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350年全人类的智商接力,只因他留下的那个“证明:略”

大道朝天

2022-09-30 17:42广东

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几个简单符号组成的一道方程。

它的证明者只是随意把结论定理遗留在草稿纸上。

却不知道定理背后神秘的证明过程吸引了无数数学家的痴迷探究。

它引发了一场历时350年的全球高智商接力赛。

中国古代对数学早有惊世骇俗的研究。

在公元前1000多年,人们就用经典的勾股定理砌出完美的梯子。

而要是问为什么距离3米墙体4米远的地面搭梯子,需要5米的建材?

这并不值得深究考虑。

理论依据不重要,在实际应用中的确能高效完成生产、生活需要。

当时的数学更多是经验科学,生活实用性是数学研究的主要目的。

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而在西方国家,数学研究更像是纯数学活动,而不是为满足人们日常生活的需要。

在他们看来,数学成了一门茶余饭后消遣娱乐的脑力运动。

定理的设想固然重要,但究其根本的钻研过程更能让人燃起思考的火焰。

从一步步推理到结论产生的证明过程,这才是他们所痴迷的根本。

在古希腊,勾股定理最早是由毕达哥拉斯证明的。

因此西方国家,这被称为毕达哥拉斯定理。

由于它与人类生活息息相关,两千多年来激起无数数学家的兴趣与研究热情。

目前已经是数学定理中证明方法最多的定理之一,约有400种证明方法。

而这一个看似简单的公式,在费马的思考下有引申出一个著名的定理。

这个定理掀起了一场轰动全国,并且350年不停息的数学热潮。

毕达哥拉斯从地砖得到的证明灵感

皮埃尔·费马并不是一名专业的数学家。

在他生前也没有向大众展示过他那些了不起的数学理论。

实际上,他的本职工作是法国图卢兹议会的大法官。

而在脱下的法官袍的业余时间里却喜欢研究数学问题。

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费马

在他死后,后人发现他的遗留手稿中发现了许多数论和微积分命题。

经过后人的研究,其中大部分都已经得到证明。

而只有一个前所未有的结论,让所有数学家都感到心有余而力不足。

这个结论被称为费马大定理

也因为是遗留下来的最后一个未解决的定理,而叫做费马最后定理。

费马的另一个理论:费马螺旋

毕达哥拉斯学派认为,数是统治世界万物的奇妙存在。

只有像他们那些高智商的圣贤,才能从数学中发掘出普通人无法感悟的规律。

也许数学家大多数都具有智商上的优越性。

而费马虽然只是个业余数学家,但也是个典型秀智商的人。

他的费马大定理之所以引起全世界数学家的高潮。

不仅是因为结论多么的惊世骇俗,另一个重要的原因是——他没有写出证明过程。

关于费马的音乐剧表演

在阅读数学书籍的过程中,他习惯把随想的一些思路写在旁边空白的地方。

虽然他的手稿并没有公布出去而获得读者阅读。

但他还是对于证明思路讳莫如深。

他往往只会写出推导得到的定理,而不会保留证明过程。

有趣的是,他还在手稿中自言自语地找借口逃避书写思路。

费马的手稿之一

比如“我可以证明这个结论,但现在我必须去喂猫了。”

或者是“我可以证明这一点,但我要去洗头了。”

类似的一句话说明直接终止了对于定理的证明。

因此许多数学界内的学者对他是既钦佩又讨厌。

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而1637年,他在研读希腊数学家丢番图的著作《算术》。

其中的毕达哥拉斯定理就触碰到了他的灵感开关。

经过脑中一系列的风暴席卷,和草稿纸上的少量计算。

他在书本的空白处写下了费马大定理。

在简洁的一条定理下面,他还补充了一句说明:

我有一个奇妙的证明过程,但空白处太少,写不下了。

费马大定理:当n>2时,这个等式不存在整数解

这一句欠揍的话直挠得人心痒,费马大定理因此成为了悬而未决的疑团。

费马就像在一片神秘森林的尽头放置了一个宝藏。

而通往尽头的路却被他隐藏了起来。

每一个人都想找到那一条通往宝藏的路,从而得到无尽财富。

对于数学家而言,这里面蕴藏的精神财富就是费马大定理诱人之处。

人们翻遍他的几乎所有手稿,只从中找到了n=3时公式不成立的证明方法。

此后两百多年的数学史中,就是后人在数字的海洋里不断求证的过程。

直到1955年,人们已经证明了4002以下的数都满足费曼大定理。

而到了1985年,通过计算机已经可以证明4100万以下的数。

然而,数字是无穷无尽的。

无论是通过人脑运算还是借助电脑的力量,永远有“无穷大”的魔鬼在未知的前方萦绕。

19世纪中期,法国女科学家热尔曼就指出了当时解决方向上的错误。

她认为,要解决费马大定理还得有一个概括性的方法论。

从中将所有的情况实现证明,而不是在无尽的数字中苦苦摸索。

热尔曼是第一位以本名记录在数学史上的法国女科学家

这个全新思路的纠正点醒了当时陷入困境的数学界。

人们仿佛看到了通向森林尽头的曙光。

法国科学院的人员也高兴坏了,甚至以为由法国人提出的定理,也终将由法国人来解决。

于是它们拨了一大笔奖赏基金,准备奖励给解决费马大定理的人。

法国科学院

实质性的奖励给原本的精神财富增添了实际价值。

虽然这一定程度上更加激发了数学家的研究热情。

但这终极难题可不是凭一时热情就可以解决的。

正当人们涌向法国科学院,展示自以为正确的研究成果时,

德国数学家恩斯特·库默尔却给初现的希望浇了一盆冷水。

恩斯特·库默尔

库默尔是法国科学院请来对投稿者的研究进行检验的数学家。

他在审阅过许多份材料后,也得出了一个精确的证明结论。

但他的证明并不是针对费马大定理,而是针对对于费马大定理的研究。

他认为,用当时的数学工具,人类是无法解决费马大定理的。

这无疑是把这些年来的成果投向无意义的深渊。

他在数论领域做出了很大贡献

如果仅以这一个难题为唯一宇宙维度,那么宇宙就此静止了100多年。

而期间费马大定理已然是困扰数学界的著名难题。

甚至在一些少儿读物中都有这个难题的简易解释。

这个深奥的定理逐渐普及到普通民众,也许是为了增大解决的概率吧。

说不定有像高斯这样的数学小天才不经意解决了世界难题呢?

天才数学家高斯

20世纪初期,事情出现了一个价值100万英镑的小插曲。

这个契机与数学界没什么关系,而是由一位德国富豪企业家推动的。

沃尔夫斯凯经历了一次惨痛的失恋后,决定当晚的12点钟准时自杀。

但在安排好遗嘱等事项之后时间还没到,于是找来一本书阅读打发时间。

沃尔夫斯凯

这时,戏剧性的一幕就发生了。

书中费马大定理的内容深深吸引了沃尔夫斯凯的注意。

他原本也对数学有些兴趣,但以他的水平自然没法证明出来。

但这一算,不知不觉竟错过了原本要自杀的时间。

而为了感激费马大定理给了他生存下去的斗志,他决定拨款10万马克(在当时大概相当于100万英镑)设立沃尔夫奖*,以奖励证明定理的人。

*注:这个奖项后来被视为数学界的诺贝尔奖,也是奖励解决费马大定理最大金额的奖项。

沃尔夫奖牌

而另一个人也是从书上了解到费马大定理,但他可就比沃尔夫斯凯幸运多了。

他最终证明出费马大定理的合理性,终结了350年的世纪难题。

安德鲁·威尔斯是一个生活在美国的英国人。

10岁的一天,他放学后去图书馆看书,在《数学的最后问题》一书中展开了与费马大定理的奇妙偶遇。

自此,威尔斯内心对于数学的浓厚兴趣被激起。

这也直接导致了他后来的学习、事业都与数学紧密联系。

他在剑桥大学读完博士之后,就到普林斯顿大学担任数学系教授。

不过他研究的领域却是椭圆曲线,与费马大定理没有太大关联。

本以为他这辈子就和费马大定理失之交臂。

但他心中始终留存着10岁那年,从书本上得到的震撼与无法割舍的情结。

而一个奇妙的联系却把他的研究和费马大定理牵连起来。

二战结束后,日本的两位数学家谷山丰和志村五郎在废墟中继续着科学研究。

他们提出了一种模形式的数学思路。

也就是,在几何关系中存在着与数字关系一一对应的关联。

威尔斯从中受到启发,于是开始用模形式,搭建起椭圆曲线与费马大定理之间的桥梁。

而这一个复杂的数学工程,他铸造了7年。

复杂的推算过程

1985年,威尔斯开启了漫长的解题之旅。

然而在竞争激烈的科学领域,尤其是持续热门的费马大定理,各方对于自己的研究都相对保密。

于是他机智地对自己的研究加上一层隐蔽的保护。

在7年的时间里,他实际上闭关一心钻研费马大定理。

但却不时将之前关于椭圆曲线的一些研究成果拆解,再进行发表。

在外界看来,他似乎只是年岁已老,对于科学研究已经精疲力尽了。

大家对此还抱以遗憾与同情,却不知背地里一个即将撼动数学界的重磅炸弹悄然来袭。

1993年,威尔斯公布他证明了困扰三个多世纪的数学难题,费马大定理。

两篇共129页的论文详细叙述了论证过程。

其中将前人的理论方法借鉴而来,在结合自己的转换推理。

这一巨大成就让各国数学家都为之兴奋与惊奇。

他们从中感受到大定理美妙的数学魅力,却也不由得敬佩。

威尔斯与费马大定理纪念碑

后人已经无从得知当初费马是否就是用威尔斯的证明方法推断出费马大定理。

但这个疑团已经不重要,重要的是人类350年对于它的求证过程。

对真理的求知不在乎时代,不在乎国界,不在乎金钱。

而是人类与生俱来的,在精神层面上的探索与追求。

*参考资料

Wiles's proof of Fermat's Last Theorem. Wikipedia.

Pierre de Fermat. Wikipedia.

罗辑思维2014 第27集:费马大定理. 2014.8.17.

Simon Singh. Why it's so impressive that Fermat's LastTheorem has been solved[J]. The Telegraph. 2016.

董张维. 费马的最后定理[J]. 数学通报, 1985(9).

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