2003年北京高考数学压轴题, 抽象函数问题, 很多学生题都没读懂

大家好！本文和大家分享一下这道2003年北京高考数学压轴题。这是一道新定义的抽象函数的题目，新定义题目的难度在于读懂题意，读懂定义，而这道题很多学生连题都没有读懂，从而导致不知道从何下手。下面我们一起来看一下这道题。

要理解这个新定义的函数，需要抓住3点：一是定义域，为[-1,1]；二是端点值，即f(-1)=f(1)=0；三是不等关系，即定义域内任意两点的函数值之差的绝对值不大于自变量之差的绝对值。

先看第一小问：证明。

观察一下需要证明的这个不等式，可以发现x-1和1-x是互为相反数的，且-1≤x≤1，所以需证明的这个不等式就可以转化为 f(x) ≤x-1= x-1 。根据定义中的条件(ii)可知， f(x)-f(1) ≤ x-1 ，而根据定义的条件(i)可知，f(1)=0，代入后即可证明结论。

再看第二小问：证明。

根据定义的第二个条件可知，当u、v均在定义域内时，有 f(u)-f(v) ≤ u-v ，而第二小问要我们证明的是 f(u)-f(v) ≤1，那么我们就可以对 u-v 的范围进行讨论。

最后看第三小问：存在性问题。

当u、v都在[0,1/2]上时，有 f(u)-f(v) ＜ u-v ，则 f(1/2)-f(0) ＜1/2。又f(x)是[-1,1]上的奇函数，所以f(0)=0，则 f(1/2)-f(0) =f(1/2)＜1/2，与前面的矛盾。故不存在满足条件的奇函数。

这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？