作者：徐利治
来源：《数学方法论选讲》
人物简介
徐利治（1920年9月23日—2019年3月11日），是国内外著名的数学家、教育家。出生于江苏省张家港市，1945年留在西南联合大学任华罗庚助教，1946年加入中国共产党。1949年赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问进修各一年，1951年担任清华大学数学系副教授，兼任北京师范大学数学系副教授，1952年到长春组建东北人民大学（现吉林大学）数学系，1981年担任大连工学院（现大连理工大学）应用数学研究所首任所长；是《逼近论及其应用》主编、《数学研究与评论》名誉主编、《高等学校计算数学学报》名誉主编，以及德国《数学文摘》杂志评论员大连理工大学教授。致力于分析数学领域的研究，在多维渐近积分，无界函数逼近以及高维边界型求积法等方面获众多成果，并在我国倡导数学方法论的研究。
§1.何谓数学上的发明或创造？
数学对象和数学真理具有客观性，所以对待数学上的创造性新成果有时用发现来代替发明一词。例如人们常说：“牛顿和莱布尼茨发现了微积分原理（即微积分基本定理）。”这就是因为原理的存在是客观的。但是人们也常说：“他们发明了微积分学。” 这话也说得通，因为微积分学中的一系列符号表示方法和计算法则是由他们创造的。这些都带有人为制作的性质，所以也不妨叫做发明。一般说来，技术科学领域中的创新叫做发明，自然科学领域中原理的觅得叫做发现。至于在数学领域中，发现和发明两词就经常混用了。如果按照极端主义者Kronecker 的说法：“数学上只有自然数是上帝创造的，其余一切都是人为的。”那末数学上的一切创新或发现都可叫作发明了，但是这位直觉主义先驱者的观点是明显地违反反映论原理的，故不足为训。
数学上界定的大量重要概念和引入的许多巧妙构思确实是人脑的能动性产物，故把它们称作发明或创造是很合适的。例如，实现多值复变函数单值化的黎曼面表示法就是一种巧妙的发明。又例如高斯-勒让德的最小二乘法，庞加莱的非欧几何模型，A. Robinson的非标准分析等等都可叫作发明或创造。
一般说来，凡在数学上创立新概念、新理论、新模型，提出新方法，证明新定理等，都可叫作数学领域中的发明或创造。
粗略说来，数学上的发明创造有两类，一类是首创性的或开拓性的发明创造，即基本上不依赖于或较少依赖于既有成果的某种开拓新领域的工作。例如解析几何的发明、微积分的发明、群论的创始、Kummer理想数论的提出以及前一段中提到过的若干例子都属于这一类。另一类是继承性的创造。这主要是指那些在前人已经建立了的重要成果基础上所作的发展性或改进性的工作。例如，现代数学文献上所见到的绝大部分工作成果都属于这一类．当然，发展性的工作中有时也会出现阶段性的飞跃或突破，这又必然带有首创性的因素。所以关于创造性成果的分类，只能有一条模糊的界限。
§2庞加莱关于数学创造的论点
庞加莱( Poincare 1854-1912）是位举世闻名的博学多产的数学家和物理学家，他的思想活泼而丰富。他曾以自己发现福克斯函数的经历为例表述过数学创造的心智活动规律。其实他所论述的也是一般科学创造的心智过程。他有如下一些论点。
（一）无论是数学还是物理科学，其发明或发现的方法都是相似的。
所谓发现或发明无非就是一种 “选择” 而已。正像在物理科学领域中,选择“可发现定律之事实”，乃是完成各项发现的重要关键那样，数学的发明就是要在数学事物的无穷无尽的组合之中，选择出有用的组合，拋弃无用的组合，从而取得有用的新成果。庞加莱曾形象地把存在于人脑中的种种数学思想或概念叫作“观念原子”。它们都是一群原来挂在墙上的带钩子的原子，在开动脑子机器后，成群的观念原子便在空中翩翩起舞。原子间的相互组合将能产生新的观念原子。但是组合方式是无穷无尽的，只有通过某种美妙的选择形成的结合（组合）才能产生出极为有用的新观念原子，也即形成数学上有用的新思想或新概念。
（二）选择能力决定于数学直觉。
试问：人脑为什么能够将表面上看来并无联系的一对观念原子结合起来产生一个新而有用的概念呢？原因就在于人们头脑里存在着一种关于数学秩序的直觉，也即关于数学事物关系和谐性的直觉。这种所谓的 “数学直觉”正是赖以对无穷无尽的组合（或观念原子的结合方式）中作出有用选择的一种鉴别能力。
庞加莱认为，有些人具有极好的记忆力，但是上述的数学直觉力不强，所以虽然能够学会和掌握数学，但却无力创造。相反，另一些人虽然记忆力并不极佳，但却具有很强的数学直觉力，因此，这种人能有所发现和创造。可以说，一个人的直觉力的多寡将决定他创造成绩的大小。
阿达玛 ( Hadamard 1865-1963）曾发展了庞加莱的学说，在他所著《数学领域的发明心理学》一书中（有法文本和英文本)，曾详尽地论述了选择能力的基础——“数学直觉”的心理学要素。阿达玛认为数学直觉的本质就是某种“美的意识”或“美感”。其实这就是对于数学事物间存在着的某种隐微的和谐性关系与秩序的直觉意识。这种美的意识力越强，发现和辨认隐微的和谐关系的直觉力也就越强，从而选择能力也就越强。
（三）数学直觉导致“最佳选择” 的心智活动形式为顿悟，而顿悟产生前存在着一个未被清楚地意识到的 “无意识过程”。
无意识的活动过程是受着美的意识支配的，它是酝酿着最佳选择或美妙选择的契机，所以无意识活动或大脑的不自觉工作终将导致突然的彻悟即顿悟的出现。但是无意识过程往往产生于长久的自觉工作之后。假如没有自觉的工作阶段，即缺少有意识地自觉地开动大脑机器的阶段，悬挂在墻壁上的那些有钩子的“观念原子”，就不能被动员起来使之翩翩起舞；从而也就谈不到有任何相异的“观念原子”互相结合的机会，当然也就更不会有什么组合的选择可言。总之,若是事先没有自觉的工作和有意识的努力，则大脑中也不会有无意识的活动和不自觉的工作，因而也不会有顿悟出现。
那么为什么无意识活动过程能产生有用的顿语（即观念组合的最优选择）呢？这是因为对于事物关系和谐性的美感（或美的意识）能力在无意识的心智状态下可以免除任何条条框框的限制，能最自由地、从容不迫地去作出最优选择的缘故。
不只是数学创造，即使像文学艺术领域的创造性灵感或顿悟，也往往产生于无意识活动阶段。例如中国古代大文豪欧阳修谈到过所谓 “三上文章 ” 的经验，他的一些文学作品的构思往往产生厕上、马上或枕上。这就是说，正是在厕上、马上或枕上的时候，特别有利于欧阳修的文学思维进入无意识阶段，从而能产生出美妙的文思或灵感，类似于科学研究中的顿悟。事实上，枕上能形成科学发明的顿悟现象，科学史上也不乏其例，例如笛卡尔解析几何的萌芽思想即产生于凌晨枕上初醒的时候。
很显然，庞加莱与阿达玛关于数学创造的心智活动过程中的“无意识活动”的理论，乃是对心理学上顿悟形式的深入阐发。他们的有关论述，对现代心理学的研究工作者有相当影响。他们的一系列论点多少阐明了自觉的工作与不自觉的工作、有意识的努力与无意识活动之间的辩证关系，应该说，在科学哲学上是有其合理性的一面。
往年有些人往往把庞加莱-阿达玛关于数学创造的心智活动学说，当作是纯粹唯心论的东西看待，因而不敢多作介绍。看来这是一种不必要的误会。
§3略谈数学创造的一般心智过程
上一节中谈到了有意识工作的重要性，用庞加莱的话来说，只有自觉的有意识的工作才能驱使“观念原子”飞舞起来，并通过观念原子间的结合产生出新的思想或有用概念。若按现代创造发明学的观点来说，就是要积极开动大脑机器,掀起所谓 “脑风暴”。脑风暴常常出现在心理学上所谓的“烘热期”。那是一种在脑海中迅猛地涌现出种种现象、联想、猜想、假设和非逻辑思维的心智活动形态。
人脑思维运动的烘热期或脑风暴不能立即产生，一般至少需要精神贯注地连续工作一两小时或两三小时才能逐步形成。有效的脑风暴必须联系着一个明确的目标，如需要解决某个数学问题，或希望取得某种数学发现等目标。一般说来，开展脑风暴的目的性越强，其效果便越好。这是十分显然的，脑风暴所联系的目标或目的，将成为思维运动的联系中心，于是脑海中涌现出来的联想、猜想、假设和一切非逻辑思维将会围绕该中心展开，从而有利解决了问题达到目标。
根据“发明心理学” 的研究，在脑风暴的初始阶段通常只能涌现出一系列十分平凡的思想、观念及其组合，而这些显而易见的观念及其组合往往并不能帮助解决问题。因此要想获得创造或发现，还必须使脑风暴坚持进行下去。比方说，脑风暴持续两个小时或一个半小时，则最后半小时就可能出现寥寥无几的或极为罕见的新思想或新观念，可是它们却是较为深刻的甚至可能是有助于解决问题的思想或观念。
根据庞加莱和阿达玛的学说，彻底解决问题的新思想或新观念（或所谓顿悟）通常未必出现在脑风暴进行之际，而往往产生在脑风暴平息之后的无意识活动阶段。上一节中已经详细地阐明了无意识过程对选择观念组合的特殊重要作用（无意识过程或无意识境界并未让一切观念原子都停止了活动；而通过审美意识选择出来的个别观念原子间的奇妙组合却会给出有用的顿悟）
一般说来，顿悟只是帮助数学研究工作者形成合理的设想或猜测，而要实现设想或验证猜想还须继续进行有意识的工作甚至是艰巨的工作。因此要完成数学上的任何创造或发明，通常总须从有意识的工作开始，最后还须用有意识的工作来结尾。那么，是否任何创造发明过程都必定包含着无意识的活动过程呢？换言之，无意识作用是不是发明创造的必要条件呢？看来未必如此。固然数学上的创造或发明往往联系着新思想、新方法或新概念的提出或引入，而崭新的思想、概念或方法又往往来源于顿悟；但是顿悟既可能产生于无意识活动阶段，也可能形成于脑风暴进行的末尾。
从事创造性活动的数学工作者，既要善于进行发散思维，又要善于进行收敛思维，发散思维是一种取得合理设想或猜想的思维形式，它包括着联想、想象、模拟、类推和直观推理 （又称似真推理）。显然在脑风暴进行过程中，发散思维扮演着主要角色。
因为数学创造可分为取得合理设想和验证合理设想两个基本阶段，而验证主要是靠合理的逻辑思维，也就是收敛思维，所以富于创造力的数学家还必须是擅长于收敛思维的高手。但是,一般说来,数学上的新思想，新概念和新方法往往来源于发散思维，所以按照现代心理学家的见解，数学家创造能力的大小应和他的发散思维能力成正比。详细说来，任何一位科学家的创造能力可用如下公式来估计：
创造能力=知识量×发散思维能力
这个公式有一定的道理，因为知识量越大,则联想、类比、想象的领域就越广,从而产生出新思想、新概念和新方法的机会也就越多，所以科学家(包括数学家)的创造能力又同他的知识量成正比。事实上，很难设想知识面极狭窄的学者能有多大发明创造能力。
发散思维是以感觉或直觉为基础的非逻辑思维形态，所以在数学创造性思维过程中，它是一种不严格的思考方式或方法。数学必须要求精确而严格，所以接受过数学教育熏陶的人又往往会排斥或鄙视不严格的发散思维形式。但是，真正具有数学创造力的科研工作者，按照前面介绍的公式来看，就必定是既善于严格思维又善于不严格思维的人。事实上，由前面的详尽分析已能够得出结论，“数学创造往往开始于不严格的发散思维，而继之以严格的逻辑分析思维，即收敛思维”。
仔细说来，数学创造的心智活动过程是异常复杂的。要阐明一些过程细节，非剖析实例不可。但为了节省篇幅，此处仅就一段心智过程略作介绍而已。