大家好！本文和大家分享一下这道2021年高考全国乙卷理科数学的压轴题。这道题综合考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单几何性质、圆的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数的几何意义、点到直线的距离公式等知识。很多学生看到是压轴题就直接选择了放弃，但是学霸却说这道题并不难。
先看第一小问：求p的值。
由抛物线C的标准方程可知，焦点F(0,p/2)。由圆M的标准方程可知，圆心M(0,-4)，即抛物线C的焦点F和圆M的圆心M都在y轴上，所以点F到圆M上的点的最小距离就是点F到圆M与y轴上交点(0,-3)之间的距离。即最小距离为p/2+3=4，解得：p=2。
再看第二小问：求△PAB面积的最大值。
要求△PAB面积的最大值，首先要将其面积的表达式求出来。由于点A、B在抛物线C上，所以AB为抛物线的弦，也就是说我们可以用弦长公式求出 AB 作为△PAB的底，再用点到直线的距离公式求出点P到直线AB的距离作为△PAB的高，然后再用三角形面积公式就可以求出表达式，最后在求最大值即可。
由(1)可得，抛物线C的方程为x^2=4y，即y=x^2/4，所以y'=x/2。
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，由于PA、PB是抛物线C的切线，所以根据导数的几何意义及直线的点斜式方程就可以得到直线PA的方程为：y=x1(x-x1)/2+y1，而(x1)^2=4y1，所以y=(x1x)/2-y1。同理得到直线PB的方程为：y=(x2x)/2-y2。
由于点P既在直线PA上，又在直线PB上，所以有y0=(x1x0)/2-y1，y0=(x2x0)/2-y2，所以直线AB的方程就是：y=(x0x)/2-y0。
接下来，联立直线AB和抛物线C的方程，消去y，整理得到x^2-2x0x+4y0=0，于是由弦长公式可以得到： AB =√[1+(x0/2)^2]·√[4(x0)^2-16y0]=√[4+(x0)^2]·√[4(x0)^2-16y0]。
然后，根据点到直线的距离公式可得点P到直线AB的距离为：d= (x0)^2-4y0 /√[4+(x0)^2]。这样就可以得到△PAB面积的表达式。接着，消去表达式中的x0得到关于y0的表达式，并根据点P在圆M上求出y0的取值范围，再根据函数的单调性求出面积的最大值。
这道题的难度不大，但是计算量还是不小，在计算过程中一定要细心，否则很容易出现计算错误。
这道题就和大家分享到这里。