三、数学物理学派——从格林到麦克思韦
分析学会一扫牛顿以后英国数学僵化、沉闷的空气，为剑桥历史上一个新的光辉时期揭开了序幕。然而学会成员们本身，他们后来的工作领域大都离开了分析：巴贝奇(Charles Babbage)长期为设计制造他的计算机而奔忙，赫歇尔(William Herschel)成了天文学家，皮考克(G. Peacock)也许是同数学保持了最密切关系的一位，但他的兴趣转移到代数方面。沿着分析学会开辟的道路前进，在分析 领域中攀上新的高峰而使剑桥数学威名重振的任务，是由剑桥数学物理学派来担当的， 而其中一位承前启后、继往开来的人物，就是乔治·格林(George Green) 。
图1 牛顿
（一）乔治•格林(1793-1841)
格林是一位自学成材的的数学家，他的父亲是诺丁汉市的磨坊主。格林很早就在父亲的磨坊里做工，他的数学知识几乎全是通过业余阅读得来的。法国数学书此时已不再像过去那样难得。格林把磨坊顶楼当作自己的书斋，攻读从市里的一个叫勃隆利的图书馆借来的拉普拉斯、拉格朗日等人的名著，并于1828年写成了他的第一篇也是最重要的一篇论文——《数学分析在电磁理论中的应用》。当时是他的朋友们集资帮他印发了这篇论文，订阅者中有一位恰好是早年分析学会的发起人之一勃隆海德。勃隆海德也是诺丁汉市的地方贵族，他认识到格林的才能，鼓励格林进一步钻研，并向剑桥大学推荐了格林。这样，1833年，格林在四十岁进了剑桥冈维尔凯斯学院，四年后获硕士学位。
在剑桥期间，格林相继发表了一系列重要论文。他的工作的主要特色，是寻求解决物理问题的一般数学方法，这也正是后来剑桥数学物理学派的特征。格林最重要的贡献是他的位势理论。拉普拉斯在引力计算、泊松在电磁问题中都曾用到过这样的函数V，它与力场分量(X, Y, Z)有关系：
拉普拉斯指出函数V满足方程
并采用球调和方法来解方程(1)。但拉普拉斯和泊松的方法都只适用于特殊的几何形体。格林认识到函数V的重要性，首先赋予它“位势”(Potential)的名称。格林发展了函数V的一般理论，特别是建立了许多对于推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中以格林公式
和作为一种带奇性的特殊位势的格林函数的概念影响最为深远。〔7〕这样，格林同高斯一起成为现代位势理论的创始人。然而，格林作为剑桥数学物理学派的开山祖师，他的贡献远不止此。格林短促的一生共发表过10篇数学论文。这些原始著作数量不大，却包含了许多对现代数学来说极其宝贵的思想，它们的意义和影响，还大大有待于探讨。
以格林关于光的折射与反射理论的论文为例。光的波动的数学描述，在十九世纪数学家中始终是一个时髦的课题。在格林的时代,科学界所持的一种普遍的意见是把光看作弹性固体以太的振动。柯西在光以太的研究中采用了以吸引与排斥形式相互作用的数学系统的机械模型。格林对于柯西和其他学者对以太中力的性质作特殊假设的作法持批判态度，他的论文开门见山，有如下一段深刻的论述：“我们对于发光以太元之间相互作用的方式知道得如此少，因而最可靠的办法还是以某种一般的物理原理作为推理的基础，而不要去假定特殊的模式。”
格林提出作为“推理基础”的一般原理是什么呢？他表述如下：“任一物质系统的元素间不论以何种方式相互作用，若以所有的内力分别乘以相应的方向元，则对该物质系统的任一指定部分，此乘积之总和将永远等于某函数的恰当微分。”这实质上相当于能量守恒原理。格林是第一个将这种一般形式的守恒原理引入弹性力学的学者。他由此出发推导了描述光媒质振动规律的偏微分方程。在格林写成他的光学论文时，法拉第的电磁感应还刚发现不久，格林关于光波动的数学研究还不具备突破旧的机械以太观的条件，但他选择一般数学原理作为推导光媒质运动方程的基础而避免对以太的力学性质作人为假设的作法，说明他比同时期的其他数学物理学家要高出一等。
n维空间的概念是格拉斯曼(Grassmann)在1844年首先提出的。但在格林的著作中已经出现高维几何的思想。格林1835年发表的论文《论椭球体的引力》，率先发展了n元函数分析， 其中格林使用s个坐标{x1,x2……,xs} 来代替通常的三维欧氏坐标，并使用S维球体和椭球来代替相应的三维图形。在现代分析中扮演重要角色的所谓狄里希莱原理，溯其源亦为格林首创。在上述同 一篇论文中，格林假设积分（用格林本人的记号）
存在一个极小化函数V0并指出V0满足方程
这正是n维情形的狄里希莱原理。汤姆森(William Thomson)在1847年也阐述了同样的原理。汤姆森的 文章发表在刘维尔(Liouville)的“数学杂志”上，因此我们就不能忽视它对欧洲大陆国家数学家的 影响。而汤姆森本人，正如我们后面将要看到的那样，对于格林的工作是十分熟悉的。 这样，所谓狄里希莱原理实际上应该称为“格林原理”。
现代数学物理可以从格林着作中吸取营养的另一个例证是他关于水波的研究。我们 知道，一种叫孤立波的现象在现代物理的许多分支中正越来越受到重视。这现象最先由一位英国工程师罗素(S.Russell)所发现(1837)，而它的第一个非线性表述一般追溯到科特维克(D.J.Kotteweg)和代福里斯(G.Devries)合作的一篇论文(1895)。 然而，如果我们调查一下十九世纪水波方面的文献，那就可以看出一条线索，说明科特维克、代福里斯的理论，乃是近一个世纪以来一系列研究的结果，而格林的工作则一马当先。罗素1844年第二次在不列颠科学协进会上作浅水波问题报告时，曾埋怨数学家们未能预报他所观测到的现象。但在这之前，格林已经发表了两篇这方面的论文，其中第一篇几乎是同罗素的第一份报告同时发表的，格林导出的浅水波方程为：
上述方法同今天数学物理中广泛使用的所谓WKB方法完全一致。格林的贡献在数学物理史上是不可磨灭的，但他生前却一直默默无闻。他在1839年 被选为凯斯学院的成员，但一年后就不幸病故。他的第一篇重要论文，在他去世十年以后才得以正式发表。然而，格林的工作直接启导了两位强有力的人物，由于他们的影响，剑桥的数学物理开始变得名声斐然。
(二)汤姆森(1824-1907 )和斯托克斯(1819-1903 )
格林的第一篇论文因未正式发表而濒于失传。威廉•汤姆森(William Thomson，即后来的开尔文勋爵)在剑桥当学生时，有一次从牟菲(Murphy)的一篇论文的文献索引中知道了格林这篇文章的题目，但四处寻觅原作而不得。1845年，汤姆森从剑桥毕业，在行将离校 的前夕将此事告诉了他原先的数学辅导老师，出乎汤姆森意料，老师细心地收藏着格林这篇著作的非正式传本，并给了他几本。汤姆森带着这篇著作踏上了赴法国考察的旅途，在巴黎，他向著名数学家刘维尔(Liouville)和施图姆(Sturm)等介绍了格林的论文，二者阅后立即意识到此文的特殊价值，认为格林已为位势论及其应用奠定了完整的基础。后来，在德国数学家克雷尔(Crepe)的亲自赞助下，格林这篇论文终于发表在克雷尔主办的《纯粹与应用数学杂志》上(1850)，汤姆森并为此撰写了介绍格林生平与工作的导言。
图5 威廉·汤姆森
汤姆森本人从格林的工作中受到了重要的启迪。早在学生时代，汤姆森就企图寻求适当的数学理论，以对某些不同的物理领域进行统一的数学处理。1842年，汤姆森发现热平衡问题的数学解答可以被形式地移用到静电分布理论中去并且反之亦然。大学毕业前后，汤姆森着手考虑法拉第电磁感应的数学描述。就在这时，他看到了格林的著作，立即意识到格林的位势概念正是他多年寻求的普遍工具。借助于位势论，可以从数学上有效地将某些不同的物理现象沟通起来，而毋需依赖那些在当时相当流行但在他看来却很不可靠的特殊的物理假设（如泊松的电流体假设等），这同格林的想法是一脉相承的。汤姆森还发现他本人1842年关于热平衡与静电分布理论的数学等价性的证明，实质上正是在将温度分布看作位势函数的基础上进行的。汤姆森沿着自己这条推理路线前进，在1847年迈出了重要的一步。这一年，汤姆森利用斯托克斯(George Gabriel Stokes)导出的流体力学与弹性力学方程，建立了弹性固体内线性位移与静电力之间以及旋转位移与电流、磁力之间的数学等价关系。这样，汤姆森通过数学途径，把不同性质的力（电和磁）与同一媒质的内部过程联系起来，为从数学上表述当时众所瞩目的法拉第的伟大发现指明了道路，汤姆森这方面的工作，强烈地影响了麦克斯韦(James Clerk Maxwell)早期的研究。
汤姆森发展了格林的位势理论，将位势理论的应用范围拓广到电磁学、流体力学、弾性力学等许多领域。从数学史的角度需要特别指出的是，汤姆森利用位势论去确立一系列物理现象的形式等价关系，在这过程中，他同时也确立了偏微分方程在相应物理理论中的重要地位。汤姆森还论证了在静电学中借助于格林位势函数的微分表述形式相比用库伦定律计算超锥作用力的积分形式所具有的优越性，进而又通过自己的工作大大扩展了可用微分定律表述的物理问题的范围，对于推动偏微分方程的发展是有重要贡献的。
格林的另一位后继人乔治•斯托克斯(George Gabriel Stokes)，也是在剑桥学习数学的，比汤姆森早毕业四年。斯托克斯在剑桥也曾拜霍普金斯为师（此人就是向汤姆森提供洛林第一篇论文的那位私人教师，他后来又当过麦克思韦的辅导老师，可以说是哺育剑桥数学物理学派的无名英雄）。大概是由于霍普金斯的影响，斯托克斯熟悉了格林在剑桥发表的论文特别是关于水波理论的工作，并选择流体力学作为自己最初的研究领域，而流体力学后来便成为他最擅长的分支。斯托克斯于1846年向不列颠科学协进会提交的一份《关于流体力新发展的报吿》，使他作为英国科坛的新秀而崭露头角，斯托克斯在报告中多次引用了格林的著作，表现出他对格林的钦佩。
斯托克斯在1845年独立导出了著名的粘性流体运动方程，接着又发展了格林的水波理论。1850年，他将其粘性流体理论应用于摆在粘性流体中的行为，结果之一是解释了大气中云的形成。他还借助微分方程研究地球引力的问题，揭开了一个曾使当时许多学者不解的谜——为什么陆地上的引力要比岛屿上小。斯托克斯在声音与光传播的研究中也运用了他的流体力学方程。所有这些，使他成为运用偏微分方程解决问题的权威，以致常有许多人在这方面请求他的帮助，而他不论对于团体还是个人，总是不厌其烦，尽可能地予以答复。
汤姆森和斯托克斯是十九世纪典型的应用数学家。他们的主要目标，是发展求解重要物理问题的有效和一般的数学方法，而他们手中的主要武器就是偏微分方程。汤姆森也许比斯托克斯更“应用”，作为热力学第二定律的发现人之一，人们往往把他看作物理 学家而忽视其在数学史上的地位。实际上，汤姆森具有强烈的应用数学家的素质。他通过自己的工作，向同时代人显示了数学的威力。这方面最脍炙人口的一段佳话便是大西洋海底电缆的安装。此项工程于1854年开始，汤姆森是领导委员会的成员。在此之前, 他已在与斯托克斯的通信中讨论过长导线中信号延迟的数学解释。1855年，他从理论上解决了这一问题，并据此指出横越大西洋的海底电缆只宜使用小电流。汤姆森还为此专门设计了一种可用以测量微电流的电流计，然而负责的总工程师怀特豪斯(E.O.W. Whitehouse)却拒绝汤姆森的意见，导致了安装工作的失败。怀特豪斯后来被迫承认了汤姆森的数学预报的正确性。1865年，依据汤姆森的方案，第一条横越大西洋的海底电缆终于安装成功，轰动了当时的整个科学界。
作为应用数学家，汤姆森和斯托克斯有时也在解决实际问题的过程中作出纯数学的贡献，甚至处理一些十分精细，往往只有纯数学家才加以考虑的问题。例如，在分析的严格化中扮演重要角色的一致收敛性，一般主要是归功于柯西(Augustin Louis Cauchy)和魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass)的研究。而实际上，在柯西之前，斯托克斯己在1847年一篇论周期级数的应用性论文中提出了这一概念。此外，斯托克斯在1848-1849年间答复他人关于声音传播理论的问题时，引进了媒质中速度与密度的不连续曲面，这就是后来的冲击波(有趣的是，当时这一发现并未 获得人们的理解，汤姆森等人提出质疑，认为斯托克斯的发现不符合能量守恒定律，以致斯托克斯又收回了自己的想法)。又如汤姆森，除了位势理论方面的贡献外，他也是所谓反演几何的创始人之一。与几何学家不同，汤姆森是通过静电学的物理途径提出反演思想的，他称自己的发现为“电象方法”。
斯托克斯与汤姆森是一对科学密友，他们有着共同的兴趣，保持了终身的科学通讯，他们的个人经历也十分类似。两人年轻时皆受过良好的教育。他们的工作在生前都受到了普遍的承认，并因此而获得了巨大的荣誉(斯托克斯于1889、汤姆森于1892年分别获得英王的加爵，斯托克斯长期作为剑桥大学的代表出席国会)。特别是俩人生前都担任过科学与教育方面的要职，汤姆森长期任格拉斯哥大学(University of Glasgow)自然哲学教授，斯托克斯则从1847年起一直保持了剑桥卢卡辛教授的位置，而他的任职使卢卡辛教授的交椅恢复了 牛顿时代的光采。斯托克斯于1885年出任皇家学会会长，1890年后由汤姆森接替。同格林坎坷的一生相比，斯托克斯与汤姆森可以说是时代的幸运儿，他们的科学活动产生了广泛的社会影响，特别是对新一代的青年。在这种影响下，剑桥的沃土上开放的一枝最绚丽的花朵，便是麦克思韦。
（三）克拉克•麦克思韦(1831-1879)
这样，我们便来到了十九世纪剑桥数学物理学派的顶峰。克拉克•麦克思韦(James Clerk Maxwell)出生于爱丁堡，其家庭是苏格兰地方望族。麦克思韦少时聪慧，十四岁发表第一篇论文，发明了一种画卵形线的方法并讨论了卵形线的几何与光学性质。同格林一样，麦克思韦寿不永年，只活了48岁。然而他一生共发表了一百多篇论文及四部巨著，其中关于电磁场的数学理论，使他成为牛顿以来数学物理领域中一颗最明亮的星而名载史册。
对麦克思韦电磁学说的历史评述多不胜数。这里仅作数学史上的考察。麦克思韦本人曾指出，他创立电磁理论的主要动机乃是对十九世纪以法拉第为代表的一批物理学家们在电磁领域中的重大发现作数学上的概括。我们感兴趣的是这种数学综合的具体实现及其在数学史上的意义。给法拉第电磁感应论以数学表述的努力并不是始于麦克思韦。前面已经提到，汤姆森就曾作过这种尝试，并提出了从形式上统一某些不同物理领域的数学推理方式。麦克 思韦高度评价并且推广了汤姆森的推理方式。
麦克思韦将电磁学中的物理量分成了两大类——强度(Intensity)与通量(flux)，这种分类是“建立在对不同量作数学的或形式的类比的基础之上，而不是以它们所从属的物质为基础”。随后的任务就是建立这两类物理量之间的关系。麦克思韦在《电磁学 通论》中写道：“在物理学的许多部门里，人们发现同一形式的方程可以被应用于本质上完全不同的现象，例如通过介质的电感应，通过导体的传导以及磁感应等。在所有这些情形中，强度与所产生的效应之间的关系是用一组同一类型的方程来表述的，以致当某一学科中一个问题得到解决后，该问题及其解答可以被翻译成其它学科的语言，而以新形式出现的结论依然成立。”[8]麦克思韦所确立的关系主要有三条：
这里D为位移电流，可通过位势的梯度来计算；B为磁感应，可通过向量势的旋度来计算；K是传导电流。
麦克思韦采用偏微分方程作为物理实在的自然表述，而上列通量-强度间的关系实 质上就是斯托克斯关于连续介质系统的一般运动的三个部分。位势论在这里又一次扮演了关键的角色。正如麦克思韦本人指出的那样：“位势被看作是满足一定偏微分方程的量，整个位势理论实质上属于我曾称之为法拉第方法的那种方法。”
按照麦克思韦的看法，“积分形式是超维作用的 适当的数学表述，而偏微分方程则是描写介质中邻近部分相互作用的理论的最合适的工具”。
爱因斯坦在一次纪念麦克思韦的讲演中曾经指出：“偏微分方程进入理论物理学时是婢女，但是逐渐变成了主妇”。他认为这是在十九世纪开始的，而麦克思韦在实现这一转化中作出了有决定意义的贡献。[9] 这不仅意味着偏微分方程在科学中的作用的实 质性提高，而且也极大地推动了作为数学本身的一个分支——偏微分方程论的发展。由上述可知，麦克思韦之所以能够完成牛顿以来物理学的一次新综合，在数学上主要是利用了十九世纪以来位势论和偏微分方程论的成果。他的这种综合，是从法拉第等人发现的物理定律出发，预报了物理学家们未能观察到的事实，以致许多人甚至包括汤姆森在内，虽然承认麦克思韦的天才，却在很长一段时间内不能理解他的学说。
因此，只有像麦克思韦这样具有数学头脑的学者，才能最终完成电磁理论的数学表 述。不过作为数学家，麦克思韦却并不恪守纯粹演绎的严密性。在这里，让我们来看一看十九世纪的另一位大数学家克莱茵(Felix Christian Klein)对麦克思韦科学素质的评论[10]是很有意思的。克莱茵写道：“麦克思韦并不是一位逻辑上无瑕可击的人。他的论证常常缺乏充分的说服力。他的高度发达的归纳思维胜过了他的演绎思维。……麦克思韦出类拔萃之处，很 大程度是在于他的强有力的直觉，这种不时出现、引导他作出科学预见的直觉能力，是 同他的丰富的想像力并驾齐驱的”。从某种意义上说，麦克思韦正是数学史上被称之为 “数学物理家”这样一个群体的杰出代表。
同斯托克斯、汤姆森不同，麦克思韦是一位性格恬静、不好社交的学者，很少担任 行政职务。他一生大部分时间是在祖传的苏格兰庄园里埋头研究。1865年以后，麦克思 韦甚至一度从伦敦大学国王学院辞退，隐居田庄专致写作他的《电磁学通论》。不过，在麦克思韦一生难得从事的科学组织工作中，却有一件特别重要的事情，就是剑桥卡文迪许实验室(Cavendish Laboratory)的创建。麦克思韦是该实验室的第一任主任，他的继任人则是瑞利勋爵(John William Strutt)，后者可以说是十九世纪剑桥数学物理学派的最后一位代表人物。今天，卡文迪许实验室已经成为全世界公认的理论物理中心之一，在这个实验室的陈列廊里，端放着它的创始人麦克思韦的塑像！
剑桥数学在历史上有两个最辉煌的时期，即牛顿时期（十七世纪）与分析学派时期。这两个时期之间，则是一个漫长的停滞阶段。牛顿以其伟大的学说影响了整个自然 科学发展的进程，却在身后造成了英国科学的巨大真空，这个真空直到麦克思韦时 代才得到真正的填补。上面我们阐说了剑桥数学是怎样从牛顿之后的停滞状态中振兴起来而焕发出新的光彩。这种振兴，起先是受了外部的推动，分析学会是促成这场变革的 的强力催化剂，剑桥数学物理学派则是这场变革的光辉硕果。
新的分析方法的引进，无疑是十九世纪剑桥数学物理发展的重要条件。但人们或许会问：为什么麦克思韦方程不是首先出现于此种分析方法的故土——欧洲大陆呢？这就需要涉及剑桥数学本身的传统。我们知道，十九世纪数学发展中，基于数学内部矛盾的演绎倾向占主导地位。该世纪数学的三大成就——非欧几何、群论和分析的严格化，都是这种倾向的产物，而剑桥数学物理学派却明显地不属于这一倾向。
剑桥数学物理学派的学者，从格林到麦克思韦，他们不同于纯粹数学家，主要的兴 趣不在于数学的内部矛盾，而在于根据物理的需要发展数学的新概念、新方法或新分支。他们又不同于纯粹的物理学家，不是满足于具体的实验结果的解释，而是致力于以数学家特有的思维方式去概括带普遍性的原则与算法，从数学一般性的角度解释现象，预报事实。
因此，剑桥数学物理学派是代表着数学史上的另一种倾向——归纳的或算法的倾向。 从实质上来说，牛顿微积分之发明，正是这种算法倾向的胜利。在这一点上，剑桥数学物理学派恰好继承并发扬了牛顿的传统，所不同的是：剑桥数学物理学派抛弃了牛顿传统中僵化的方面而采用了欧洲大陆数学家所发展的分析途径。其次，牛顿为了描写他的质点力学只需要借助常微分方程，而处在向场物理飞跃时期的剑桥数学家们，却主要依赖偏微分方程，“这些人贡献于偏微分方程的解到如此一个程度， 以致数学物理学与二 阶线性偏微分方程往往看成了一个东西！” [11]
在数学史上，算法倾向的意义是不能低估的。许多重大的数学真理都是探寻新算法 的结果。算法的创造同时也构成进一步演绎研究的基础。事实上，数学的发展似乎呈现 出算法与演绎这两种倾向的交替繁荣。十九世纪特别是后半叶，当然是演绎数学的兴盛 时代，然而在剑桥，从格林到麦克思韦的数学物理学派却独树一帜。恰如牛顿给出了古 典物理的数学表述，十九世纪的剑桥学派为以场论为特征的新物理学提供了数学语言， 这两件事都发生在剑桥，应该说并不是偶然的。