要使直线OQ的斜率最大，那么直线OQ要与曲线y^2=2x/5-9/25相切，即联立直线OQ与曲线y^2=2x/5-9/25的方程，消去y，得到的关于x的一元二次方程的判别式△＝0，从而求出斜率的最大值。
解法二：
按照解法一求出点Q的轨迹方程，设点Q为(x0,y0)，代入轨迹方程整理得：x0=[25(y0)^2+9]/10。
于是，直线OQ的斜率k=y0/x0=y0/[25(y0)^2+9]/10=10y0/[25(y0)^2+9]。
当y0=0时，k=0。
当y0＞0时，k=10/(25y0+9/y0)，然后用基本不等式就可以得到此时0＜k≤1/3。
当y0＜0时，k＜0。
综上，可知直线OQ的斜率的最大值为1/3。
整体来说，这道题的难度不算大，不过考虑到这是一道文科高考数学题，这个难度也算是中等了。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？