十九世纪，英国数学扭转了持续百年之久的落后局面，并通过哈密顿、凯莱、布尔、麦克思韦等人的成就而取得了堪与欧洲大陆抗衡的进展。在这一复兴过程中，剑桥分析学派起了极为重要的历史作用。剑侨分析学派的活动，包括了两个不同的时期，即以拜贝奇（C・Bebbaye）、皮考克（G・Peacock）和赫胥尔（J・F・W・Herschel ）为首的分析学派时期以及以格林（G.Green）、史托克斯（G.G.Stokes）、汤姆生（W.Thomson）和麦克思韦为代表的数学物理学派时期，前后持续大约一个世纪，是科学史上的重大事件，本文就其形成、发展和影响作概要的阐述与分析。
一、十九世纪初的英国数学
整个十八世纪，英国数学与欧洲大陆国家相比日趋衰落，这种落后的状况在十九世纪初达到了最低点。1807年《爱丁堡评论》上刊登了一篇介绍拉普拉斯《天体力学》的文章，作者的评述颇能说明问题，他写道：
“麦克劳林和辛卜松的著述算是当前关于流数演算的最佳工作了，尽管国外的数学家们在这方面也已作出巨大的改进。……一个人也许能很好地掌握这个国家里的任何数学著述，但当他阅读欧拉或达朗贝尔的作品时却很可能会在头几页就感到读不下去！” 作者估计当时全英国能读懂拉普拉斯《天体力学》的人总共不会超过十数人。我们还可以来看一看1801—1830年期间英国皇家学会会刊《哲学学报》（The Philosophical Transaction）发表数学论文的情况。据统计，这三十年间，该会刊刊登数学方面的文章仅44篇，其中还包括一些内容初等过时的作品，而确有创造性的不过三十余篇，大约平均一年一篇！这三十多篇论文中，拜贝奇、武德豪斯（R.Woodhouse）和爱伐里（G. Ivory）等人的工作具有较高的水平，但真正经受住时间考验而誉传后世的成果大概只能推霍纳（W.G.Horner）关于高次方程数值解的一篇。8篇几何方面的论文，反映出当时的英国几何学家对笛卡儿也像对莱布尼兹一样地不熟悉；关于无穷级数的9篇，很少涉及收敛性问题。如果我们对比一下同时期法国科学院每年源源不断发展的拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、柯西、泊松、蒙日、傅里叶等人影响深远的丰富产品，那么英国数学的相形见绌便十分明显了。
十八世纪英国数学落后的原因，是一个值得探讨的课题。一般科学史著作历来把这种落后归咎于当时英国学术界对于牛顿传统的保守和牛顿与莱布尼兹的后继者之间关于微积分发明权的争论。1727年牛顿逝世以后，不列颠学者中确实弥漫着对这位先哲的“超乎理性的崇拜”，微积分发明权的争论，又使他们同法、德等国的同行对立起来，“结果，英国与大陆国家的数学家们中断了思想交流”，不列颠数学家们“出于对这位民族英雄的忠诚而只使用他的方法与记号”。“牛顿曾强使自己在欧几里得几何的框架内工作，并力图把微积分归结为带有笨拙的点记号的动力学的流数原理。尽管有这种作茧自缚的缺陷，牛顿本人依然获得了成功，然而他的能力较差的后继者却不能克服这种障碍”。而在同一时期“大陆上的数学家们则继承、发展和改进了莱布尼兹的分析方法。事实证明，这一途径十分有效。于是，不仅英国数学落到了后头，而且整个数学也失去了某些强有力的人物本来可能作出的贡献”。
图2牛顿与莱布尼兹之争
以上这些论述无疑是正确的，但我们也应当看到，十八世纪英国数学的萎靡不振，有着更深刻的社会原因。至少，可以说，英国与法国数学家之间的割裂能够持续如此之久，单以牛顿和莱布尼兹的“个人战争”论之是难以解释的。回顾一下，整个十八世纪，英、法战争不断，而到了十九世纪初反对拿破仑的战争时，这种民族矛盾达到了白热化的程度。英国与法国学术界的对立情绪，如果不是为这种长期的政治对立所左右，至少也受到其强烈的影响。在这世纪的后期，英国统治阶级倾尽全力抵制法国革命的影响，这种抵制扩展到文化界来，不仅是法国数学，整个法国科学文化在英国都不受欢迎，一个有趣的例子是，连十进度量衡制当时也被英国政府禁传。
再说，牛、莱争论本来也可以使大陆国家的科学遭受同样的损害。试想假如法国学者竭力抵制牛顿的理论，那么起码拉格朗日、拉普拉斯等人的力学巨著就不可能产生。 这一情形幸好没有发生，这就说明了英国与欧陆国家当时在数学发展水平上的差异，各自应该另有背景。
我们知道，十八世纪在欧洲大陆上是法国大革命酝酿、发生和产生影响的时代。这一时期的法国资产阶级（包括后来的拿破仑政权），出于自身经济的和思想政治的需要，大力支持新科学的发展。对于数学研究，不论其是否有直接应用，政府也一概加以鼓励。十九世纪初一位翻译过拉普拉斯《天体力学》的英国学者托普列斯（J.Tolis）曾经羡慕地说道：“在法国和其它大陆国家，学数学和自然哲学的学生，可望在国立学院或科学院找到职位，那里的丰厚津贴足以保证他们的研究工作，一旦他们写出值得发表的东西，这些作品将一律由国家资助出版”。对比当时的英国，托普列斯则不无感慨地说：那里的学生们“为了掌握这些科目而耗尽青春，却很少获得回报的希望。倘若他能使自己有幸完成了一件高水平的工作，他们也决不要指望能通过发表它而偿清哪怕一半的印刷费”！
这就是说，数学研究本身在当时的英国就不受重视。实际上，十八世纪英国的社会环境对于整个自然科学的生长也并不有利。在十七世纪靠同封建贵族妥协而登上统治地位的金融资产阶级，此时日趋腐朽，他们拒绝任何革新的要求，对于发展新科学根本没有兴趣。这也反映到作为官方组织的皇家学会上来。这个曾由牛顿任会长，被大陆上一些国家奉为楷模的学术机构，从十八世纪中叶起一度变得颇不景气。许多会员停止缴纳会费和参加学会活动。到十九世纪初，人们竟发现学会中充塞了大批主教、贵族和律师。据调查，1800—1830年间的641名会员中，在科学上真正作出贡献的仅103人，而有 63名勋爵，对科学则一窍不通。因此，当1830年拜贝奇在其所著《英格兰科学衰落之感想》中指出“皇家学会已在客观上成为职员们的圈内组织，控制着会员的大多数，而对科学不过是点头之交”时，他的抨击是并不夸张的。
至于说十八世纪的英国产业革命，它没有能挽回英国科学的落后，这乍看似乎有些费解。斯特洛伊克和贝尔纳等曾分析道：这一时期“不列颠本土的学者和工程师，都专致于解决与工业革命有关的问题”。而“工业革命全期里的主要倾向在于发展越来越巧妙的机械，这些机械的设计开始“基本上仍只是旧原理的联合应用”，而它们后来对于以热力学和气体力学为主的新学科的剌激，其效果的显现则有一延迟的过程。这又决定了十八世纪英国学术的实用色彩。对于牛顿学派所描绘的宇宙图象及自然规律的进一步理论探索，此时重点已转移到了受启蒙思想影响的法国。
因此，十八世纪英国数学的衰落可以看作是其一般科学衰落的一个侧面。到该世纪之末，越来越多的人开始觉悟到这种落后，并出现了改革的呼声。在早期的改革者中，罗伯特•武德豪斯（Robert Woodhouse）是重要的一位。武德豪斯长期在剑桥任教。他在1803年发表了一本叫《分析演算原理》的著作，其中分析了英国数学的落后，批评了对牛顿的盲目崇拜，并且首次大胆地采用了莱布尼兹的微分记号。武德豪斯的观点，鼓舞了一群在剑桥学习的青年学生，他们在武德豪斯著作发表八年之后，发起了一场卓有成效的数学改革运动。他们的组织，就是剑桥分析学会。
二、分析学会
剑桥分析学会的圭要创始人是查理士•拜贝奇。拜贝奇以第一台通用计算机的设计者而著称于史，但他创建剑桥分析学会而对数学发展的贡献决不亚于其“分析工程”。
图3拜贝奇
拜贝奇1791年生于伦敦附近一个银行家家庭，幼时身体极弱，医生曾劝告其双亲“不要以任何形式的教育去打扰孩子”，然而拜贝奇却于1811年进了剑桥三一学院，并且在这之前，他已通过大量阅读而熟悉了微积分，包括大陆的分析方法。进剑桥后，他对于当时大学里的数学教育颇感不满，他在自传中写道；“我讨厌这地方的老一套的教学，而贪婪地猎读彼得堡、柏林和巴黎科学院卷帙浩繁的出版物中欧拉及其他数学家的文章”。拜贝奇的情绪反映了当时剑桥学生中日益高涨的改革气氛。拜贝奇有一些志同道合的良友，其中包括后来变得很出名的皮考克（G.Peacock）和赫胥尔（J.F.W. Herschel）。他们每星期日在一起早餐，饭后讨论数学。这些青年学生一个共同的愿望是要打破英国与大陆数学之间的壁垒。当时英法尚在交战之际，法国书很难买到。拜贝奇以高价搞来一本当时法国的标准微积分教科书——拉克鲁阿的《微积分学》（Lacroix：Sur le Cacul Differential et Integral）。在他建议下，这些大学生举行了一次会议，最初的动机是讨论如何将拉氏著作译成英文，但就在这次会上，与会者（据记录至少有九位）一致同意成立一个数学团体，并定名为“分析学会”（Analytical Society）。学会租了一间会议室，每天开放，成员定期集会，宣读论文并进行讨论。
学会的宗旨，当然是改革英国的数学教育与研究，推动新分析的发展。1813年，学会成立不到一年，出版了一本《分析学会论文集》（Memoirs ot the Analytical Society）。这本出自尚未毕业的大学生手笔的文集，包括了无穷乘积、差分方程等方面的很有价值的结果，但在当时尤其重要的是它从符号到方法都贯彻了莱布尼兹的体系。为了表示向传统挑战的决心，会员们给文集加上了一个醒目的副题：“反对大学中点时代的纯D主义原理”。在首篇一般性论述中，作者们追述了微积分的历史，认为微积分“最先是由费马发现，而牛顿使其完美并给予了解析表述，莱布尼兹则以强有力的普适符号极大地丰富了这门科学”。作者还写道：“似乎这个国家（指英国）的土壤不适合其耕耘，它很快就凋谢了，并且几乎遭到忽视。现在，经过一个世纪的国外发展，我们必须把它重新输入，再一次将其改造为我们自己的东西！”这可以说是一个世纪来英国学者对微积分发展所作的一次最没有偏见的分析。在当时，把微积分的最先发明权归于费马，在英国尤其是剑桥，是需要很大的勇气的。事实上，分析学会的活动从一开始就遇到了很大阻力。一批老资格的教师立即出来斥责学会的成员们，说他们是一群“年少无知的异教徒”，这样闹下去“前途不妙”等等。拉克鲁阿《微积分学》英译本的出版也受到了阻挠，一直到1816年才得以正式付印。
这群“异教徒”并没有在压力面前退缩。他们从引进莱布尼兹的微积分符号开始，锲而不舍，坚持改革。他们根据一百多年的实践，分析比较了莱布尼兹与牛顿体系的优劣，指出了牛顿的以力学为背景的流数记号对于微积分一般理论发展的束缚。他们认为，“作为推理工具的分析学之所以具有极大的优越性，精密而简明的语言似乎是首要的原因。笨拙的记号既不能传达亦不能启发除原始定义之外的任何思想”。因此，他们不仅在自己的所有论著中统一使用莱布尼兹的符号，而且试图通过剑桥的学位考试来促使学生们掌握新的分析工具。第一个采取行动的是皮考克。1817年，已经是剑桥大学讲师的皮考克被任命为学位考试的主考员。他利用这机会，在他本人所出试题中采用了莱布尼兹的符号，这在作为牛顿学说策源地的剑桥是破天荒第一次，不用说，立即遭到强烈反对，以至于当时还是学生的惠威尔（W.Whewell）写信给赫胥尔说：“您大概已经看到皮考克的试题，它们在此间引起了一片狂嚣，我想他以后很难有希望再当主考员啦！”皮考克本人倒很镇定自若，他在给朋友的信中表示，“我将为改革事业而竭尽全力。……出于职守，明年我将采取一条比以往更有决定意义的路线。”“只有通过不屈不挠的坚持，我们才有希望战胜传统偏见这个多头怪物，使大学名副其实地成为科学与真知的良母！”于是，以符号问题为导火线，在剑桥展开了一场改革与反改革的拉锯式斗争。皮考克命题的次年，主考员易人，剑桥学位试题全部复辟老记号。1819年，皮考克复任主考，又重新采用新记号。这一次招来了官方的申斥。当局通过大学出版社新出版了一位与皮考克同姓的牧师（D.Peacock）撰写的反改革的书，书名叫《在剑桥大学 讲授的流数论与微分学原理之比较》，对“拉克鲁阿《微积分学》的译者”进行了猛烈的攻击。当时特别引人注意的是，这位牧师在书中以校方代理人的身份宣称：“在剑桥的数学教学中，应继续反对（引进纯代数的或分析的思考方法），这样做有许多正当的理由。学术教育应严格限制于真正有用的课题。而那些学究式的法国分析著作与哲学并无直接关系。……青年学生们要想获得大学评议会授予的荣誉，根本没有必要去费神阅读这类作品。”
因此，当局认为新分析与传统哲学不相容。但反改革人士所依据的理由，却远不像这位牧师所说的那样“许多”和“正当”，他们主要还是挥舞牛顿这面大旗。牧师皮考克在维护旧的符号体系时就直截了当地说：“既然流数记号没有什么不合适，那么出于对不朽的牛顿的纪念，我们就应该继续使用它！“如果说这种对牛顿的“忠诚”在十八世纪晚期还能使一部分英国学者团结起来固守传统的话，到十九世纪二、三十年代，形势就有了改观。当时英国知识界中已明显地表现出法国革命的思想影响。分析学会的成员们对形势也并非没有估计。G.皮考克就曾在给朋友的信中指出：“我感到，人们已经作好变革的准备，从而能够通过改进了的基础书籍的出版而学得一种更好的系统。”因此，分析学会的改革活动，随着时间的推移而受到越来越多开明有识之士的支持，特别是在青年教师、学生中有广泛的拥护者。1819年，当皮考克第二次出任主考员时，和他一起被提名的另一位主考格瓦特金（R.Gwatkin）对于采用新符号就采取了完全合作的态度。1820年，在牧师皮考克的猛烈攻击之后，惠威尔出任主考仍然坚持了皮考克的做法，而另一位主考维尔金生（H.Wilkinson)也是站在惠威尔一边的。这样，自1820 年起，剑桥数学试卷中不再出现牛顿的流数记号，其它大学亦纷起效仿，这是一个标志，说明分析学会发起的改革运动，经过近十年的不懈努力，已告实际成功。新分析在英伦三岛得到了迅速传播。
图4惠威尔
1820年，分析学会出版了最后一本著作——微积分例题集。就在这之前，成员们已意识到学会的使命接近完成。G.皮考克1819年致函拜贝奇，谈到了组织新学会的计划，这就是后来的剑桥哲学会。剑桥哲学会的历史已超出本文范围，下面我们要来讨论受分析学会直接影响的剑桥分析的发展。