作者：克莱因
来源：通俗数学名著译丛23——《现代世界中的数学》序
数学是人所创造出的最简单的系统的学科。比如说，它远比物理学、历史学和经济学简单。它之所以简单是因为它只限于现实的很有限的侧面。十个人就是十个很复杂的心理和生理有机体，其结构与功能我们只是部分地了解。与之相比，想要认识并保持其数为10这个数量上的事实却是微不足道的事。一块木做的三角形是说不清有多少个复杂的分子被复杂的力联在一起。不论是分子的结构还是把它们联结在一起的力，甚至最伟大的物理学家也未能完全懂得。但是数学家只研究其三角形的形状，完全不管其分子结构与力，数学所关心的概念的简单性几乎保证了，由数学所确定的关于这些概念的事实必然也是最基础的。尽管有这种简单性，大多数人仍然抱怨数学难于掌握，尽管它在生活的几乎每一步都有惊人的效用，因此应该引起兴趣，这些人仍然躲着数学。
一个本质上简单的学科却难于学习，这件怪事很大部分容易解释。有些困难是表面的。其一是词汇，数学家用一些对普通人很生僻的词来表达这从实际事物中抽象出来的概念。如“四边形”和“平行四边形”有一些在其他领域遇不到的特定的精确含义，要研究数学就得学着用。然而谁也不会争辩说学会用新名词就是主要障碍。学会用新名词当然不是一种愉快的消磨时光的玩意，它是另一码事，但其困难决不会大于学会法语词汇。
另一个看得见的，但同样是表面的困难是使用符号。我们要解决一个问题，以某些已给的信息为基础决定一个未知数，设此未知数是某一个长度以尺计的数字，用x去代表这个长度，而在以后就只用符号x而不去说这么长一句话，肯定是有利的。然而使用符号不会产生任何概念上的困难。
人们设想到的第三个困难是抽象性，但是由于基本的抽象或概念是直接来自日常经验的，人们心中很容易保存它们的含意，事实上，数学家不断地诉诸物理对象和物理图像，以便不忘记这些抽象概念的含意。古希腊数学家用小石子代表各类对象，用小石子学会了自然数的基本事实。顺便说一下，“计算”一词，广义地即表示任一个算术或代数过程，它的英文字 Calculus的拉丁语源就是小石子。甚至更高级的数学抽象如微积分学中所学的导数和积分，说到底离这些初等概念仅一步之隔，甚至微积分的概念也有图像的和物理的意义。要学会这些抽象概念，比学习初等概念并不要求更高的智力。
有一个在数学圈子里相当流行的故事，体现了数学家其实是用图像来思考的。一位教授在给班上学生讲定理的证明时突然中间停住了。他走到黑板角上，画几个图，想一想，然后擦掉这些图继续讲他的证明。这个故事也揭露了教学方法的某些侧面，就用不着说明白了。
学习数学还有一些可能比较本质的障碍。小学、中学和高等学校都是为了使我们准备好走向生活，我们都必须准备好进入20世纪的复杂的文明，但要有充分的准备，需学的东西很多，学科的次序安排，以及在各学科之内各个课题之先后，还有教育的进度，都是为了保证这种准备。然而，为了走向生活而做的有效的训练，要求以牺牲理解为代价，至少在数学中是如此。
数学的完成了的形式是一系列概念、一系列程序，例如求解某种类型方程的方法，还有一系列事实，例如定理。当然，程序和定理都要通过证明来确认。要想教会人这些数学的元素，最容易的方法似乎莫过于用这些概念、过程、定理与证明的最终的、确定的形式去教学生。但是数学是门老学科，它的某些重大的成就可以追溯到公元前3000年，过去五千多年里数学家不仅极大地扩大了这个学科的领域，而且当他们一步步扩大其领域，当他们不断认识了新的客体和现象，当他们不断改进自己的理解，他们也就重塑了这些概念、程序与证明来把这些成就组合起来。这些订正了的版本有许多就不再清晰易懂了。
此外，数学的分量在增加，最好把它组织起来，使关于同一主题的许多定理有合逻辑的次序。每一门学科的基础是公理，后面就是一串定理，每一个定理都用公理和前面已证的定理来证明。把结果按这样的合于逻辑的次序来安排，这种需要就迫使数学家找出新的、不甚自然、不甚明白的证明。结果是许多证明都被除去了它们的直观、透明和易于理解的面貌，而被十分人为的证明代替了。这种逻辑表述使人想起大文豪撒缪尔·约翰逊（ Samul Johnson）的一件轶事。他曾对一个人讲解了一个问题，此人仍感不满足，坚请他作进一步的解释。约翰逊多少有些生气，尖刻地回答说：“我已经给了你一个论证，我没有义务再给你一个解释。”
表述上的有效性似乎导致忽视数学的另一个特点，而这个特点对于理解数学却是至关重要的。数学本身是一副骨骼，数学的血肉和生命在于用数学做什么。有意义的数学（也存在没有意义的数学）要为一种目的服务，这种目的用笛卡儿的话来说，就是使人成为大自然的主人和占有者。数学的意义在于数学本身之外，正如好的文学作品的意义在于纸面上文字的堆积之外，要懂得数学就要知道为什么需要这个结果，它和其他结果关系如何，用它可以做些什么事。
学校由于它的目的和义务繁多，有时能够，有时又不能够给数学一种更有启发性的讲法。有志于此的学生必须要走得远一些，寻求一种完全的知识。要对数学有较彻底的理解与领会，就必须去掉那些纤巧的细节，深入到其深层的思想之中；要知道它的目的和用处，知道创造它的人们的动机，以及这些概念和结构的创生背景。