数学的尽头是逻辑

集合学作为数学基石的重要之处是毋庸置疑的，但是在整个数学学习的过程中不管是老师还是学生似乎很难意识到集合所起到的基石作用。

从数学的角度来说，所有的数学学科都可以用“集合语言”进行刻画，在集合语言的描述之下，每个科目都变得非常的清晰。不管是变量的变化范围，还是函数的定义域、值域，以及事物与事物之间的关系，使用集合语言总是那么精准、便利。

可是对于初学者来说，集合作为语言往往很难入门，很容易把集合当作类似于算术中的计算，忽视集合背后的思维习惯。

初学者，往往会把集合当作一个最新的事物移植到脑海中，但是此时此刻学生的思维语言并不是集合语言，而是日常语言。更有甚者是没有掌握逻辑的最为基础的日常语言。在以这种缺乏逻辑的日常语言作为底层语言进行思维的时候，不仅仅很难使用集合语言进行下一步的学习，甚至集合本身的学习都会带来一些问题。

由于集合学习涉及到最为底层的语言和逻辑，很多数学老师包括学习者都很难了解到集合中的一些证明方法，更难以发现集合学习中出现的问题背后深层次原因。

比如说，有学生证明集合的交换律的时候，是这样证明的：

可以看到，这位学生并没有弄清楚逻辑词“或”的作用，或者说没有把逻辑转化为“集合语言”，在数学中有很多符号来表示逻辑关系的，比如说集合中的“”表示“或和且”，方程中的“大括号”表示逻辑词“且”。

在数学的学习中，我们很多同学看到教材或者习题呈现出来的信息的时候，往往不重视这些表示“逻辑词”的符号，以至于对得到的信息进行处理的时候没有按照逻辑的方式构建各个信息之间的关系，对这些符号的忽视或者说无视在数学学习和教学中非常常见，也给学生的学习和问题解决带来了很大的困难和障碍。

弄清楚教材和习题中信息之间的关系并转化为“数学语言”，通过数学语言才能够高效地进行相对于的分析推理和计算，可惜的是我们的教学和学习注重到了数学语言的高效，却忽视了“日常语言”向“数学语言”的转化，如果无法或者不容易把日常语言转化为数学语言，在实际问题中利用数学解决问题就成为空谈了。

这里所说的数学的尽头是逻辑，除了集合语言的构建和逻辑密不可分之外，还说明逻辑是认识外部世界和解决问题的最基本最底层的思维形式，数学语言则在这个基础上更进一步，可是这个更进一步并没有“日常语言”那么自然，若被忽视很容易出现各种各样学习障碍和困难。