来源：《自然科学史研究》第1卷第4期（1982年）
作者：袁向东，李文林
作者简介
李文林教授，中科院数学与系统科学研究所研究员。我国著名的数学史专家，全国数学史学会理事长。李文林老师在中国数学史领域求索，曾发表过大量关于数学史的研究论文。他专门撰写了《数学史概论》等重要学术著作，为我国数学史的研究作出了重大贡献。李文林老师在清华大学、北京大学等高校开设的数学史课程，受到广大师生的欢迎和好评。
（一）理论与应用的结合
克莱茵说过：“最伟大的数学家如阿基米德、牛顿和高斯，总是同样地把理论与应用结合为一体。”十九世纪纯粹数学的迅猛发展，使数学和其他科学之间的距离日渐加大。对此，克莱茵采取一种积极的态度，以促进二者的相互渗透：一面喚起数学家对应用的高度重视，一面引导工程技术人员掌握和理解作为基础科学的数学。他在格廷根组织的学术活动，有许多是围绕这一目标进行的。他曾在给德国炼铁会干事长许洛脱博士的信中写道：“化学与工业的关系已是众所周知的了，我很想使物理和数学也同样地与工业结合，并希望工艺界也来考虑一下这种结合对于工业的良好影响，以帮助我实现这一主张。”他亲自筹建的“格廷根应用数学和技术促进协会”，开创了科学家同经济界领导人合作的先河，对德国应用数学的发展起了重要作用。
克莱茵对于数学理论与应用结合的看法，决不是简单和浅薄的理解。他所领导的格廷根，不单说是纯粹数学的重要基地。克莱茵深知纯粹数学的发展有其独立性，尽管它有许多抽象理论暂时还没有或者根本看不到会有任何应用价值，但它无疑是应用的可靠基础和强大后盾。有一件事很能说明问题，克莱茵本人对数学中公理化倾向是有保留的，但作为组织家，他在为庆祝高斯-韦柏纪念碑落成而编纂纪念文集时，却在请物理学家魏恰特编写电磁学基础讲义的同时，请希尔伯特编写几何基础的讲义，以此表彰格廷根的双重科学传统。这一意味深长的举动表明克莱茵对数学理论联系实际的全面而客观的观点。
至于希尔伯特，他的研究集中在纯粹数学方面，他所倡导的公理化方法，堪称是抽象数学思维的典范。但正如希尔伯特学派的主要成员库朗在格廷根纪念希尔伯特诞生一百周年时发表的演讲中所说，伟大的希尔伯特学派的传统还有另一侧面。
希尔伯特在1900年发表著名的《数学问题》讲演时，曾全面论述过他对数学发展的观点。他认为各数学分支中最初的问题“是由外部现象世界提出的”，其后会经过自身独立发展的阶段，而通常并不受来自外部的明显影响。但在纯思维创造的同时，外部世界又会提出新的问题，开辟新的分支。因而，他强调数学研究中思维与经验之间反复出现的相互作用。本着这种观点，他对应用数学的发展始终极为关心。希尔伯特学派中以库朗为代表的一些成员，对本世纪应用数学的发展有重大的直接贡献，绝不是偶然的。
图1
希尔伯特本人的纯粹数学研究，对其他科学与工程技术也产生了巨大影响。最典型的例子是他的积分方程论。二十年代初，正当量子力学蓬勃兴起之际，物理学家们发现希尔伯特在本世纪初进行的积分方程研究，1903至1904年间有关特征函数的理论工作，以及稍后的无穷多个变量的理论成果，对于量子力学是非常有效的工具。量子力学创始人 之一海森堡指出：“希尔伯特对于量子力学的发展有着间接但极为巨大的影响……量子力学的数学方法乃是希尔伯特积分方程理论的直接应用，这真是一个特别幸运的巧合。”希尔伯特对此倍感欣喜，认为这是理论与经验内在统一性的表现。另外，众所周知，署有希尔伯特名字的两卷巨著《数学物理方法》标志着应用数学著作的划时代进步。该书执笔者库朗说：它不仅贯彻了希尔伯特的思想，而且有大量的内容直接取材于希尔伯特的论文与讲演。这本著作自问世之日起一直是物理学家和工程师们吸取数学营养的重要经典。
图2
还应指出，从1912至1922年整整十年间，希尔伯特曾直接进行物理学的研究，与物理学家德拜一起创办并主持“物质结构讨论班”。希尔伯特的目标是用公理化手法来整理物理学的重要分支，他先后研讨了气体力学、初等辐射理论、物理结构论和广义相对论，对 促进现代数学与物理的互相渗透作出了贡献。
库朗指出：“直观和逻辑，‘扎根于实际’的问题的个别性和影响深远的抽象的一般性，这是两对矛盾着的力量，而正是矛盾各方的起伏波动决定着活的数学向前发展。所以，我们必须防止被驱赶而只向有生命力的对立的一极发展……希尔伯特以他感人的榜样向我们证明，这种危险是容易防止的，在纯粹和应用数学之间不存在鸿沟，数学和科学总体之间能够建立起果实丰满的结合体。”这就是对希尔伯特学派传统的全面理解，很明显，它同上述格廷根数学传统的主要特征之一——理论与应用的结合是完全一致的。
（二）数学的统一性
十九世纪数学的发展，开辟出一个接一个新的分支，数学研究专门化的趋势日益增长。但是，如果看不到数学内部不同领域之间的有机联系，数学家的工作就可能变成盲目的，数学也就难免不被分割为许多孤立的细枝末节。高斯曾竭力主张不同理论之间的“奇妙结合”，并把寻找数学内部的本质联系当作数学研究的一个目标。这种强调数学统一性的观念，贯穿了格廷根数学发展的整个过程。
克莱茵是将统一数学和统一数学与其他科学的工作视为己任的，他在他的最卓越的成就即几何学的群论方法中，就是从统一的观点出发，寻求十九世纪所发现的各种不同几何系统之间的内在联系。在“埃尔兰根纲领”中，他又明确提出了数学各科的共性问题，并首先对数学中重要和不重要的观点作了严格区分。
图3
希尔伯特在为克莱茵全集写序言时，就着重强调了这种统一的数学观。至于希尔伯特本人，他无疑是属于二十世纪罕见的数学全才之一。他从解决果尔丹问题开始，连续地从一个领域转向另一个领域，每次都以意想不到的重要突破使同时代的数学家们惊叹不已。他获得成功的钥匙，大概就是寻找数学不同理论之间的“奇妙结合”！他发表《数学问题》讲演时提出二十三个著名的数学问题，其主要目的就是借此沟通日益增多的数学小王国，促进不同领域的数学家的相互了解。他坚信，数学理论越是向前发展，它的结构会越加调和一致，那些一向相互隔绝的分支也会显出意想不到的关系，因而数学作为有机整体的特性会更加清楚地显现出来。
（三）数学的国际性
近代数学的发展，要求数学家们进行广泛的学术交流和国际上的通力合作。如果说，生活在十九世纪前半叶的高斯对这一点还没有充分认识，那么到克莱茵一希尔伯特时代，情形就大不一样了。克莱茵在政治上是个强烈的爱国主义者，但却乐于承认巴黎是“科学活动的蜂巢”，并试图把每个有培养前途的青年数学家送往巴黎去学习。希尔伯特更明确地把学术思想的自由交流当作数学发展必不可少的条件，在第一次世界大战期间，他为缺少同外国数学家的接触而深感苦恼。1928年，希尔伯特冲破由于战争而滋长起来的民族主义情绪的阻挠，毅然率领一个德国代表团出席在意大利波隆那举行的战后第一次国际数学家代表大会。他在会上发表的演说中，主张“数学不分种族”，“对于数学来说，整个文明世界就是一个国度”。
（四）格廷根数学的衰落——历史的教训
格廷根数学传统的形成，决非一朝一夕之功，而是从高斯到克莱茵、希尔伯特，几代数学家努力奋斗将近一个世纪的结果。格廷根的历史说明，一个数学中心的形成，至少必须具备以下几方面的条件：
1、要有领头的数学家。这样的数学家，除本身有第一流水平的学术贡献，并对数学各个领域有精深的研究外，还必须有高度的组织才能和影响力。
2、要有数学的普遍提高作基础数学。研究中心的形成，并不是若干数学明星的简单集合，它的前提乃是数学水平的普遍提高。格廷根的数学繁荣不是出现在高斯或黎曼时代，而是出现在十九世纪晚期，就充分证明了这一点。
3、要有适宜的社会环境和由此造成的学术气氛。就格廷根而言，它成为欧洲学术中心的过程，恰好同德国资本主义的发展过程是一致的。尤其是十九世纪七十年代德国统一之后，资产阶级为了在工业上迅速赶超英法等老牌资本主义国家，采取了利用最新科学成就这条捷径。当时德国政府在国内大力实行鼓励科学发展的政策，其中一条原则就是不任意干涉科学家的研究工作。尽管文件和实际之间经常存在着距离，但当时德国政府这种政策在一定程度上是有利于科学发展的。
但是，这座花费一百多年功夫建立起来的国际数学中心，却在德国法西斯的空前政治迫害下毁于一旦。1933年希特勒一上台，就掀起疯狂的种族主义和排犹风潮，使德国科学界陷于混乱，格廷根所受的打击尤为惨重。格廷根数学学派中包括不同国籍、不同民族 的数学家，其中不少是犹太人。他们在法西斯政治迫害下纷纷逃离德国，有的竟至惨遭杀害。希尔伯特本人因年老未能离去，1943年在极其孤寂和抑郁寡欢的情况下去世。
自此以后，格廷根这个曾经盛极一时的数学中心就一蹶不振了。但格廷根的光辉数学传统，为现代数学的发展提供了宝贵的精神财富，人们是不会忘却它的；而格廷根数学的衰落，则是现代科学史上因政治迫害而导致科学文化停滞倒退的一幕典型的悲剧。总结格廷根数学传统及其盛衰的历史教训，是科学史研究中的一个具有重大意义的课题。
图4
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