弦理论是统一量子力学、引力和广义相对论的主要科学成果之一。这个理论带来了惊人的预测，最引人注目的是，我们生活在一个更高维度的世界，而不是一个三维世界（相对论是四维时空）。
根据弦理论的不同，额外维度的数量也不同。然而，这些额外的维度在哪里呢？到目前为止还没有人注意到它们。这就是我们的弦理论吗？显然不是，否则，成千上万的物理学家不会把他们的一生奉献给这个物理学分支！
在本文中，我想让这些想法更具体一些。我们将看看“上帝的主方程”之一， 薛定谔 方程，并把它应用到“玩具”世界。这让我们看到，卷曲的额外维度有什么影响，以及我们如何观察它们。
薛定谔方程（没有额外维度）
我们的“玩具”世界只有一维，一个缩小版的平面。它向两个方向无限延伸。这个玩具世界的薛定谔方程式是这样的
其中()为系统的势能函数，为总能量。让我们进一步假设把一个粒子困在一个很小的体积里，比方说在=0和=之间。我们以某种方式把它控制在这个区域，它可以在那里自由移动，但它无法逃脱。这可以用势能函数来描述
所以薛定谔方程化简 成
边值条件是
否则薛定谔方程就 不能 在势能无限的区域中得到满足。在这种情况下，薛定谔方程简化为谐振子的形式，满足边界条件的解为
其中是一个≥1的整数，是某个常数。把它插入薛定谔方程中就得到了
或者
所以粒子有一个离散的，尽管有无限个允许的能级。越高，能量越高。没什么特别的。
额外的卷曲维度
额外的卷曲维度？如果你用实数线表示一个标准维度，那么这个维度在两个方向上都无限延伸。卷曲，或者用技术术语来说：紧化，意味着我们将那些相距距离的点定义为相同的点。所以当你沿着这条轴移动一段距离，你会在你开始的地方结束。我们所做的就是把这个维度变成一个圆圈，这就是为什么人们叫它卷曲的维度。
假设在“玩具”世界中，除了正常的维度外，还有一个额外的卷曲维度我们称这个方向的坐标为。假设我们捕获了一个粒子在-space的同一个区域。那么
我们可以很容易地用分离方法将这个偏微分方程转化为常微分方程
代入薛定谔方程得到
其中，上标符号分别表示对单个变量或的导数。除以：
也可以写成
注意，这里的左边是的函数，而右边不是。右边是关于的常数。我们称这个常数为-^2。然后，乘以，我们可以将方程写成
这就是谐振子的方程，它的通解是
同样的论证也适用于，但这次是针对，而不是。在这个例子中表示常数，我们有
让我们在边界条件下固定一些常数，得到
此外，我们有
因为_1不可能是零（这意味着=0，这意味着根本没有粒子），我们必须有
对于()，唯一的边界条件是维度是卷曲的，所以
这意味着常数必须具有正确的大小，使周期等于：
其中≥0为整数。
总之，我们有了波函数的解
将解代入薛定谔方程，就可以得到允许的能量
这取决于和。=0是允许的，所以在这种情况下，变化的能量是相同的，没有额外的维度。但是通过>0，我们可以获得额外的能量级别！为什么我们还没有观察到呢？
因为，如果非常小，那么来自额外维度的能量项是巨大的。所以，在这种情况下，任何来自额外维度的能级，只有在非常高的能量时才会可见。如果真的很小，那么所需的能量是如此之高，以至于我们目前的技术无法观察到。但也许，在未来的某一天，我们可以做到。